万流归宗能力成——对充分挖掘题目教学功能的案例剖.pdf

2 0 1 4 年4 月 解法 题激起千层浪万流归宗能力成 对充分挖掘题目教学功能的案例剖析与反思 浙江省绍兴市建功中学曹青 全日制义务教育数学课程标准 2 0 1 1 年版 强调 四基四能 四基 即基础知识 基本技能 基本思想和基 本活动经验 四能 即发现问题 提出问题 分析问题和 解决问题的能力 关注学生的学习兴趣与习惯 倡导创 新型和应用型人才的培养 要实现这些目标 离不开过 程与方法教学 没有充分展开问题教学的时间和空间是 不行的 在中考系统复习阶段时间紧任务重的情况下更 是如此 本文深入分析一例 从中获得教学启示 一 教学案例 出于问题引领系统复习教学的考虑 在充分研究的 基础上 我们设计了一节以一题多解为特征的几何复习 课 达到了良好效果 问题 在直角三角形中 如果一个锐 角等于3 0 0 那么它所对的直角边等于斜 边的一半 首先把问题符号化 已知 如图l 所 示 在R t A 曰C 中 A C B 9 0 鲋C R 1 3 0o 求证 B C 二A 曰 图1 C 在学生眼里 此定理应用广泛 早已了然于胸 中考 复习时施以 多证 学生们切人容易 方法众多 堪称 一题激起千层浪 由之理顺解题规律 水到渠成 自然 流畅 一 截长补短法 顾名思义 截长法 即在长线段上截下一段 使之 是上述思想中的 数形结合 在学生求解过程中 只有将 压轴问题中的文字语言与图形信息结合起来分析 充分 利用 以形助数 和 以数解形 两种策略 将问题的情境 不断 提纯 才劁颐利获得问题解决的思路 让压轴问题 的 压轴价值 真正实现 本文中所述的这道压轴题 蕴含 着丰富的数学思想 每一个问题的解决 都涉及路径的化 归和模型的建构 作为例题 笔者突出了其中的数形结合 思想 让学生的探究在这一思想的引领下不断深入下去 提纯的过程 不断巩固着学生对题中蕴含思想方法的认 知 学生经历了问题情境的提纯 对解题所需要的条件与 最终要达成的解题目标有了深刻的认知 合适的解题方 法自然会在学生脑海中及时生成 四 结束语 压轴问题的解答虽然棘手 但只要解题时能精心研 读问题 对问题的情境进行必要的 技术处理 做好精 准的取舍整合 就一定能发现解决问题的路径 情境 提 纯 作为一个解题技术 需要在强化训练中不断巩固提 升 在日常教学中 我们应借助压轴题的教学 多呈现此 类范例 鼓励学生通过解题的实战演练 反复应用以促 进解题经验的积累 提纯 剔除了干扰情境 让生成的 新情境直接指向解题目标 提纯过程中 很多学生能透 过 复杂情境 获得问题解决的 路径 这就是 提纯 的 作用 以上所述 虽然经历笔者的多轮尝试 取得了一定 的教学成效 但基于不同学情进行教学应用可能会产生 不同的成效 本文中所述的方法权作压轴题教学的 引 玉之砖 吧 欢迎各位同行专家对笔者的做法提出意见 和建议 参考文献 1 印冬建 设计源于需求改编呈现价值 由一 次例题设计评比活动说起 J 中学数学教学参考 中 2 0 1 3 1 0 2 中华人民共和国教育部制定 义务教育数学课程 标准 2 0 1 1 年版 M 北京 北京师范大学出版社 2 0 1 2 3 夏再迅 试题改编需要理解深层结构 J 中学数学 下 2 0 1 3 1 2 4 沈岳夫 提炼基本图形 妙解面积问题 J 中国数 学教育 初中版 2 0 1 3 6 5 朱广科 以二次函数为背景的存在性问题例析 J 中国数学教育 初中版 2 0 1 3 1 0 衄 初中版寸 7 载 万方数据 法探究 2 0 1 4 年4 月 等于短线段的方法 补短法 则是在短线段上补上一 段 使之等于长线段的方法 如此 往往能把分散的条件 给集中起来 迅速释放题目内涵 1 截长法 解法1 如图1 耽4 B 的中点D 连接C n 结合 A C 曰 9 0 利用 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1 可得c D 4 D 肋l 一 A B 又 曰 6 0 0 则 B c D 是等边三 Z 1 角形 于是有B c 曰D A B Z 异曲同工之法 还有 只提供辅助线 不赘详解 方法变式1 1 在A B 上取一点D 使曰D B C 连接C n 方法变式l 一2 作B C 的中垂线交A B 于点D 连接C D 方法变式l 一3 以点C 为圆心 C 8 长为半径作圆弧 劾B 于点D 连接 方法变式1 4 在A 曰上取一点D 使厶B C D 6 0 0 方法变式1 5 作A C 的中垂线交A 曰于点D 连接阻 方法变式1 6 在A 曰上取一点D 使 A c D 3 0 0 连 接C n 2 补短法A 解法2 如图2 延长日C 到D 使B D A B 连接A D 结合 日 6 0 得 A B D 是等边三角形 又 A c 曰 9 0 由等腰三角形 三线曰 合一 可知B c 肋 A B C D 图2 异曲同工之法 还有 只提供辅助线 不赘详解 方法变式2 一l 以A B 为一边 作 戤D 6 0 交曰C 的 延长线于点D 方法变式2 2 作A 曰的中垂线交B C 的延长线于点D 连接AD 点评 遇到线段 角 的和 差 倍 分问题 采用截长 大 补短 小 的策略往往能释放题 图信息内涵 打开思 路 二 线段叠合法 把一条线段叠合到另一条线段上去 让它们的一端 重合 观察另一端的情况 就可比较两条线 段的长短 同样也是判断和证明线段大小 关系的常用策略 解法3 如图3 作 B 的平分线 交A C 于点D 过点D 作D E 上A 曰 垂足为E 容易证 明图中分出的三个小三角形全等 从而使 问题获解 C 图3 D 异曲同工之法 还有 只提供辅助线 不赘详解 方法变式3 1 作A 曰的中垂线肋 兖4 G 于点D 连接 B D 中 7 毒蔓 7 初中版 方法变式3 2 如图4 作 曰 的平分线 交A C 于点D 延长日C 到 点E 使雎 B A 连接D E 方法变式3 3 作 曰的平分 线 交A C 于点D 以D 为圆心 册 为半径作圆弧 交B C 的延长线于 点E D C E 图4 点评 关注到两个锐角内在的数量关系和图形特 征 结合待证目标 容易联想到借助角平分线巧妙完成 线段叠合 角是以其平分线所在直线为对称轴的轴对称 图形 我们常利用这一点把一侧的图形翻折到另一侧 去 或无中生有 过角平分线上的上点向角的两边引 垂线 完善图形成轴对称图形 同时一举多得 打开 解证思路 三 同一 证明法 当命题的条件与结论所指的事件是唯一的 且范围 相同 则原命题的逆命题一定成立 这时若证明原命题 不易人手 可改证其逆命题 是一种间接证法 我们称之 为 同一法 运用 同一法 一般经历如下步骤 1 作一个具有命题所述屙 生的图形 2 证明这个图形与已知条件符合 3 通过推理 说明所作图形与题设要求的图形是 一致的 4 判断原命题所述图形具有某种属性 解法4 如图5 延长 到D 使 日D 曰C 以B D 为一边作等边 曰朋 连接 则加 吉c D 又容易证明j 冬 c 肋兰 A 则有B c 丢A 曰 一 A 点评 从本质上说 这个办法与 图5 前述 截长 各法是相通的 但从思路上却各有千秋 本 法突出在先构造符合目标条件的图形 再证明它与原图 形全等 而 截长法 则指向探究对象的变更 如解法1 1 中 由判断曰C 二A 日转为判断曰C B D 2 四 相似推理法 全等是特殊 相似比为1 1 的相似 相似是全等的 深化 判定图形全等离开等线段是不行的 而判定相似 则不然 因此 运用相似这个解证工具往往更加方便 解法5 如图6 作厶4 曰C 的平分线 A 交A C 于点D 容易证明A D 胡D B c D 一 Ac 8 则器 笔 器 设 加l 龙 曰D 菇 则AD 算 在R t 日C D 中 得曰C 佰矽二万 图6 后戈 D 石 万方数据 2 0 1 4 年4 月 解法 后2 l 戈 同理可得A 曰矗 驴二丁戈 在R t A 中 有B C 2 AC 2 一日2 则 后2 1 菇2 而戈 石 2 后 而算 2 整理得矗3 3 一2 0 后3 4 I 一2 0 矗一2 七2 2 1 0 解得 j 2 后 1 舍去 则A B 2 B C 点评 利用相似 一个典型的几何问题最终被化归 为解一个代数方程 虽然在方程解法上 需要分组分解 因式的方法 技巧性比较强 却不需要特殊的构图技巧 对几何思考的能力放低了一些 二 教学启示 一题多解有利于加深对概念 命题的认识和理解 沟通数学各分支内容间的联系 以点带面地复习章节知 识 找到最优解证思路 可以激发学习兴趣 促进探究学 风的形成 是常用且有效的教学策略 那么 上述案例达到这些目的了吗 能给我们一些 什么教学启示呢 一 推陈出新 充分挖掘经典题目的教学功能 经典或说好的数学问题不一定是繁难问题 它应该 是知识的交汇平台 有众多的思维切入点 能承载更多 的思想方法成分 本例系教材定理 学生们熟能成诵 但 上述处理却似枯树生新芽 各种方法均给人以新鲜之 感 教学上主要体现为以下三点 1 舍简求繁 只为领悟方法 教材是在学习完等边三角形以后 借助其对称性 观察局部与整体 命题对应三角形是等边三角形的一 半 关系的基础上 以推论的形式自然引入该定理的 堪 谓水到渠成 如果单从理解和证明命题考虑的话 显然 毫无再度研究的必要 此处舍简求繁 在中考系统复习 阶段又深入解读 目的只为在过程中感悟思想 提炼方 法 积累数学活动经验 Z 颠覆经典 体昧数学魅力 数学是思维的艺术 上述问题的解决一改传统思 路 另辟蹊径 颠覆经典解法 展示了数学 道无止境 思 有路径 的无穷魅力 当然 上述各思路并非全部生成于 课堂 也并非完全生成于学生 其中有教师充分的研究 预设 点拨与启发 有学生开放的探索 合作 尝试与顿 悟 更有师生间相互的 灵犀一动 1 3 承载思想 升华思维品质 经典问题必然能承载更多的思想方法 能建立并强 化学生的数学意识 升华学生的数学观念 让学生 数学 地思考 的能力不断提高 实际上 在本教学结束时 我 们布置了一份作业 即证明上述命题的逆命题 二者的 结合 不仅实现了方法的类比和迁移 更对截长补短法 线段叠合法 同一证明法 相似推理法做了再次极佳的 诠释 不知不觉中 思维品质得到了升华 二 以点带面 充分感悟零散知识的内在联系 数学是一个有机的整体 各部分内容之间有着千丝 万缕的联系如何发现和感受这些联系 梳理知识网络 构建知识系统 以便在应用时 牵一发而动全身 顺利 提取和应用知识 释放题目内涵 是数学教学的追求 可 从以下两点考虑 1 经纬分明 手提金线串珍珠 学习数学的过程犹如编织一张渔网的过程 网面越 大 则一网下去 即可覆盖更大的范围 获取更多的捕鱼 机会 网眼越细 则大小鱼儿皆入网中 经纬线越粗 则 网越发牢固 将之迁移到数学学习中 一张经纬分明 系 统清晰的知识大网自然有助于信息的提取和应用 反映 到教学设计中 教师首先要找到合适的数学问题 提炼 引导学生学习的思维 或问题 线索 并以之串联起散落 满地的数学珍珠 章节知识或数学不同领域的知识 2 源流清晰 理顺脉络成网络 数学知识之间不仅存在以并列为特征的经纬分明 的横向联系 更存在着先与后 主与次 源与流这些纵向 的辩证联系 可以想象 要提起一大串葡萄 比较理想的 办法是抓住果蒂 理顺出数学知识间的源流关系 则数 学就可以成为一种结构 如因果 相关 相似 对比 相近 等可实现相互推理的结构 以减少记忆量 更加容易联 想 如解法l 中 是线段的倍与分让我们联想到了截长补 短 解法2 中 把分散的两条线段集中到一条线上 容易 发现图形的内在联系 解法3 中 则先构造 理想目标 再将之嫁接到原图形上 解法4 中 则是发现并开发了两 个锐角的内在数量关系 从而联想到构造角平分线 找 到一对相似三角形 多种方法的实践与感悟 让学生们 深入领会了作图 全等 相似 勾股定理 等腰三角形性 质等诸多数学知识 一方面是从源到流的发散与分类 另一方面是从流到源的收敛与概括 二者的结合让数学 在纵向发展上脉络清楚 如上般组织教学 对教师的专业素养和研究能