线性代数 矩阵的初等变换与线性方程组 习题课.pdf

线性代数 矩阵的初等变换与矩阵的初等变换与线性方程组线性方程组 习题课习题课 1 对调两行对调两行 对调对调i与与j两行记为两行记为 2 以数以数 乘第乘第i行的所有元素行的所有元素 记为记为 3 把某一行所有元素的把某一行所有元素的k倍分别加到另一行对应的元倍分别加到另一行对应的元 素上去素上去 第第j行行k倍加到第倍加到第i行上去行上去 记记 ji rr 0 k i rk ji krr 一 矩阵的初等变换一 矩阵的初等变换 2 2 矩阵 矩阵A A与与B B 等价等价 BA 有限次初等变换有限次初等变换 3 3 矩阵的化简 矩阵的化简 可化为行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 标准形 可化为行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 标准形 1 任一矩阵都可经过初等任一矩阵都可经过初等行行变换化成变换化成行阶梯矩阵行阶梯矩阵 2 任一矩阵都可经过初等任一矩阵都可经过初等行行变换化成变换化成行最简矩阵行最简矩阵 3 任一矩阵都可经任一矩阵都可经初等变换初等变换化成化成标准型标准型 OO OEr 注注 4 A的标准型中的的标准型中的r由由A确定确定 1 1 定义 定义 一 内容概要 一 内容概要 2 2 矩阵秩的性质矩阵秩的性质 nm min 0 1 nmAR 2 ARAR T 0 0 0 3 kAR k kAR 4 4 行阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数行阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数 设设A 型矩阵型矩阵 则则 5 即矩阵经初等变换后其秩不变 即矩阵经初等变换后其秩不变 二二 矩阵的秩及其求法 矩阵的秩及其求法 1 1 定义 定义 A的秩就是的秩就是A中最高阶非零子式的阶数中最高阶非零子式的阶数 记作记作R A r 则则若若 max 9 min 8 0 7 6 BRARBARBRAR BRARABR nBRARBA BRARBAR lnnm 3 3 用矩阵的初等变换求矩阵的秩用矩阵的初等变换求矩阵的秩 一般方法一般方法 1 将 将A用初等变换化为行阶梯形矩阵 用初等变换化为行阶梯形矩阵 2 R A 等于等于A的行阶梯形矩阵的非零行数的行阶梯形矩阵的非零行数 n 阶方阶阶方阶A的秩的秩R A n 0 A 方阵方阵A可逆可逆 n EA 初 等 变 换初 等 变 换 几个等价命题 几个等价命题 是满秩矩阵是满秩矩阵A CH3 初等变换与方程组初等变换与方程组 三 初等矩阵三 初等矩阵 1 1 定义 定义 由由单位单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵称为矩阵经一次初等变换而得到的矩阵称为 初等矩阵初等矩阵 分为三类分为三类 分别记为分别记为Eij Ei k Eij k 2 2 初等矩阵的性质 初等矩阵的性质 1 1 初等矩阵都是初等矩阵都是可逆矩阵可逆矩阵 并且其逆矩阵还是初等矩阵并且其逆矩阵还是初等矩阵 2 2 对对A A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的 初等阵左乘矩阵初等阵左乘矩阵A A 对对A A施行一次初等列变换的结果等于用施行一次初等列变换的结果等于用 一个相应的初等阵右乘矩阵一个相应的初等阵右乘矩阵A A 推论推论1 设设A是可逆矩阵是可逆矩阵 则 则 推论推论2 两个两个 型矩阵型矩阵A B等价的充要条件是等价的充要条件是 存存 在在m阶可逆矩阵阶可逆矩阵P及及n阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q 使使PAQ B nm 并且 并且 R PA R AQ R PAQ R A 3 3 重要结论 重要结论 n EA 初 等 行 变 换初 等 行 变 换 A P1P2 Pk 定理定理1 矩阵矩阵A可逆可逆 存在有限个初等阵存在有限个初等阵P1 P2 Pk 使使 CH3 初等变换与方程组初等变换与方程组 四 初等变换四 初等变换的应用的应用 1 1 用初等变换求逆矩阵的方法 用初等变换求逆矩阵的方法 1 构造矩阵构造矩阵 A E 2 做初等行变换做初等行变换 1 AEEA 行 注注 也可用初等列变换求可逆矩阵的逆矩阵也可用初等列变换求可逆矩阵的逆矩阵 1 A E E A 2 E A 1 列列 做初等列变换做初等列变换令矩阵令矩阵 2 2 用初等变换解矩阵方程用初等变换解矩阵方程 AX BAX B 其中其中A A可逆可逆 的一般的一般 方法方法 BAEBA 1 行 1 BAX 1 2 五 线性方程组的解五 线性方程组的解 有解有解 bA ARR bA ARR 无解无解 R A n 有唯一解有唯一解 R A n 有无穷多解有无穷多解 bAX 解非齐次线性方程组解非齐次线性方程组Ax bAx b的一般步骤为 的一般步骤为 2 2 对增广矩阵对增广矩阵B施行初等行变换化为行最简矩阵 施行初等行变换化为行最简矩阵 3 3 由行最简矩阵写出同解方程组 取定自由未知量写出由行最简矩阵写出同解方程组 取定自由未知量写出 方程组通解 方程组通解 1 1 对增广矩阵对增广矩阵B施行初等行变换 将其化为行阶梯矩阵 观施行初等行变换 将其化为行阶梯矩阵 观 察察R A R B 若若R A R B 转向 转向2 步 步 若若R A R B 则方程组无解 解题完毕 则方程组无解 解题完毕 AX 0 有非零解有非零解 r A n 1 X 2 AEA EAEA X 2 1 2 AEAX 4 A 222 222 222 2AEA 101 110 011 4 1 X XAXA2 1 A 111 111 111 A 设矩阵方程为 设矩阵方程为 其中 其中 为为A的伴随矩阵 且的伴随矩阵 且 求矩阵求矩阵X 即 即 而而 解 解 由于由于 利用初等变换易得 利用初等变换易得 例例1 二 例题分析 二 例题分析 1 X 2 AAEAA 例例2 2 已知矩阵已知矩阵 2540 002 1121 tA的秩为的秩为2 求求 t 的值的值 解 解 2540 002 1121 tA 2540 2240 1121 t 0300 2240 1121 t t r A 2 3 t 0 即即 t 3 例例3 3 设线性方程组设线性方程组 03 02 02 321 321 321 xxx axxx xxx 的系数矩阵为的系数矩阵为A 三阶矩阵三阶矩阵B O 且且AB O 试求试求a的值的值 解解 由由AB O B O得得 方程组方程组Ax 0有非零解有非零解 R A 3 113 12 221 a 550 450 221 a 100 450 221 a a 1 a 例例4 4 的秩的秩求伴随矩阵求伴随矩阵阶方阵阶方阵设设 2 4AARA 2 AR 0的任意三阶子式等于的任意三阶子式等于根据秩的定义有根据秩的定义有 A 0 ij AjiA元素的代数余子式元素的代数余子式的的 44342414 43332313 42322212 41312111 AAAA AAAA AAAA AAAA A 0 0 AR 解解 0 2 EAEAEA nEAREAR nERAEAER 2 nEAREAR 例例5 设设A是是n阶矩阵阶矩阵 且且A2 E 证明证明R A E R A E n 所以所以R A E R A E n 证明 证明 由由A2 E得 得 练习 练习 设设A为为n阶方阵阶方阵 E为为n阶单位阵阶单位阵 满足满足A2 5A 4E 0 证明证明 A 3E 可逆可逆 并求并求 A 3E 1 习题选讲习题选讲 BXAXBAP 使使求求设设 132 321 433 312 120 5 2 79 解解 1 1 A EA 2 A 1 BBB 列列 做初等列变换做初等列变换令矩阵令矩阵 TTT BXABXA 两边同取转置得两边同取转置得对对 解解 2 TTTT B A EBA 1 1 行行 TTT B A X 2 1 B A X 3 11 BA TTT 11 79 BRARBA nmBAP 的充分必要条件是的充分必要条件是 矩阵 证明 矩阵 证明 都是都是 设设 证 证 2 67定理 定理P rBRAR 设设 使使 阶可逆矩阵阶可逆矩阵和和 阶可逆矩阵阶可逆矩阵则则 2121 QQnPPm 00 0 00 0 2211 rr E BQP E AQP 2211 BQPAQP 1 211 1 2 1 122 1 1 QAQPPBQBQPPA BA 组组为通解的齐次线性方程为通解的齐次线性方程 写出一个以写出一个以 1 0 4 2 0 1 3 2 15 2179 ccxP 解 解 1 0 4 2 0 1 3 2 21 4 3 2 1 cc x x x x 24 13 212 211 43 22 cx cx ccx ccx 432 431 43 22 xxx xxx P80 21 证 证 mAREXA mnm 有解有解方程方程 mmnm EARAREXA 有解有解方程方程 mARnm 矩阵 矩阵 max mmm ERAREARERAR 又又 max mmAREAR m mAR 从而从而 mAR 例题例题 设设A为为m n阶矩阵 证明阶矩阵 证明 YXnARAYAX 则 则 且 且若若 证 证 0 YXAAYAX nAR 又又 0YXYX 即即 只有非零解只有非零解方程方程0 YXA CH3 初等变换与方程组初等变换与方程组 三三 自测题 自测题 一一 填空题填空题 AaAnA2 1则则其行列式其行列式阶矩阵阶矩阵是是 AR bababa bababa bababa A nnnn n n 则则设设 21 22212 12111 2 33333231 23232221 13131211 333231 232221 131211 3322 3322 3322 4 3 aaaa aaaa aaaa aaa aaa aaa D则则 2 1 0 niba ii 其中其中 a n 2 1 48 CH3 初等变换与方程组初等变换与方程组 二二 选择题选择题 EDEACEABAA AAnA n 1 则则阶方阵阶方阵是是 ADACABAA AnA nn 2 则则是一实数是一实数阶方阵阶方阵是是 3 若一个若一个n阶方阵阶方阵A的行列式值不为零 则对的行列式值不为零 则对A进行若干进行若干 次矩阵的初等变换后 其行列式的值次矩阵的初等变换后 其行列式的值 A 保持不变保持不变 B 可以变成任何值可以变成任何值 C 保持不为零保持不为零 D 保持相同的正负号保持相同的正负号 432 4 aDaCaBaA A AaAA 的行列式的行列式则其伴随矩阵则其伴随矩阵为三阶矩阵为三阶矩阵设设 CH3 初等变换与方程组初等变换与方程组 01 0 10 0 10 0 0 10 min 6 阶子式都等于阶子式都等于任何的任何的阶子式不等于阶子式不等于任何任何 阶子式阶子式的的没有不等于没有不等于阶子式阶子式的的有不等于有不等于 阶子式阶子式的的没有不等于没有不等于阶子式阶子式的的有等于有等于 阶子式不为阶子式不为至少有一个至少有一个阶子式阶子式的的没有等于没有等于 中必中必则则矩阵矩阵是是 rrD rrC rrB rrA AnmrARnmA 5 设设A B都是都是n阶非零矩阵阶非零矩阵 且且AB 0 则则A和和B的秩是的秩是 A 必有一个等于必有一个等于0 B 都小于都小于n C 一个小于是一个小于是n 一个等于一个等于n D 都等于都等于n CH3 初等变换与方程组初等变换与方程组 7 当当A等于等于 时时 333231 232221 331332123111 333231 232221 131211 333 aaa aaa aaaaaa aaa aaa aaa A 130 010 001 101 010 300 100 010 301 103 010 001 DC BA 9 1 则则的秩为的秩为 矩阵矩阵的秩为的秩为矩阵矩阵阶可逆阵阶可逆阵是是矩阵矩阵是是设设 r ACBrAnCnmA 定定的关系由的关系由和和CrrDrrCrrBrrA 1111 8 设设A为为n阶可逆矩阵阶可逆矩阵 下列下列 恒正确恒正确 T T T T T T AADAAC AABAAA 1 1 1 1 1 1 11 11 22 CH3 初等变换与方程组初等变换与方程组 三三 计算题计算题 1 2000 0310 0120 0003 1 求求 00 00 00 6 2 7 1 4 1 3 1 1 BA BAABAABA 求求 且且满足关系式满足关系式设三阶方阵设三阶方阵 00 0 001 3 1 1 2 5 2 3 2 1 T AAA及及求求设设 CH3 初等变换与方程组初等变换与方程组 011 10