第五届精英赛小高答案.pdf

第五届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛 笔试一试卷 小学高年级组 2014 年 7 月 23 日 60 分钟 一 填空题 每题 8 分 共 32 分 1 算式 2 1 3 5 7 9 10 12 14 16 18 5 6 7 8 9 的计算结果是 题型 分数巧算 答案 2 解析 对于算式 2 1 3 5 7 9 10 12 14 16 18 5 6 7 8 9 先将分子后面部分与分母进行 约分 约分后得到1 3 5 7 9 2 2 2 2 2 5 6 7 8 9 接下来再继续约分可以得到 3 2 2 2 2 2 6 8 这样就可以通过简单计算得到结果等于 2 杭州学而思陈世杰老师编 辑 2 今年是 2014 年 2014 不是完全平方数 但可以将它的各位数字改变顺序 使得到的新 四位数是完全平方数 例如 2 102432 已知用数字 2 0 1 4 各一个还能组成另一个四 位完全平方数 那么这个新的四位完全平方数是 题型 完全平方数 答案 2401 解析 根据题意 由数字 2 0 1 4 组成的完全平方数的个位必定为 0 1 或 4 且最小 数为 1024 最大为 4210 其因数估算在 32 65 之间 若数字个位为 0 根据平方数特征则 十位也为 0 不合题意 若个位为 1 则千位为 2 或者 4 且因数个位为 1 或者 9 则可能为 41 41 1681 49 49 2401 51 51 2601 59 59 3481 61 61 3721 其中 49 49 2401 符合题意 若个位为 4 根据平方数特征则应该是 4 的倍数 根据整除特征 末两位应该是 04 或者 24 所以组成数字为 1024 或者 2104 经验算 2104 不合题意 所以只有 2401 492 杭州学而思潘浩盛老师编辑 3 在不同的历史时期 斤 和 两 之间的进制不同 成语 半斤八两 就是由 16 进制 而来的 为方便计算 我们认为古代的 16 两是 1 斤 每斤为现代的 600 克 现代 10 两是 1 斤 每斤为现在的 500 克 现有一批药品 有一部分按古制称 另一部分按现制称 统计发现 斤 数和是 5 两 数和是 68 那么 这批药品共有 克 题型 列方程组解应用题 答案 2800 解析 解 设按古制称的药品部分有 x 斤 按现制称的药品部分有 y 斤 681016 5 yx yx 由10 得 6x 18 x 3 将 x 3 带入 式得 y 2 所以这批药品共 3 600 2 500 2800 克 杭州学而思潘浩盛老师编辑 4 两个完全相同的正三角形可以拼成一个菱形 如果正三角形的边长为 10 则这个菱形内 部最大的正方形面积为 题型 平面几何最值问题 答案 50 解析 菱形中的正方形面积最大 很容易误导考生 会认为下图 1 是最大的正方形 而 我们知道类似于菱形的面积计算公式是可以通过对角线来求得 即 2sa b 式中 a 与 b 分别是菱形的两条对角线长度 同样的 对于正方形也是一种特殊的菱形 我们也可以通过这样的方式求得 所以我们只要保证正方形有最长的 2 条对角线就可以了 而且正方形的两条对角线是相等的 与菱形平行时才等于 10 因此类似于图 1 这样放置的 对角线小于 10 所以可以知道下图 2 才是菱形中面积最大的正方形 在该图中正方形的对 角线长度是正三角形的边长 边长 10 所以面积为 50 杭州学而思陈世杰老师编辑 10 10 图 1 图 2 二 填空题 每题 10 分 共 40 分 5 2 2 2 2 1 3 3 6 5 6 7 6 6 A 与100A 最接近的整数是 题型 估算 答案 314 解析 因为数字是无穷多的 我们先算少点找下规律 A1 3 6 12 3 167 A2 3 6 3 6 1 2 2 3 133 A3 3 6 5 6 3 6 1 2 2 2 3 145 A4 3 6 7 6 5 6 3 6 1 2 2 2 2 3 139 A5 3 6 9 6 7 6 5 6 3 6 1 2 2 2 2 2 3 143 A6 3 6 11 6 9 6 7 6 5 6 3 6 1 2 2 2 2 2 2 3 141 观察发现 每两个数字都是上下波动的 但是波动的幅度逐渐减小 A1 A2介于 3 167 与 3 133 之间 A3 A4介于 3 145 与 3 139 之间 A5 A6介于 3 143 与 3 141 之间 由此可以 得出规律 A7 A8一定是 3 141 与 3 143 之间 所以 An 100 最接近的整数是 314 杭州学 而思陈豪老师编辑 6 如图所示 由 75 个小方格组成了15 5 的图案 图中一些小方格已经被涂上了阴影 现 在要继续把一些空白的小方格涂上阴影 保证任意22 的方格中阴影小方格的数量都多 于一半 那么最少需要再把 个空白小方格涂上阴影 题型 最优方案 答案 17 见图 6 1 解析 要使任意 2 2 的方格中阴影方格数多于一半 且要涂的空白方格最少 则需要任 意 2 2 的方格中尽量有三个阴影方格 涂格方法不唯一 杭州学而思王海强老师编辑 图 6 1 7 自然数A除本身以外最大的约数是d 自然数2A 除本身以外最大的约数是2d 那 么A的值是 题型 数论中的因倍问题 答案 7 解析 1 1 若 A 为偶数 则当 A 2 时 除本身以外最大的约数是 d 1 这与题目中的 d 2 不符合 故 A 为奇数 2 2 若 A 为合数 由 1 分析可得 A 同时为奇数 所以设 1 21An 其中 1 n为大于 1 的自然 数 由于 A 为奇数 所以除本身外最大的因数 d 也是奇数 同理可设 2 21dn 2 n为大 于等于 0 的自然数 则 A 可以分解成如下算式 123 21 21 21 nnn 1 其中 123 nnn 由题可得 A 2 也是奇数 若 A 2 为质数 则与题意不符 所以 A 2 也可分解如式 1 的形 式 124 23 23 21 nnn 2 其中 1234 nnnn 将 2 1 得 24343 24 622nnnnn 将上式整理得 3424 24 4nnnn 3 因为 34 nn 由 3 可得 24 244nn 这明显不符合 故 A 为合数的假设不成立 A 为 质数 3 3 当 A 为质数时 d 只能为 1 当 A 2 时 除本身外最大的约数为 3 可得 A 7 杭州学而思 朱佳斌老师编辑 8 如图 三横 三竖 三斜共 9 条街道 编号 1 9 的 9 个路口 A B C D E 五位警察在其中 5 个不同的路口站岗 如果两个警 察在同一条街道上 那么他们就能互相看到 他们各自说了如下 的一句话 A 我能看到 4 位警察 B 我能看到另 4 位警察中的 3 位 C 我能看到另 4 位警察中的 2 倍 D 我只能看到 B E 我谁也看不到 已知他们恰有 1 人说谎 且说谎的警察所在路口的编号是五位警察中最小的 那么 A B C D E 所在路口编号依次组成的五位数是 题型 逻辑推理 答案 25496 解析 由题得 A和E的话是矛盾的 所以他们之间肯定有一个人错了 假设A是对的 则E错误 那么可以分析得到D页是错的 因为A能看到D D肯定能看到A 不符合题意说 的恰有一个人说谎 所以可以分析得到A是错误的 然后由E 我谁也看不到来分析E的站位 因为说谎的人编号最小 所以E不可能站在1 从2开始分析 假设E站在2 则A只能站在1 E能看到A 不符合 假设E站在3 则E能看到1 4 5 6 7 9这些位置 剩下不足4个 站不下其 他4个警察 不符合 假设E站在4这个位置 则能看到1 2 3 5 7 8这些位置 剩下位置不足4 个 不符合 假设E站在5 则能看到5个位置 剩下不足4个 不符合 假设E站在6这个位 置 则A只能在2 B只能在5 D只能在9 C只能在6 符合题意 假设E在7 能看到6个位 置 剩下不足4个 不符合题意 假设E站在8 能看到6个位置 剩下不足4个 不符合题意 假设E站在9 则剩下1 2 4 6四个位置给A B C D去站 B不可能看到3个警察 所以不符 合题意 所以得到E只能站在6 A在2 B在5 C在4 D在9这种情况 得到答案25496 杭 州学而思吕宁老师编辑 9 876 543 21 三 填空题 每题 12 分 共 48 分 9 四个小伙伴想办 亲情套餐 即缴纳一定金钱后 四人之间发短信免费 但是尴尬的是 当地只有 10 元的 三人间免费 的A套餐和 5 元的 两人间免费 的B套餐 四人想了 一下 觉得可以开几个这种套餐 使得小伙伴们可以通过中间人转发做到互相之间都可 以免费发短信 那么在花钱最少的情况下 他们有 种开通套餐的方式 题型 最值问题 排列组合 答案 28 种 解析 题目问的是花钱最少的情况下 有多少种开通的方式 这是一个计数问题 但是有 条件限制 因此我们应该先找到花钱最少的情况 花钱最少的情况我们可以从花 5 元开始进 行计算 首先可以先花 5 元 但此时没有满足题目要求 因此还要继续增办套餐 如果再办 一个 10 元套餐或者 2 个 5 元套餐那么就满足题目要求了 所以花钱最少的情况就应该是花 15 元办套餐 但是这个 15 元需进行分类讨论 1 1 个 10 元 1 个 5 元 2 3 个 5 元 1 1 个 10 元 1 个 5 元 我们用图来表示这种情况 如图 1 图 1 先确定 ABC 三个位置的可能性 即从 4 个人中选 3 个 即 4 种 那么剩下 D 位置人选 也确定了 但是 A B C 三个位置的人可以互换位置 所以在 D 位的人有三种办套的方法 即还要再乘以 3 所以这种情况共有 种 2 3 个 5 元 我们发现 3 个 5 元实际上还要再分 2 种情况 我们把它们记做 如 图 2 和 如图 3 图 2 图 3 A D C B B A C D A B C D 先确定 B 和 C 的选法 就是 种 当 B 和 C 确定后 A 和 B 还有 2 种 剩下的人可 以在 A B 之间互换 所以共 种 先确定 B 位置的人选 就是 种 当 B 位置的人选确定后 A D C 三个位置 的再怎么换仍然是同一种 可以通过旋转 对称得到 所以共 种 那么共有 种 杭州学而思章晓宇老师编辑 10 如图 正八边形中连出 3 条对角线围成一个三角形 图中阴影部分 如果该正八边形 的边长为 60 那么阴影部分的面积是 题型 求几何面积 答案 900 解析 阴影部分面积即 OJE 的面积 我们找到三角形的底和对应高求面积 如图 连结点 A F 易知四边形 ABEF 为长方形 对角线 AE 被 DH 平分 即 AO OE 作 OI 垂直 BE 垂足为点 I 可得 OI 为长方形宽的一半 为 60 2 30 即 OI 30 高 正八边形中 每个内角是 8 2 180 8 135 长方形中 BEF 90 所以 JED 135 90 45 JDE 135 2 67 5 DJE 180 45 67 5 67 5 所以 JDE 为等腰三角形 JE DE 60 底 S OJE JE OI 2 60 30 2 900 杭州学而思朱丽老师编辑 11 AB两地相距 291 千米 甲 乙两人同时从A地出发匀速前往B地 与此同时丙从B地 出发匀速前往A地 当乙走了p千米与丙相遇时 甲走了q千米 又过了一段时间 当 甲 丙相遇时 乙共走了r千米 如果p q r均是质数 那么 p q r的和是 题型 行程与数论综合问题 答案 221 解析 这是一道披着行程问题外衣的数论问题 当乙 丙相遇时 甲走了 q 千米 乙 走了 p 千米 丙则走了千米 当甲 丙相遇时 乙走了 r 千米 由甲乙两人 走过的路程比得此时甲走了 千米 那么此时丙走了千米 那么根据乙丙两人走 的 时 间 都 是 相 同 的 则 可 以 分 别 得 到 两 人 的 速 度 比 为 根 据 比 例 的 内 项 积 等 于 外 项 积 可 得 化简之后可得 其中 因为都为质数 所以 r 不可能为 p 的因数 所以 r 为 291 的因数 291 因式分解得 然后分类讨论 r 3 此时 且 p q 又为质数 显然不成立 r 97 此时 得 因为 所以 4p 即 所以符合 p 的取值为 73 79 83 89 93 经尝试可得