高中数学必修三标准差

第二课时标准差 2 2 2用样本的数字特征估计总体的数字特征 平均数向我们提供了样本数据的重要信息 但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断 因为这个平均数掩盖了一些极端的情况 而这些极端情况显然是不能忽的 因此 只有平均数还难以概括样本数据的实际状态 如 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次 每次命中的环数如下 甲 乙 看两人本次射击的平均成绩 两人射击的平均成绩是一样的 那么两个人的水平就没有什么差异吗 4 5 6 7 8 9 10 环数 频率 0 1 0 2 0 3 甲 4 5 6 7 8 9 10 0 1 0 2 0 3 0 4 环数 频率 乙 从条形图来看 二者还是有差异的 如 甲成绩比较分散 乙成绩相对集中 因此 我们还需要从另外的角度来考察这两组数据 例如 在作统计图表时提到过的极差 甲的环数极差 10 4 6乙的环数极差 9 5 4 它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度 与平均数一起 可以给我们许多关于样本数据的信息 考察样本数据的分散程度的大小 最常用的统计量是标准差 标准差是样本平均数的一种平均距离 一般用s表示 所谓 平均距离 其含义可作如下理解 由于上式含有绝对值 运算不太方便 因此 通常改用如下公式来计算标准差 一个样本中的个体与平均数之间的距离关系可用下图表示 考虑一个容量为2的样本 显然 标准差越大 则a越大 数据的分散程度越大 标准差越小 数据的分散程度越小 说明 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离 它用来描述样本数据的分散程度 在实际应用中 标准差常被理解为稳定性 如试比较以下两组样本数据的分散程度101 98 102 100 991 3 5 7 9 经验总结 标准差用来描述样本数据的分散程度 再如 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次 每次命中的环数如下 甲 乙 用计算器可算出甲 乙两人的的成绩的标准差 课后作业 请同学们根据教材75页 掌握如何用计算器计算样本数据的标准差 由可以知道 甲的成绩分散程度大 乙的成绩分散程度小 由此可以估计 乙比甲的射击成绩稳定 上面两组数据的分散程度与标准差之间的关系可用图直观地表示出来 再如 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次 每次命中的环数如下 甲 乙 例1 画出下列四组样本数据的条形图 说明它们的异同点 1 2 3 4 四组数据的平均数都是5 0 标准差分别是0 00 0 82 1 49 2 83 虽然它们有相同的平均数 但是它们有不同的标准差 说明数据的分散程度是不一样的 说明 在刻画样本数据的分散程度上 方差与标准差是一样的 但在非计算器运算中为了避免开方运算 常采用方差 例2 甲乙两人同时生产内径为25 40mm的一种零件 为了对两人的生产质量进行评比 从他们生产的零件中各抽出20件 量得其内径尺寸如下 单位 mm 甲 乙 从生产的零件内径的尺寸来看 谁生产的质量较高 解 用计算器计算可得 从样本平均数看 甲生产的零件内径比乙生产的更接近内径标准 25 40mm 但是差异很小 从样本标准差看 由于S甲 S乙 因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多 于是 可以作出判断 甲生产的零件的质量比乙的高一些 甲乙两种水稻6年平均产量的平均