工科数学分析下学期复习.doc

第四章 微分方程4.1方程的分类与解法及结构定理4.1.1 一阶，可分离变量方程l 一阶变量分离方程l 齐次方程令，4.1.2 一阶线性非齐次方程齐次方程通解 标准形 通解伯努利方程令得4.1.3 特殊二阶方程 降阶法l 微分方程接连积分n次，便得到微分方程的含有n个任意常数的通解。l 令 则l 令 则l 首次积分方法若则称为方程0的首次积分。这样就把原方程降了一阶。特别地，二阶的就变成一阶方程了。4.1.4 二阶（高阶）线性常系数方程1线性方程解的结构理论定理1（叠加原理） 设是齐次方程的解，则它们的线性组合 也是齐次方程的解，其中是任意常数。定理2 设是非齐次方程的一个解， 是对应的齐次方程的解，则也是非齐次方程的解，其中是任意常数。定理3 （二阶齐次线性微分方程通解的结构） 设和是方程（3）的两个线性无关特解，则 （是任意常数）是方程（3）的通解。对于二阶非齐次线性微分方程（4）有如下的定理。定理4（二阶非齐次线性微分方程通解的结构） 设是方程（4）的一个特解，和是方程（4）对应的齐次线性方程（3）的两个线性无关解，则(5)是方程（4）的通解。2齐次方程 特征方程 综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤如下：第一步 写出微分方程的特征方程第二步 求出特征方程的两个根。第三步 根据特征方程两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（3）的通解特征方程的两个根微分方程的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根对于高阶常系数齐次线性微分方程可以根据下表给出的特征方程的根写出对应齐次线性微分方程的解如下：特征方程的根微分方程通解中的对应项单实根一对单复根k重实根k重复根给出一项给出两项给出k给出k项：项给出2k项： 3非齐次方程 其通解是其中是对应齐次方程的解，是非齐次方程的解。特解 k是特征根的重复次数， 特解k是特征根的重复次数。4欧拉方程 令 或 ，则，若引入微分算子符号，则上述结果可简记为，一般地 4.2一般题（1）例题例1 求的通解,其中为大于零的常数。解:特征方程，特征根，齐次方程通解，特解形式，其中，故，代入原方程,得 通解例2 设非齐次线性微分方程有两个不同的解，C为任意常数,则该方程的通解是(A)C-， (B) +C- ，(C)C+，（D）+C+解:选(B)例3 设为二阶常系数线性齐次方程的两个特解，则由与能够成该方程的通解，其充分条件是（A） （B）（C） （D）解：由（B）可知，即，故，可知线性无关。例4 求方程的特解形式。解:,所以例5在下列微分方程中,以，为任意常数)为通解的是( )。(A) (B) （C）（D）解：选(D)例6 设二阶常系数线性微分方程的一个特解为求及其通解。解法1：由可知特征根故特征方程为，从而，将代入原方程，得，通解为解法2：将代入原方程得故 所以例7 设，其中满足，且.，求解：即，解得例8设对于任意实数s和t，有，且，求。解:令故，代入初值，得，例9 设，其中是连续函数，求解：，又，带入原方程得，带入初值得例10设有方程，大于零常数,试用变换将方程化简并求解。解：代入原方程,并整理：，解得:，再用代回即可。例11 求解微分方程组。（工科微积分不用做，工科数学分析做）解：特征方程：，令，从而，从而通解为(二)练习l设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解，为任意常数,则该方程通解是（A）（B）（C）（D） （D）2 . 已知，是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程。 （）3.求满足的可微函数 （）4 .设函数在上可导，且满足等式,(1)求； (2)证明时,成立不等式:。（）4.3、微分方程的应用(一)例题例1 曲线过点(1,1)其且上任一点处的切线在轴上的截距等于同一点处法线在轴上截距,求曲线方程。解: 设曲线方程，为曲线上任一点, 切线方程:，切线在y轴上截距为，法线方程:，法线在x 轴上截距为，故方程为：，即解得,通解为，特解例2 设是一条平面曲线，其上任意一点到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在轴上的截距，且L经过点。（1）试求曲线L的方程；（2）求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线于L以及两坐标轴所围图形的面积最小。解 （1） 依题意，设曲线L过点的切线方程为令X=0，则得该切线在轴上的截距为由题设知，令，则方程化简为，解得。由L经过点，得，于是L的方程为即（2）设第一象限内曲线在点处的切线方程为即，它与轴及轴的交点分别为与，故所求面积为对求导，得令，解得当时，；时，因而是在内的惟一极小值点，即最小值点，于是所求切线为即例3 一质量为的物体,由静止开始下落,已知空气阻力与下落速度成正比,比例系数为，（1）求速度函数与路程函数:(2)求极限速度;(3)求路程与速度之间的函数关系。解:(1)由牛顿第二定律,得即，即解得：，；（2）极限速度；（3）由 得解得 例4 容器内有100L的盐水，含10kg的盐，现以3L/min的均匀速率，往容器内注入净水（假设净水与盐立即调和），又以2L/min的均匀速率从容器抽出盐水，问60分钟后容器内盐水中含盐是多少？解 设时刻盐水中盐的含量为，依题意，在时段内含盐量的改变量为，于是得分离变量得 两端积分得，代入得故当t60时， (二)练习1. 某湖泊的水量为v,每年排入湖泊内含污染物A的污水量，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖泊的水量为。已知1999底年湖中A的含量为5,超过国家规定指标。为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过，问至少需经过多少年,湖泊中污染物A的含量降至以内? (61n3年)。2.某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下。现在一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km / h，经测试，减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为)，问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? (1.05km)第六章 多元函数微分学6.1 多元函数概念6.1.1二元函数的极限定义 f (P)= f (x，y)的定义域为D, 是D的聚点. 对常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点P(x，y)D，即时，都有|f (P)A|=|f (x，y)A|0)，求球体质心位置。解:设球体为,球心为原点，面球方程：，设质心坐标，由对称性，例4 求，其中解：原式=例5 设函数连续且恒大于零，（1）讨论在区间上的单调性；（2）证明当时，。证：（1）所以，所以在上单调增加。（2）时，证明：，即：只需证，又，所以。 (二)习题1 . 设，及：，则(A)(B) （C）（D） （C）2.计算， （）7.4 第一型曲线积分物理解释：视为密度函数，则积分为曲线质量。几何解释：1. 取，积分为曲线弧长。2. 第一型曲线积分，当时，表示以xOy平面上的曲线段L为准线。母线平行于z轴，高度为f (x, y)的柱面面积。一、 计算方法：设参数，化定积分12. 3. 12(此类空间曲线常以隐式方程形式出现)特殊的：平行轴线段，平行轴线段 (一)例题例1计算，为解 曲线即球面和平面的交线，切对于具有轮换对称性，从而故。 (二)习题1求八分之一球面的边界曲线的质心,设曲线的线密度为l。7.5 第一型曲面积分一、物理解释：时得曲面面积二、计算方法：投影，做二重积分1若曲面方程为，则2若曲面方程为，则3若曲面方程为，则（一）例题例1 求，其中 解：由对称性，得，原式=例2 设曲面，则_ ()例3 设为球面，计算解 由于球面关于平面对称，因而故原积分等于例4 计算曲面积分，其中是曲面 （），为曲面上任意一点法向量的三个方向余弦（）解：设取下侧，则原式=（二）习题1.设，是在第一卦线中的部分，则有(A) （B）（C）（D）（C）2.计算曲面的质量，其中为锥面在柱体内的部分，上任意一点处的面密度函数为该点到面的距离。 （）3求， （）4.设半径为的球面的球心在定球面上，问为何值时，球面在定球面内部的面积最大？ （）第8章 曲线积分与曲面积分8.1 向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功变力沿曲线运动取微元，则。平面曲线，空间曲线，性质一、 计算方法1设参数，化定积分2平面闭曲线上积分用格林公式，其中L是D的取正向的边界曲线，D为单连通区域，P，Q与上有连续一阶偏导数。3对于积分与路径无关的可自选路径4积分与路径无关及偏导数于上连续。下列四个命题等价（1）0，对D内任意闭曲线C.（2）积分与路径无关（3）存在使du（4）在D内恒成立.常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分 (一)例题例1 计算曲线积分，这里连续，是位于连接与的线段下方的任一光滑曲线。且与所围图形的面积为2.解：加辅助线和，其中，例2 计算，为上半椭圆由经到的弧段。解：因为，积分与路径无关，取（上半圆），即原式=例3 设在区域上具有连续的偏导数，在的边界曲线上，求解：例4 设为曲线所包围的闭区域，面积为，的方向为逆时针方向，函数在上具有二阶连续偏导数，且，证明，其中是沿的边界外法线的方向导数，并求此积分值。证明：例5 设存在连续的导数，且，L为半圆周起点为原点，终点为。计算；解 令，则由于都是连续可导函数，并且所以这个积分于路径无关，于是 (二)习题 1.已知为某函数的全微分, 求常数。 (=2)2.计算，其中，由沿下半圆到再沿斜直线到 已知平面区域，为正向边界，证明（1）（2）4.计算曲线积分，其中是以点为中心，为半径的圆周，取逆时针方向。 (时，时，)5.已知曲线积分（常数），其中是可导函数，是绕原点(0,0)一周的任意正向闭曲线。（1）设C为任一不过原点也不包围原点的正向闭曲线,证明（2）当时, 求及。（）8.2 向量值函数在有向曲面上的积分一、 概念与形式1定义流量，2物理意义：计算流量，通量3性质：4计算方法：投影，定号：上正下负，右正左负，前正后负，做二重积分5.高斯公式，或这里是的整个边界曲面的外测,是在点处的法向量的方向余弦.例1 计算，其中是椭球面的外侧。解：，取内侧。例2 计算，其中是由曲面及两平面和所围立体表面的外侧。解：设，依次为的上、下底和圆柱面部分，则，例3 计算，其中连续，被坐标面所截部分，上册。解：第九讲 无穷级数9.1 级数的知识框架9.1.1 级数的概念与性质1叫做无穷级数2称为部分和,若称无穷级数收敛3性质1） 收敛到，则收敛到.2） ,收敛到,则级数收敛到.3） 在级数中去掉,加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.4） 如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数(4)仍收敛,且其和不变.5） 收敛,则9.1.2 数项级数1 正项级数2 任意项级数9.1.3 函数项级数1 幂级数2 付氏级数 狄利克雷收敛定理要求总体理解概念，重点掌握幂级数9.2 数项级数（一）例题例1 结论：（1）若收敛，则；（2）若，则发散；（3）若收敛，则收敛；（4）若收敛，则收敛，其中正确的个数是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （B）例2 证明若偶函数在的某邻域内有二阶导数，且，则绝对收敛。证明：为偶函数，则 ，即，故绝对收敛。例3 设，为正项级数，证明（1），满足，且发散，则也发散。（2），满足（常数），且收敛，则也收敛证明：（1）由条件可得，从而，由发散，则也发散。（2）由条件，得，所以，由收敛，则也收敛。例4 设正项数列单调减少且发散，证明绝对收敛。证明：由单调减少且发散，知，且对任意有所以，而部分和 ，所以原级数绝对收敛。例5 设方程，其中为正整数，证明该方程存在唯一正实根，并证明时。级数收敛。证明：令，又，故方程有唯一正跟，又，所以收敛。例6设和都是收敛的正项级数，且有，则当收敛时，也收敛；当发散时，也发散。证 有关系式 ，可得将上述不等式相乘，得，即有比较法知，当收敛时，也收敛；当发散时，也发散。例7 设正项数列单调减少，且发散，试问是否收敛？并说明理由。解 由于，从而正项数列单调减少有下界，故存在，记为，则。若，则由莱布尼兹判别法有收敛，与假设矛盾，故。于是，从而，而时公比小于1的几何级数，故收敛，因此由比较判别法知，原级数收敛。（二）习题1. 设，且，若级数收敛，求的取值范围。（）2设收敛，则必收敛的级数是（A）（B） （C）（D） （D）3. 设（1）求， 1（2）证明：对任意的常数，级数收敛。4. 设，（），证明级数收敛、5. 已知函数满足等式且，试讨论级数的敛散性。 （绝对收敛）6. 讨论级数的敛散性（p0）(时，级数发散；当时，若级数发散，若级数收敛；当时，若级数条件收敛，当时级数绝对收敛)7. 两个正项级数，若其满足（），讨论两个级数敛散性之间的关系 （当发散时，必发散；当收敛时，必收敛）8. 求曲线 （）与轴所围图形面积。9.3 关于幂级数9.3.1 幂级数的收敛半径于收敛域一、基本内容1 若，则2 于内收敛。（且内闭一致收敛）9.3.2 函数展开成幂级数一、基础内容1或2直接法：仅用上述公式展开，研究收敛性3间接法，由如下基本公式演绎展开1）2）3）4）5）6）7）9.3.3 求幂级数的和函数一、 基本方法1 使用函数展开公式（7个公式应用）2 变换之后使用公式，求导，积分公式可和型变回原型3 和式求导（或积分）于原式结合微分方程，求和例1 求的收敛域。解：，即当，时级数收敛，当时，级数为发散，故收敛域为。例2 设在处条件收敛，则在处（A）必发散 （B）必条件收敛