数学分析(2)7437224200.doc

关于级数(x nx n-1)一致收敛性的一点儿理解a. (x nx n-1)这个级数的一致收敛性有点意思。它在(0，1)这个开区间上不一致收敛，但若任意给一个正数rN时，对区间I上的一切x，都有不等式| rn (x) |=| s(x)sn (x) | N时，并非对区间上一切x都有不等式成立，再具体说就是在区间I上，总有不满足不等式的点存在。比如我现在取一个点x=a在区间内，即令0a1，那么显然0a1/ n1也在区间内，因此x= a1/ n 也属于区间内的点，也该接受检验。好了，现在我假设这个级数是一致收敛的，那么我取一个N时，一切x都满足x n a/2，可是很显然，x= a1/ n 这个点就不满足这个条件，因此这个假设是错误的。d. 刚刚搞清这个，现在却要面对一个更让人匪夷所思的结论：这个级数虽然在（0，1）内不一致收敛，但如果任意给一个正数r1，则在0，r这个闭区间上却一致收敛。这是什么意思？倘若我用刚才的思路如法炮制，在0，r内也找一个不满足条件的点不就使这个结论崩溃了吗？好吧，让我们再来演一遍：我取一点x=a在0，r区间内，那么x= a1/ n也应在区间0，r 内，那么x= a1/ n需要接受检验。现在我取一个N时，一切x都满足x n a/2，可是x= a1/ n 这个点不满足这个条件，所以在0，r内该级数不是一致收敛的，这样结论就错了。e. 如果各位对真理怀有一点敬畏的话，就不会胡乱怀疑前人总结出来的经典定理。事实上结论没有错，错的是上面那个推导，是推理过程发生了偏差。可是推理是仿效上面的正确推理，一切都按部就班，究竟错在哪里呢？我们来看一下：大家可以注意一下那行黑体字，实际上这个判断是没有根据的，x= a在0，r区间内，并不等于说x= a1/ n一定也在区间0，r 内。正确的情况是：可能在其内也可能不在其内，比如令r=0.8,a=0.04,当n=2时，a1/ n =0.2，在0.8内，但如果令r=0.1,就不在其内了（r可以是任意取的）据此，就不能以此作为判断依据。事实上，我猜想，如果最终结论是正确的话，那么x= a1/ n应该是在区间0，r 之外的。虽然现在我已经不知道这到底意味着什么（太抽象了），不过我可以运用逻辑作如下证明：-命题：已知任意给一个正数r1，在0，r这个闭区间上级数(x nx n-1)一致收敛，即对于0，r内任意一点x都使得x n 成立，那么对于其内一点a（0 a r ）, a1/ n 在0，r之外。证明：运用反证法。假设0 a1/ n r 。取一个使得 a r ，那么在0，r内对于任意x都有x n = 0 因此该函数在0，r内单调递增，从而MAXx n = r n，因此有r n r n r r , 即 a1/ n 在0，r之外。证毕。_！-f. 这个级数之所以这么特殊，是因为余项的形态和所选区间之故，因为余项为x n 而区间为（0，1），这就导致当x趋于1时无论n为多少余项必然会趋于1，因此x无限接近于1时，x n也必然无限接近于1，这样就不满足接近于0（充分小）的条件了。这也就比较好形象地理解它为什么不是一致收敛了，对于一致收敛的级数，每一个区间内的点最终都会同时到达终点，但对于非一致收敛函数（像今天讨论的这个例子），虽然可以保证每一个区间内的点最终都会到达终点，但却不可能有同时全部都到达终点的情况，再详细点说，就是当你期待的那些非常远的点终于到达终点时，后面仍然总是有很多点还离终点尚早，然而它们也正朝终点赶来，最终它们也会到达终点，可是它们之后，还是会有前仆后继的点朝终点赶来。今天的这个例子也有一个名字，叫“逐点收敛”。而“一致收敛”还有另外一个名字，叫“均匀收敛”。有关逐点收敛和均匀收敛更多的知识，可以查阅维基百科。下面是我用flash as2 做出的y= x n