（计算数学专业论文）一类带弱奇异核偏积分微分方程二阶差分全离散格式.pdf

湖南师范大学硕士学位论文 o 1中文摘要 在记忆材料的热传导、多孔粘弹性介质的压缩、原子反应、动力 学等问题中，常常碰到抛物型积分微分方程。对于该方程的数值求 解，国外的v t h o m e e ( f 1 、5 、7 、1 6 、1 7 、1 8 、1 9 、2 0 、2 1 、2 2 、2 3 、2 4 、 3 l 】) ，s t i gl a r s s o n ( 1 1 9 ) ，wm c l e a n ( j 5 、1 7 、2 0 、2 4 ) ，c hl u b i c h ( 1 8 ) ， jc l o p e z m a r c o s ( 3 ) ，j ms a n z s e r n a ( 【6 j ) ，g f a i r w e a t h e r ( 1 4 、1 5 ) ， l w a h l b i n ( 【1 、1 7 、1 9 ) ，i hs l o a n ( 7 ，1 8 ，2 2 ，2 3 】) ，y a n p i n gl i n ( 【3 1 ) 等，国内的陈传淼( 【l 、3 5 】) 、黄云清( 【2 】) 、徐大( 【8 、9 、1 0 、 1 1 、1 2 、1 3 ) 、汤涛( 【3 3 】) 、胡齐芽( 3 4 】) 、张铁( f 3 9 】) 等做了大量 的研究，他们大多采用有限元方法( 【l 、5 、1 0 、1 3 、1 6 、3 1 、 3 5 、3 9 ) ，谱配置方法( 3 3 ) 及样条配置方法( ( 1 5 】) 。用有限差分法 进行时间、空间全离散却很少涉及( 3 、6 】) 。 本文考虑一类带弱奇异核抛物型偏积分微分方程时间、空间全 离散，采用二阶有限差分法，得出其相应的稳定性和误差估计。 主要结果如下： ( 1 ) 给出线性方程二阶向后差分格式、c r a n k n i c o s l o n 格式的稳定 性、误差估计及数值例子。 ( 2 ) 给出线性方程一种o ( j + h a ) 高精度格式的稳定性、误差估 计及数值例子。 ( 3 ) 给出非线性方程的二阶向后差分格式稳定性、误差估计。 ( 4 ) 给出二阶卷积积分的权重。 关键词；弱奇异核；偏积分微分方程；分数次计算；二阶全离 散；卷积积分；差分格式 0 2 a b s t r a c t t h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fp a r a b o l i ct y p eo f t e no c c u r si na p p l i c a t i o n ss u c h h e a tc o n d u c t i o ni nm a t e r i a lw i t hm e m o r y ， c o m p r e s s i o no f p o r o v i s c o e l a s t i cm e d i a ，n u c l e a rr e a c t o rd y n a m i c s ， e t c 。t h e r ea r el o t s o fd o c u m e n t so fv j t h o m 6 e ( 1 ，7 ， 1 6 ，1 7 1 871 9 ，2 0 、2 1 ， 2 2 、2 3 、2 4 、3 1 ) ，s t i gl a r s s o n ( 1 9 ) ，w m c l e a n ( 5 、1 7 、2 0 、 2 4 ) ，c hl u b i c h ( 1 8 ) ，j cl d p e z m a r c o s ( 3 ) ，j ms a n z s e r n a ( 6 ) ， gf a i r w e a t h e r ( 1 4 、1 5 ) ，lw a h l b i n ( 1 、1 7 、1 9 ) ，ih s l o a n ( 7 、 1 8 、2 2 、2 3 ) ，y a n p i n gl i n ( 3 1 ) i no v e r s e a sa n dc h u a n m i a oc h e n ( 1 、 3 5 ) ，y u n q i n gh u a n g ( 2 ) ，d ax u ( i s 、9 、1 0 、1 1 、1 2 、1 3 ) ， t a o t a n g ( j 3 3 ) ，q i y ah u ( 3 4 ) 、z h a n gt i e 3 9 】i nh o m e al o to ft h e mu s e f e m ( 1 、5 、1 0 、1 3 、1 6 、3 1 、3 5 、3 9 ) ；s p e c t r a l c o l l o c a t i o n m e t h o d s ( 3 3 ) ；s p l i n e c o l l o c a t i o nm e t h o d s ( 1 5 ) 。b u taf e wo ft h e mu s e f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ( 3 、6 ) 。 w e s t u d yap a r t i a li n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fp a r a b o l i ct y p ew i t h aw e a k l ys i n g u l a rk e r n e l ，w h i c hu s i n gs e c o n do r d e rf u l l yd i s c r e t ed i f f e r e n c e s c h e m ed e r i v e ds t a b i l i t i e sa n he r r o re s t i m e t e dr e s p e c t i v e l y m a i nr e s u l t sf o l l o w s ： ( 1 ) g i v e nt h es t a b i l i t y ，e r r o i e s t i m a t ea n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t sf o rt h e l i n e a re q u a t i o no fs e c o n do r d e rb a c k w a r dd i f f e r e n c ea n dc r a n k - n i c o l s o ns c h e m e ( 2 ) g i v e nt h es t a b i l i t y , e r r o re s t i m a t ea n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t sf o rt h e l i n e a re q u a t i o no fa0 陋 + h 4 ) h i g ha c c u r a c ys c h e m e ( 3 ) g i v e nt h es t a b i l i t y e r r o re s t i m a t ea n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t sf o rt h e n o n l i n e a re q u a t i o no fs e c o n do r d e rb a c k w a r dd i f f e r e n c e ( 4 ) g i v e nt h ew e i g h t e do fs e c o n do r d e rc o n v o l u t i o nq u a r i r a t u r e k e yw o r d s ：w e a k l ys i n g u l a rk e r n e l ；p a r t i a li n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ； f r a c t i o n a lc a l c u l u s ；s e c o n do r d e rf u l l yd i s c r e t e ；c o n v o l u t i o nq u a d r a t u r e ；f i n i t e d i f f e r e n c es e h e m e 第一章序言 在工程、物理、生物、控制等许多领域的问题常常由偏微分方程 来描述。但是在很多情况下，仅仅一个微分方程并不能精确的描述 这个物理系统，因为一个微分方程只能描述一个系统在某一固定时 刻的状况，它不能反应过去的效果积累；特别是在热传导、原子反 应、动力学和热电理论中，它们常常需要反映这个系统中的“记忆” 功效，这就导致我们在基本的偏微分方程中增加一个积分项，从而 得到偏积分微分方程( p i d e s ) ( 见 1 4 】) 。 我们将研究下面这类非线性偏积分微分方程数值解的有限差分 格式 u t ( $ ，t ) + t ( ，) 札。( ，t ) 一卢o s ) u x 。( 。，s ) d s = ，( z ，t ) ， ( 1 1 ) ( 其中核卢 ) = t “2 r ( ) ，在t = 0 点是奇异的) 0 耋z 耋1 ，0 耋t t 其线性部分为： u t ( x ，t ) 一片? ( 一s ) n 。( z ，s ) d s = ，( z ，t ) 满足如下边界条件： “( 0 ，t ) = u ( t ，t ) = 0 ，0 t 0 ) ，映 射为如下函数： ( j 1 2 ，) ( t ) = f o ( t s ) 一1 2 f ( s ) d s 满足下列性质( 见f 6 】的p 3 2 0 ) ： ( ，1 2 ( ，1 2 ，) ) ( f ) = 7 r 名f ( s ) d s ( 1 , 6 ) ( 17 ) 因此7 r - l ：f 能看成不定积分算子的平方根，通过运用分数次计算 的理论( 见【4 】) ，我们能定义微分算子d = d d t 的平方根d ，2 ： d 2 2 d 1 2f of ( s ) d s = ，( t ) ， v - 1 2 d m 1 肛= 恒等算子 在( 1 ，1 ) 的齐次方程两边运用d ，胆可得： d 1 2 d u = 7 r u x ；( 1 8 ) 因此方程( 1 1 ) 的齐次方程可被看作介于我们熟悉的方程；d u = a u x x 与d 2 = b u 。( n ，b 为正常数) 之间的一类方程 近年来，国内外有很多人研究了这类方程。陈传淼、v t h o m d e 和 l b w a h l b i n 1 1 采用向后e u l e r 格式，空间方向采用线性有限元，积分 项通过内积求积技巧进行离散，得到解的正则性条件及误差估计。 ，e l d p e z m a r c o a 3 】研究了一类非线性的积分微分方程，采用了一 阶全离散差分格式。w m e i e a n ，v t h o m d e 5 1 使用了e u l e r 和二阶向后 差分格式，空间方向用g a l e r k i n 有限元方法，并给出了问题( 1 2 ) 一( 1 4 ) 的正则性估计。s a n z s e r n a 6 】也研究了这类问题，在时间方向， 他采用了向后e u 妇格式和一阶卷积求积逼近积分项，对光滑与非光 滑的初始值导出了相应的误差估计。徐大 8 j 考虑了e u l e r 和c r a n k n i c o i s o n 格式和一阶、二阶卷积求积，得到了带权的误差估计。【1 5 】 使用g a l e r k i n 和配置方法进行时间离散，得到最优阶误差估计【1 4 】 空间方向使用正交样条配置方法，得到空间半离散的稳定性和收敛 性。1 9 1 时间方向采用分片常数和分片线性元不连续g m e r k i n 方法 ( d g ) ，空间方向使用有限元，而且允许变时间步长。( 3 2 】空间方 向采用g a u s s l o b a t t o 积分点上拟谱配嚣方法得到无条件稳定及最优 误差界。【2 2 考虑了不连续g a l e r k i n 方法( d g ) 、稀疏求积公式、得到 问题的先验和后验估计，并给出了自适用算法。【2 4 】先通过l a p l a c e 变换及逆变换把解表示为光滑围道上的积分，从而可以采用并行算 法来数值求解。 18 】时间方向使用一阶、二阶向后差分，空间方向 采用分片线性元，利用卷积积分得到最优阶误差界【3 3 考虑的是 v o l t e r r a 积分微分方程，核k ( t ，8 ) = ( t s ) ，0 o t 1 ，作者采用 多项式样条配置法，利用适当的分级网格，可使相应的配置逼近具 有m + 1 一“的超收敛阶由于时间离散必须保留前面所有的值， 它将要求大量的内存，为了克服这些困难，黄元清 2 提出了一种累 加格式，使得储存量和工作量均能大大减少 1 7 】是【2 在带弱奇 异核偏积分微分方程上的具体应用，并采用变步长进行时间离散。 j h s l o a n ，v t h o m g e 7 1 建议减少求积区间，使用高阶的求积公式【3 4 】 中采用了“几何阿格”，使得工作量减少。本文我们运用二阶向后差 分格式进行时间离散，空间方向采用二阶有限差分格式，对积分项 采用二阶卷积求积由于方程的解在t = 0 不光滑，导致误差估计在 整个过程都不能达到时间的二阶精度。 全文中，我们假设( 参考 3 】的( 1 7 ) ) i 牡( z ，t ) lsd _ 1 2 ，i “t ( o ，) i c 亡一3 2 ， i u 船t ( o ，o ) i c ，i 钍砧“( 茁，t ) l c 亡一1 2 ，( 1 9 ) 对0 0 一1 0 1 、 1 如果在( 1 1 0 ) ，( 1 1 1 ) 中，选取适当的0 和r ，我们能得到如下正则性 估计( o 为连续的l 2 模) ( 见【8 1 的( 7 1 2 ) ) ： i | “忙，t ) i l o 以_ 1 2 ，j | m ( 茁，t ) l l o 茎c t 一3 2 ， i i m ( $ ，0 ) l o e ，u t ( z ，t ) i i o c 。2 ，( 1 1 2 ) 对0 ts t 本文安排如下t 第一章介绍了当前数值求解偏积分微分方程( p i d e s ) 已有的方 法和结论，给出全文的正则性假设。 一些预备知识放在第二章重点介绍了卷积求积和一些引理 在第三、第四章中，将f 3 】的结果推广到二阶，但所采用的证明方 法完全与它不同。对于时间方向分别使用二阶向后差分格式、c r a n k n i c o l s o n 格式进行离散空间方向运用二阶差分格式、对积分项使用 二阶卷积求积公式。得出它们各自的稳定性和误差估计。所得的误差 界与参考文献的一些文章使用有限元方法( f e m ) 、不连续g a l e r k i n 方法( d g ) 、样条配置方法( s p l i n e c o l l o c a t i o nm e t h o d ) 、谱配置方 法( s p e c t r a lc o l l o c a t i o nm e t h o d ) 及快速逆的l a p l a c e 变换方法所得的 结果一致。 第五章，我们讨论了一类非线性偏积分微分方程，证明了它的二 阶全离散格式的稳定性，得到了误差估计。 第六章中首次使用f 2 5 】中种六点隐格式进行时间离散，将它 由标准的抛物问题推广到抛物型偏积分微分方程。使用了完全不同 湖南师范大学硕士学位论文 于 6 】的推导，导出了类似于抛物情形下的格式稳定性和高阶估计 0 ( 砖；+ 4 ) 。 一些归纳性的评价放在第七章。 最后一章给出r 一些数值例子。特别，给出了二阶卷积求积权重 的具体表达式。 湖南师范大学硕士学位论文 6 第二章预备知识 2 1记号及数值求积公式 我们给出如下网格x j = i h ，j = 0 ，1 ，j ，其中h = i j ( ：是正整数 ) ，时间步长记为k ，给出时间的一个划分t 。= n k ，n = 0 ，i ，n ，( n = i t k ) ，记吩近似牡( ，t 。) ，定义一阶向后差商、二阶向后差商为： 端! k v - 薯i3 再n 扛盯：， 仁， 趔2 叼=( j v j 一2 叼一1 + ；叼一2 ) ”+ 我们介绍以下二阶积分近似，运用二阶卷积积分公式( 见 4 ，8 1 ) j ；：“口( 。一s ) 妒( s ) d 5 ( 妒) = k 1 ，2 e 伟妒“9 + 。o 妒o ( 22 ) 其中岛是下列级数的系数； p ( 业掣) = ( 韭芈生) 一，。= 萎岛扩( 2 3 ) 采用校正积分权叫。o 以保证积分能达到二阶精度，因此积分公式( 2 2 ) 对多项式1 准确成立，即： 1 7 2 芝伟+ ( ) = 露“p ( t 。一s ) d s = 2 ( t 。7 r ) 1 胆 ( 2 4 ) 口= u 定义以下差分记号： j 2 巧= 巧+ l 一2 v j + k 一1 ，巧= k + 1 一嵋一1 为了后面的需要，我们收集了差分计算的一些记号和结论。记 号驴( n = 0 ，1 ，明表示“中的向量，即u n 表示向量( 研，叼， ，叼一，) 。在我们的分析过程中，如遇到和，我们定义u o = p ，= 湖南师范大学硕士学位论文 7 0 。如( m ，k ，一) ，( 叭，w j t ) 为r 。1 中的向量，则我们 规定： + 码= y j + l 一嵋，一k = 嵋一k l ， 耳y j = u 卫巧= 巧一1 ，( v w ) j = v j ， 1 j 曼( j 一1 ) ， j 一1 一l s 墨譬1 ) i v j l ， 2 “v j w j ， l i v l t 2 = 容易验证下面的等式成立( 见1 3 】的( 26 ) ( 29 ) ) ： = 一 j l = 一h ( a + k ) ( + w j ) ， j = o = 0 ， = j 1 2 2一些引理 首先由c a u c h y 不等式我们很容易得到下述引理。 引理1 ：当= u ，= 0 时，我们有： i ) 当n 1 时， 0 2 ) 当0 n n ，0 m 茎n 时， i i 4i l 矿m u ”虬 证明t 1 ) = 至6 2 叼叼= 量h c 、u j + l , 一2 吁+ 曝1 ) 叼 j 一1j ! i ”1 = e 曙叼+ 啄一，叼一2j u “0 2 j = lj 篁i 善“( ( 嗡，) 2 + ( 叼) 2 ) 2 + 善 ( ( 唔，) 2 + ( 叼) 2 ) 2 2o u “i 2 s 2l u “1 1 2 2l l u “1 1 2 = o ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 28 ) ( 2 9 ) 湖南师范大学硕士学位论文 - 8 同理可得 故 2 ) “ 曙- 叼f ) 2 ( hi 曙- j i 叼 ) 2 j = jj = l ，一】，一】 ( h ( 僻。) 2 ) ( ( 叼) 2 ) sl lu ” f 2 8u ”1 1 2 j 一1 ( 蓦6 晔t 叼雌i i u ”1 1 2 i i u 删i i l = i 三 d 2 叩叼j = i 圣 ( 曙1 2 叩+ 呼1 ) 叼 j l： 1 i 歪“嘴，叼i + i 善6 嘤z 叼i + 2 i i 俨ij ijc ，”| | s4 u “u “ 证毕。 引理2 ：如果实数序列( n o t 。一，n 。，) 满足a ( z ) ：量a n z n 在开 n = o 球域d = 如c ：jzi o 。当 h 0 ，( 见【1 8 引理41 ) ，因此， 我们得到| r e 声( 世三萼蚴) = r e 后( i 一2 z + 扣2 ) 20 ，对于h l 。发生 函数( 2 3 ) 满足引理2 的条件( 2 1 0 ) 。 首先我们给出的e ( “。) ( 。) = ( 。) 一1 1 2 ( “。) ( 。) 界，其中( 妒) 在( 2 2 ) 中被定义。 湖南师范大学硕士学位论文 t 9 引理3 ：如果卢( t ) = 一1 2 r ( u 2 ) ，则对n 1 有 l e ( 妒1 2 ：jig 。2 。二1 7 i i = ，t ( o ) f + g 3 2 f 。f - 一。i 妒“( s ) l d s ( 21 1 ) + c k 2 露一1 ( t 。一s ) 。1 2 e ( s ) l d s 、 。 证明：见( 8 ，引理7 2 】。 引理4 ：若u 。是0 t 墨t 上实的，连续可微的函数，且u 。在 0 t t 上连续可积，则存在一个正常数c 仅仅依赖于t ，满足： 5 ( “：。坚! 1 2 ：i g n ( u z z ) 一7 1 7 2 ( “。z ) ( n ) l c 。( 2 n ) 1 7 2 ， (212)n1 n ” 证明：从假设( 1 9 ) ，我们得到 自2 t 二1 2 l u 。( z ，o ) 15c k 2 ( n ) 一1 2 c k ( k n ) 1 2 ( 21 3 ) 当n ：1 时， 篓1 2f 。l u 。x x t t ( x c k t c 。k f 鉴c 珊( t ) 3 肛k ( k 舻n ) ，2 ( 2 1 4 1 ) s 32 1 1 2 52 、 当n 2 时， 篓胆巍卷吲c k 幽a 1 2 c k c k c k t - l 2 鲶c ( t ) k 8 ( 1 k 胆( 幽n1 ) ) 1 2 m z ， 3 2 女f 一1 2 s 一， 一 、“7 其中第二个不等式运用了积分中值定理( t 。s t 。) 5 2 “1 ( n s ) 一1 2 i “。；t t ( z ，s ) j d s c k 2j ：；“1 ( t 。一s ) - w 2 s 一1 2 d 8 c k 2 ”( t 。一s ) - 1 2 5 1 2 d s c k 2 詹( 1 一z ) 一1 2 x l 2 d z ( 21 5 ) s g b ( ，；) 2sc ( t ) k ( k n ) 由( 2 1 3 ) 一( 2 1 5 ) 及引理3 即得。证毕。 引理5 ：( 离散型g r o n w a l l 引理) 如果是一非负的实数序列， 满足： n 一1 0 2 n o n + 风( m s ，n 0 ， s = o 湖南师范大学硕士学位论文 1 0 其中a 。是非降序列，a 。非负，而且风20 ，那么 证明：见 7 , p 1 0 5 5 】 u 。sq “e x p ( 以) ，n 0 湖南师范大学硕士学位论文 1 1 第三章线性方程二阶向后差分格式、稳定性及误差 估计 j c l 6 p e z m a r c o s 3 】在1 9 9 0 年采用差分方法研究了问题( 1 1 ) 、 ( 1 3 ) 、( 14 ) 。其中时间方向使用向后e u l e r 格式、空间方向采用二 阶差分、积分项使用一阶卷积求积。本章是 3 】的推广，我们将对线 性偏积分微分方程( 1 2 ) 一( 1 4 ) 的时间方向运用二阶向后差分格式、 对空间方向采用二阶差分进行离散、积分项使用二阶卷积求积公式 ( 2 2 ) ，给出其稳定性和误差估计。但是所采用的证明方法与 3 完全 不同。得到的结果证实了【1 、6 的预测，不能达到时间的二阶精度。 该结果也与【5 l 使用有限元方法、f 8 】采用z 一变换进行时间离散、f 1 7 】 使用变步长时间离散、f 1 8 】使用快速逆的l a p l a c e 变换方法、【2 2 】使 用不连续g a l e r k i n ( d g ) 方法及【2 4 】基于l a p l a c e 的并行算法研究这类 问题所得到的结果完全一致。 3 1数值格式 线性方程( 1 2 ) 一( 1 4 ) 的离散格式可以写成如下形式 当n 2 时： 即 - 1 j 3 叼一2 u ；一1 + i 叼一2 ) ( 矗铲码) = 口 。一1 ( ；叼一2 呀一1 + i 1 “j n 一2 ) 弋矿k l t 2 岛伟6 2 叼一9 + 锣j 2 叼) 2 学，f 3 1 1 1 p ；ui jlli j = 1 ，2 ，一，( 1 ，一1 ) ，n = 2 ，3 ，一， 当n = 1 时t k - 1 ( 叼一叼) 一g ( 矗铲) ；詹， 塑童塑薹查兰丝圭兰竺塞苎：! ! ： 即： 其中 一( 叼一田) 一( 万k l 2 壶伟d 2 田+ 锣d 2 四) 2 嚣，( 3 1 t 2 1 口= ul d i t i j = 1 ，2 ，( 1 ，一1 ) 叼= 叼= 0 ， u o = ( 卿，硼， n = 0 ，1 ， ，一。) 已给出 3 2稳定性 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 下面给出格式的稳定性 定理3 1 ：如果叼按照( 3 1 ) 一( 3 3 ) 定义，当k = o ( a 2 ) 时，那么 对于n 1 ， n i iu i | sc ( t ) | | c ，oj i + 3 自8 ，n 玑( 3 4 ) 证明：当k = 1 ，2 时，记趣叼= 叼一叼“ 由定义，我们很容易验证： 敞 1 - l 2 = 2 j = l “( 叼一叼一) 叼 ，一1 。h ( ( v d 2 ( 吁“) 2 十( 岬一叼“) 2 ) ( 3 5 ) = ti l u “2 + | k u “| 【2 ， ；叼一2 叼- 1 十 叼= ，叼一j a 。叼 七 = 裔a州1u1,u+nalf 蔷a 1 v n l i 拿写缔u 叫。圳a 。u 刈。) ( 3 e ) = i lc 厂“2 + 0 0 2 一j ( 。| |”| f 2 + i l。”1 1 2 ) r 叫 = a 1l l u “1 1 2 一 2l lu ”酽+ i ia 1 u ”| 1 2 一i 1l l 2 u “1 1 2 湖南师范大学硕士学位论文 - 1 3 由( 3 6 ) ，对2 n 墨n 求和得 ( - i fu “旷一j z | | u “旧 n = 2 = ( | iu “酽一i | u ”一1 旷一i 1l l u ”1 1 2 + i | lu “一21 1 2 ) 2 = ( 驯u “一| | u ”11 1 2 + 划旷 2 | | 2 ) = ；j j u ”0 2 一；4 ，”一1 2 一：l ju 1jj 2 + j ju o | | 2 ， ( | | a - u “胪一j | | a 。u ” n = 2 = ( i la 1 u “| | 2 一；| f l u “+ a 1 u “。| | 2 ) k 2 ( | | a w ”| | 2 一j ( i | a 1 u ”i l + l l 矿”一1i ) 2 ) 暂2 2 ( | | l 【严1 1 2 一i ( | | a 1 u “1 1 2 + i t u ”qf | 2 ) ) ”2 i 1 暑( f f 1 p8 2 一| fa 1 u 8 。f f 2 ) = ；( f fa 1 u 8 2 一 ( 37 ) 因此对n 2 有； k + 南e ( u 1f f 2 一f f ，0f | 2 + f fa i u l8 2 ) + ；( i ia l | f 2 一f f l u l 2 ) + ( | | u ”1 1 2 一 i lu 一11 1 2 一 l i u 11 1 2 + l iu o 妒) ；| | u ”j j 2 一；j ju “一1 胪jj j u 1jj 2 一 j | u o | j 2 ( 3 , 8 ) 当n 2 时，在( 3 1 1 ) 的两边同时乘以h u ? ，并对j ( 15j ( j 1 ) ) 求和可得： 一v k 3 2 盖n 岛f 3 t 9 ) 一矗o = k 当n = 1 时，在式( 3 1 2 ) 的两边同时乘以 田，并对j ( 1 js ( ，一1 ) ) 求和可得： 弘奶一喾主体 彻坤，奶( 3 1 0 ) 一矗“l o = k 湖南师范大学硕士学位论文 1 4 故当n 2 时 + ： n o z ：可k 3 2 n 量岛 + 矗n 。 + 警箬毫岛 + 矗u l o + 壹七 = 譬叁塞岛 + 矗登。 + 登 n 2 l 口= u n = l n = l 由( 2 7 ) ，先交换求和次序，再对每个固定的j ，由引理2 可将上式 等号的右边第一项化为： 岛 一岛h a + 叼一，+ w ”2 1 。：一l n ”2 1p = 0 j = 0 。 。 = 一h 戽+ 叼_ p + 叼 拦”封9 = 。 。 f 31 1 ) = 一h ( 岛+ 叼”+ 叼一z o ( z l + 叼) 2 ) j = on = o p = o j 一1 s 阮h ( a + 蜉) 2 2 岛l l u o n 因此由( 3 8 ) 及引理1 2 ) 和上式可得 i 3 i iu “i i 2 一i 1 i lu ”一1 | | 2 一 | | u 11 1 2 一 i iu o1 1 2 1 k 3 r 2 塞妻岛 + 矗登“ + 登女 万2 k 3 1 2 岛泸2 + 彘n i l l + n 南l l s 丌2 k 3 1 2 肺i fu 。| | 。+ 差登iu 。川u 。洲h n | i + 登| | ，n u n | | 帮弹得： i i u ”i 2 ( 1 lu ”一1j | 2 + i | u 1 | | 2 + i iu o | | 2 ) + 警竽胁f lu of 1 2 + 丽1 6 k 萎fu 。o 川u o 川u n | l 十；曼ki i ，n lu n 一 n 2 l 湖南师范大学硕士学位论文1 5 假设| | u ”h 翳渺l l ，妣 l u ”胪 ( | | u ”一1i i2 + | | u 1i i 。+ | juc ，酽) 十萼善! 阮| | 己，。i i i i mi | + 嚣ml u 加c ，。u m | 十；m 七i | ，n u m | 5j ( | | u ”1 1 2 + | | u 1i l2 + | | u ol | 。) + 等警风| | u 。i i i iu m i i + 嚣基ju 。u 。u ”i + n 女| | ，n lu ml f 进一步得到： | | u m 2 ；( 1 1u 11 1 2 十i tu o 2 ) + 矿4 k 8 2 岛i | u oi i i iu u | | + 器e lu n o u oi i i iu mi | + 2 南i i ，n u mi | ；面- 妒u ”| | + n 喾= l 驯u 。川u ”i l ( a i 2 ) + 器堇n | w 。u 。u ”| | + 2 登l i ，n 川矿”| | n = l n = 1 | | u n 。i ，1 _ 即： | | 1 | | 2 = + 警乒毫岛 + 矗u l 。 + 凫 口t u - 1 1 u 。川u 1 | | + 4 ( 1 k a r 2 m 十嘉lu 1 。1 ) i u 。洲u ti i + 七j j ，1 “u z | | 不等式是由基本不等式及引理11 ) 得 s0 。因此： i i u 1l l _ i iu ol i + 4 ( 笺# 随+ 嘉i u l oj ) j ju oj j + j j ，1j j ( 3 1 4 ) 湖南师范大学硕士学位论文 1 6 由于w 。o = o ( k n “2 ) ( 见【4 ，定理2 4 ( 1 ) 】) ( 1s ns n ) ，可得： nn iw h oi c ( k 1 2 n 一1 2 ) c ( n k ) 1 2s a ( t ) ( 3 1 5 ) n = 1n 2 1 由( 3 1 3 ) 、( 3 1 4 ) 及( 3 1 5 ) 即得。证毕。 3 3误差估计 定理3 2 ：假设u 为问题( 1 2 ) 一( 1 4 ) 的解，( c ，。，u n ) ( n ： t 纠) 是满足( 31 ) 一( 3 3 ) 的数值解，对充分光滑的。( 。) 及，( 。，) ，。满足 “g ( ( o ，t ；打2 n 硪) n c 3 ( ( o ，t 】) ，进一步假设问题( 1 2 ) 一( 1 4 ) 的解满 足假设条件( 1 9 ) ，当k = o ( h 2 ) 时： 。当鬈；，i f 驴一“l | z c ( t ) ( i i u o 一“。i i + 3 肛+ 2 ) ( 3 1 6 ) 证明：令n = 叼一叫n ，其中叫n = u ( q ，t 。) ，则 当n 三2 时， 而 故 其中 k - 1 ( ；哆一2 e l _ 1 + i 1 勺n 一2 ) 一喾毫岛6 2 e j n 一9 一锴d 2 e j 0 d = u = , f 于_ _ - - 1 3 u ，n 一2 哼一1 + i 1 n 一2 ) + 可k l 2 三n 伟铲n p + 锣6 2 嘭 地( x j ，t n ) 一名“卢( k s ) u 。( q ，s ) d s = f ( x j ，t 。) 一1 ( 2 哆一2 哼一1 + 1 勺n 一2 ) 一市k l 2 n 伟d 2 哼一一锣j 2 四= 呓一噶 噶。u t ( x j ，“) k - 1 ( 2 “；一2 哼一1 + ；“；一2 ) ， 噶2 石“卢( t - s ) u 。z ( s ) 如一( k 矿l 2 善n 昂d 2 哆一p + 带铲田) 湖南师范大学硕士学位论文 1 7 当n = 1 时 其中 k - l ( e ，1 一e ? ) 一可k l 2 圭岛d 。e j l 一一一锣d 。弓0 = 0 1 = 疗一k - 1 ( “；u ；) + 百k l r 2e 岛巧2 勺1 9 + 帮6 2 “? 口2 i j = 吃一喝 吨= u t ( x j ，t 1 ) 一k - 1 ( 卜u ? ) ， 喝= 露1 p ( t 一s ) u 。( s ) d s 一( 警塞岛d 2 1 1 + 锣d 2 q ) 口2 u 根据定理3l ，可得 n i le “0 c ( t ) le oi i + 3e 1 1 叩一叩| i ”1( 31 7 ) sc ( t ) i le oi | + 3 ( | | 叩i i + i l 霄眦 n = 1 由带积分余项的t a y l o r 展开可得，对一切x ( o x 1 ) 均有 当竹3 时： ( z t n 一) = “扛，t n ) 一饥( z ，n ) + 击( 一) 2 7 l t t ( x ，“) + 击赏- 1 “w ( z ，s ) ( t 。一一s ) 2 d s ， “扛，t - 2 ) = u 扛，“) 一2 k u t ( x ，k ) + 击( 一2 k ) 2 “t t ( x ，。) + 刍j ：l u ( z ，s ) ( t 。一2 一s ) 2 d s 由上述两式可得( 1 j j