数学中考新定义题分析.doc

中考“新定义”题型例析 近几年的各地中考数学试卷题型丰富，呈现形式不拘一格，操作题、开放题、图表信息题、自定义探究型试题、阅读理解题、方案设计与决策题等纷纷亮相，赏心悦目. 试题构思精巧常规题中蕴涵着新颖的题型，普通题型中隐藏着超凡的构思. 旨在检验学生的阅读能力和运用新知识的能力和解决问题的能力. 所谓新定义“型”试题，是指在试题中给出一个考生从未接触过的新概念，要求现学现用，主要考查学生的阅读理解能力、应变能力和创新能力. “给什么，用什么”是 “新定义”型试题解题的基本思路. 几何图形“新定义”型试题中，看似平淡无奇的几何图形新概念，仔细研读却发现试题韵味无穷，极具探究价值和选拔功能，求解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握几何中的基本概念和基本性质 ， 把握图形的变化规律. 例 （年宁波市） 四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这个点为这个四边形的准等距点如图 1 ，点 为四边形 对角线 所在直线上的一点， ， ，则点 为四边形 的准等距点 （） 如图 ，画出菱形 的一个准等距点 （） 如图 ，作出四边形 的一个准等距点 （尺规作图 ， 保留作图痕迹，不要求写作法 ） （） 如图 ，在四边形 中， 是 上的点， ，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，且 ， 求证：点 是四边形 的准等距点 （） 试研究四边形的准等距点个数的情况 （ 说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明 ） . 这是一道几何图形“新定义”型压轴题 本道题型新颖，设问流畅，层次感强. 为了降低最后一小题的难度，命题者增设了关联程度极高的三小题，使试题有较强的区分度、效度和信度. 第（）小题是新定义的简单应用，从中可发现菱形有无数个等距点. 第（）小题根据新定义的内涵作图，其实质作一对角线的中垂线与另一对角线的交点，且这一交点不在另一对角线的中点上. 思维敏锐的同学，从作图中不难发现一般的四边形准等距点可能为 ， ， ，无数个. 第（）小题利用新定义及三角形有关知识就可使命题获证. 第（）小题则难度极大，对分析问题能力、分类讨论能力、抽象思维能力、归纳能力及语言表达能力提出了极高的要求. 好在考生通过前三小题的解决，对新定义“准等距点”概念已烂熟于心，（1），（2）两小题解决后累积的经验，又为第（4）小题的解决铺设了平台，尤其是第（2）小题画图时产生的灵感，为第（4）小题的解决带来了一丝曙光，指引着思维的方向. 于是，类比联想能力强，思维敏捷的同学会从对角线位置关系入手，对四边形等距点个数进行分类研究；思维严密、深刻的同学，会根据对角线垂直与否及是否平分，分成五类. 最后，抽象、归纳成评分标准中给出的四类. 但面对此小题，多数考生几乎都会出现思维定式及思维局限，被几种特殊平行四边形所限制，都从特殊的四边形如平行四边形等入手研究，这本是研究问题的常用方法，无可厚非，但几乎都浅尝辄止，只见树木，不见森林，分类不合理，类比、抽象、归纳及语言表达能力弱，没有挖掘到问题的本质是按对角线的位置关系来分类，得分率极低. 下面给出正确答案，请读者参考，体会这类新题型的创新之处. （）如图5，点即为所画点（由题意知，在线段的中垂线上，根据菱形的性质，即为的中垂线. 答案不唯一，只要点不在中点即可.） （） 如图6，点即为所作点 （线段的中垂线与的交点即为所求）. （） 如图7，连接，在与中， ，（）， ，. 点是四边形的准等距点 （） 当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为个. 当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为个. 当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为个. 当四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个 例 （年安徽省） 如图1，凸四边形 ，如果点满足 ，且 ，则称点为四边形 的一个半等角点 （1）在图2正方形 内画一个半等角点，且满足. （）在图3四边形 中画出一个半等角点，保留画图痕迹（不用写出画法） （）若四边形 有两个半等角点 ，（如图4），证明：线段 上任一点也是它的半等角点 . 这也是一道中考压轴题. 题的设计由浅入深，层层递进，比较容易把握. 第（）问是新定义的简单应用，根据正方形的对称性易于解决. 第（）问其实质是找对称点，利用三角形知识来解答. 第（）问，在已知两个半角等点的情况下，再结合三角形全等的知识，问题便不难解决. 下面给出正确答案. （） 所画的点在上且不是的中点和端点. （） 画点关于的对称点，延长交于点，则点为所求. （）如图5，首先由图1知：2+2=360，+=180，说明半等角点都在上，所以利用公理易证DP1P2BP1P2 ，所以DP1=BP1. 又DP1P=BP1P， PP1为公共边，所以 DP1PBP1P，从而DPA=BPA，DPC=BPC，所以，点是四边形的半角等点. 对于在考场之外，我们不妨考虑这道题的几种变式. 本题第一问，在得到正方形的半角等点时，我们不妨深入思考一步：其余的几种特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形）是否都存在半角等点？存在的，有几个？不存在的原因是什么？这样在深入探讨下去，对四边形的本质属性就会有更深入的理解. 研究发现，菱形和正方形具有相同的特点：对角线互相垂直平分，即图形关于对角线对称，这样可以找到若干个半角等点. 但对于平行四边形和矩形这两类不以对角线为对称轴的特殊四边形如何找其半角等点呢？方法是什么呢？带着这个问题，参考第（）问的作法，以平行四边形为例：