轨迹探求(教 案).doc

轨迹探求(教 案)课型：复习课知识目标：1.在掌握曲线与方程概念的基础上,进一步了解点集与解集的对应关系;2掌握求轨迹方程的基本步骤,把握求轨迹方程的基本方法及适用情境,并能在具体的活动中学会对比与选择,包括必要的调整.能力目标：1.培养学生代数化的能力、逻辑思维能力，渗透数形结合、函数方程、化归转化等重要的学科数学思想；2.在解决问题的活动中,培养学生的数学意识(目标与求简意识),增强“引参、用参、消参”的能力；3.在对动态情境的把握中渗透运动、变化等辩证唯物主义思想.情感目标：树立战胜困难的信心与勇气,培养坚强的意志品质与锲而不舍的精神.教学重点：在探索运动情境中合理选择方法与建立变元间的联系.教学难点：体味运动情境、合理引入参数.教学过程一 基本步骤：建设限代化.这一解题过程充分说明了,曲线上点的坐标都是方程的解,即“曲线上的点绝不比以方程解为坐标的点多”；但是，不一定保证方程解为坐标的点不曲线上的为多.因此,完成“建设限代化”这一过程后，常从“数形”双方捕捉信息，对方程中的字母作出说明或限制，以确保曲线上的点与方程的解之间建立一一对应.五个步骤中最为核心的是挖掘动点运动的“限”制条件，它决定着解题的方向与方法.二 基本方法及其适用情境1.动点P(x,y)到两坐标轴的距离之和为2,则点P的轨迹围成图形的面积为( )(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16分析:尚难看出点P的轨迹图形,为此通过方程去看轨迹.直接法: 只要利用解析工具（即有关公式）将几何条件代数化即可.2.已知点F（1，0），直线L：x=-1.点B是L上的动点，若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )(A) 双曲线 (B) 椭圆 (C) 圆 (D) 抛物线分析:初看动点M的运动是由点B引起,可考虑利用转移法；M又是动直线的交点，还可考虑利用参数法或交轨法.深入挖掘动点的运动规律,发现:|MF|=|MB|,此即到定点与到直线距离相等的点的轨迹抛物线.3.一动圆M过定点A(1,0),且定圆B:(x+1)2+y2=16相切,则动圆圆心M的轨迹方程是 .分析:动点的运动是由几何图形位置关系给出,因此,必须利用几何知识挖掘动点运动的限制条件:|MA|=R,|MB|=4-R,即|MA|+|MB|=4,动点到两定点的距离之和为定值(大于2),故点M的轨迹是椭圆:a=2,c=1,方程为x2/4+y2/3=1.4.过椭圆x2/6+y2/4=1上任一点M(x1,y1)作x轴的垂线,垂足为N,则线段MN中点P(x,y)的轨迹方程为 .分析:点P的运动是由已知运动规律的点M的运动引起的,可考虑用P的坐标去替换M,进而产生P的轨迹方程.将x1=x, y1=2y代入x12/6+y12/4=1,得x2/6+y2=1为所求.坐标代入转移法,也叫相关点法,实质上是特殊的参数法,当不易产生坐标间的关系时,只好考虑用参数法.5.双曲线(x-t2)2/6-(y-2t)2/4=1中心的轨迹方程是 .分析:双曲线中心的横坐标与纵坐标间并无直接联系,而是间接地依赖于参数t,即x=t2,y=2t,y2=4x为所求.6.动直线L1:y=k(x+1)与动直线L2:-ky=(x-1)交点M的轨迹方程为 .分析: L1的方程是L1上动点流动坐标(x,y)满足的代数关系, L2的方程便是L2上动点流动坐标(x,y)满足的代数关系；若将两方程联立,则方程组中的(x,y)便是交点M的流动坐标；不必解出（x，y），只需从方程组中直接消去参数k，便得x2+y2=1().由上可见,人们应用基本方法的根本目的,就在于产生动点流动坐标间的等量关系；之所以，出现诸多基本方法，是因为限制动点运动的情境各不相同.因此,当我们面对陌生的动点轨迹探索题时,总是从限制动点运动的条件出发,寻找解题计划.三 典型例题例题1 已知两点M（-1，0），N（1，0），动点P使，成公差小于零的等差数列.求点P的轨迹.分析:题中已直接给出了动点的运动的限制条件,只需用动点的坐标将向量条件代数化便可.解:设点P的坐标为(x,y),则,.由题意知2(x2+ y2-1)=2(x+1)-2(x-1),且-2(x-1)-2(x+1)0),其轨迹是以原点为圆心、为半径的圆落在y轴右侧的部分（半圆）.注:代数运算与变形能力的高低是决定“代数化”能力强弱的首要因素，这个看似平淡的高考题，得分率很低便充分说明了这一点.例题2 如图，A、B为定点，且|AB|=2，直线m过点B垂直于AB；过A作动直线L与直线m交于点C，点M在线段AC上，且满足，试求点M的轨迹方程.分析:我们的目标就是将几何条件:,转化为M的坐标的等量关系；然而仅靠M坐标，难以实现这一重任，必需引入参变元.解: 以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系.则A(-1,0),B(1,0),m:x=1.设M（x，y），C(1,t)，由条件等式知，其中k为直线AB的斜率，即.由于点M在线段AB上，-1x0,向量.经过点A(a,0)以为方向向量的直线L1与经过点B(-a,0)以为方向向量的直线L2相交于点P,其中.试问是否存在两定点E、F，使|PE|-|PF|为定值？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由.分析:如何排除设问方式的干扰,从设问方式中发现有益的信息,是审题的重要任务.实质上，本题就是要我们用交轨法求点P的轨迹方程,若方程的轨迹是双曲线,则结论是肯定；否则,不成立.解: 设P点的坐标为(x,y),则,又,由题意知 （3分）,由题意知 （5分）由,得,从而(*)为点P的轨迹方程.（9分）方程(*)表示双曲线,其焦点E(,0)和F(-,0)为符合题意的两点定点.(12分) 四 总结：熟悉基本步骤：建、设、限（现）、代、化；牢固掌握基本方法：待定系数法、直接法、几何法、定义法、转移法、交轨法、参数法，尤其是它们的适用情境；进一步明确最终目标：建立该曲线上动点流动坐标的等量关系；进而达到遇较复杂的轨迹探索题时，能临危不乱，自觉地按下列基本途径去思维和操作：即首先挖掘限制动点运动的条件；其次根据限制条件的类型和情境合理选