《数学分析选讲》考研很有用的参考资料(共15章)第11章.pdf

三三 幂级数问题幂级数问题 1 收敛域问题收敛域问题 例例 40 求下列级数的收敛域 1 1 2 2 23 1 n n n x x n 2 1 2 111 n n n xxx x 3 1 1 n x n n n x 4 1 2 1 3 1 sin n n xx n 解解 1 令 n n n x x n xu 2 2 23 1 由于 x x x x n xu n n n n n 2 2 2 2 23 1 limlim 当1 2 2 x x 即xx x 当1 2 2 x x 即时 原级数发散 0 x或1x1 x时发散 故原级数的收敛域为 1 4 令 则原级数化为1 2 xxt 1 3 1 sin n n t n 1 33 1 sin 3 1 sin lim n n R n 发 散 收敛 因此原级数在 即 1 t 1 t111 2 xx01 ba 3 1 12 sin1 2 1 n n n n xn 4 1 1 23 n n n n x n 解解 1 1 1 1lim 1 1lim 2 e nn n n n n n eR 收敛区间为 ee 当ex 时 原级数变为 1 1 1 n n n n e 而 en n 1 1 1 1 1 n n n e 发 散 同理ex 时也发散 故收敛域为 ee 2 ba ba ba nnn n n nn n max 1 lim 11 lim 所以 baR max 不妨设 则当ba ax 时 得数项级数 1n nn n ba a 01 nn n n ba a u 发散 同 理ax 时也发散 因此收敛域为 baba max max 3 原级数化为三个幂级数之和 即 1 12 1 12 1 12 1 12 sin1 2 1 sin1 2 1 n n n n n n n n n n n n xnxxxn 1 12 2 1 n n n x 2 2 2 1 12 n n 2 R 收敛区间为 2 2 1 12 1 n n n x 收敛域为 1 1 1 12 sin n n xn 12 12 sin n n xxn 而 1 12 n n x的收敛域为 1 1 因此 幂级数 在内收敛 1 12 sin n n xn 1 1 因此原级数的收敛域为 1 1 4 令 则原级数化为1 xt 1 23 n n n n t n 而 3 23 lim n n n n n 所以 3 1 R 当 3 1 t时 原级数化为 111 3 211 3 123 n n nn n n n nnn 发散 当 3 1 t时 原级数化为 111 3 211 1 3 123 n n n n n n n n nnn 收敛 因此 收敛域为 1 3 1 从而所求级数的收敛域为 3 1 1 3 1 2 1 2 1 1 2 1 1xxxx x x 收敛 由幂级数性质知在 其内部任一闭区间一致收敛 例例 43 北京大学 1998 解答下列问题 1 求级数 nn n n x e n n 1 1 的收敛半径 2 求级数 0 1 2 n n n n 的和 内蒙古大学 解解 1 记该级数的系数为 则 n a 1 1 lim 1 1 1 1 limlim 1 1 1 1 e n n en e n n a a n n n n n n n n n n 所以 收敛半径为 1 2 2 10 1 00 3 2 1 2 2 2 2 1 2 e n n nn n n n nn nn n nn n n 例例 44 求下列级数的收敛域 1 1 1 1 1 n nnn x n 武汉大学 1999 2 n n nn x n 1 23 天津大学 1998 解解 1 由于e n n n n n nn n 1 1 1 1 1 lim 1 lim 所以收敛半径为 当 时 1 e 1 ex 1 1 1 1 1 11 1 n n nnn e n en 即级数在处都发散 所以收敛域为 其中最后一步是由于数列 1 ex 11 ee 11 1 n n严格单调递减收敛于 e 2 由于3 23 lim n nn nn 所以收敛半径为 当时 1 3 1 3 x 1111 3 21 3 12323 nn n n n n nn n n nn n nn x n 右端第一个级数发散 第二个级数收敛 所以原级数发散 当时 1 3 x 1111 3 2 1 1 3 12323 nn n nnn n n nn n n nn nnn x n 右端两个级数都收敛 所以原级数收敛 由此得收敛域为 3 1 3 1 例例 45 求下列级数的收敛域与和函数 1 n n n x n n 2 1 1 12 1 北航 2001 2 北航 2000 1 1 n n xn 3 1 1 n n nn x 北航 1999 解解 1 由于 2 2 22 12 1 1 32 1 limx x n n x n n nn nn n 令得1 2 x11 x 所以收敛区间为 1 1 当1 x时 级数的通项不收敛于 0 所以级数在处都发散 故收敛域为1 x 1 1 其和函数为 1ln 1 2 1 1 2 12 1 2 2 2 2 1 1 1 212 1 1 x x x x n xx n n n n n n nnn n n 2 易求其收敛域为 记其和函数为 则由幂级数的逐项可微性可得 2 0 xS 111 1 1 1 1 1 1 1 nn nn n n xxxxxnxxS 2 2 1 2 1 1 x x x x x 3 由比式判别法易知其收敛半径为 1 且当1 x时 级数收敛 所以收敛域为 1 1 记 1 1 1 n n nn x xf 则 x xxf n n 1 1 1 1 积分可得 xxxxf 1ln 1 所以 0 0 0 1 1 1ln 1 1 1 x xxxxx nn x n n 思考题思考题 9 北京科技大学 1999 求幂级数 2 1 1 n n n x nn 的和函数 思考题思考题 10 北京科技大学 2001 求幂级数 1 1 2 3 2 1 n n n n n x 的收敛域与和函数 2 和函数的分析性质和函数的分析性质 1 关于逐项取极限定理及其应用关于逐项取极限定理及其应用 例例46 西 安 电 子 科 大 设 级 数在的 某 个 空 心 邻 域 1n n xu 0 x 0 N Nn 有 p 0 n 使得 3 0 xSxS n 3 0 1 0 0 0 xxx 有 3 0 0 1 n k kn cxS 从而有 CccxSxSxSCxS n k k n k knn 00 00 11 故命题成立 证法二证法二 关于 的敛散性同上 1n n c 由于 nn xx cxu 0 lim存在 补充 xun在处的值 0 x nn cxu 则 xun在连续且 一致收敛 从而和函数在 0 xx 1n n xu 0 xx 点连续 由和函数连续定理知 111 00 limlim n n n n xx n n xx cxuxu 注注 此命题表明 若级数在内一致收敛 且 收敛 则 在内一致收敛 1 n n xu 0 0 xU 1 0 n n xu 1 n n xu 0 0 xU 例例 47 北师大 设在连续 xun ba 2 1 n 在 1n n xu ba 内一致收敛 求 证在一致收敛 1n n xu ba 证证 由于在 连续 故 xunba auxu nn ax lim buxu nn bx lim 又 在内一致收敛 利用逐项取极限定理可知级数和收敛 从而由 在 内一致收敛知在在 1n n xu ba 1n n au 1n n bu 1n n xuba 1n n xu ba 一致收敛 利用 Cauchy 准则证明 由 连续和函数在 xun ba 连续 从而在 ba 一致连续 例例 48 厦门大学 设函数在 xun 1 0单调增加 且 0 xun 又假设 在 逐点收敛 并且有上界 那么在 2 1 n 1n n xu 1 0 1n n xu 1 0一致收敛 且 1 1 1 01 limlim n n x n n x xuxu 证证 根据逐项取极限定理 要证上式成立 只需证在 1n n xu 1 0内一致收敛 并且 存在 xun x 1 lim 10 先证 xun x 1 lim存在 由于在 故只需证 xun 1 0 xun有界即可 事实上 由 0 xun及收敛知 1n n xu xSxun 而 xS有上界 故有上 界 从而极限存在 记为 即 xun 1 n u 1lim 1 nn x uxu 且由的单增性知 xun 10 nn uxu 2 1 n 20 证明在一致收敛 由上式 只需证收敛即可 1n n xu 1 0 1 1 n n u 事实上 令 MxSxu n k k 1 1x得 Mu n k k 1 1 而 故收敛 由 01 k u 1 1 n n u M判别法知在 1n n xu 1 0上一致收敛 2 和函数的连续性 和函数的连续性 例例 49 证明 n xn 2 1 当x不等于整数时收敛 周期为 1 且和函数连续 证证 1 2 0 22 111 nnn xnxnxn 当x不等于整数时 则有 n 1 1 11 22 nxn 收敛 可设其和函数为 又 xf xf xkxnxn xf knn 222 1 1 1 1 1 1 故以 1 为周期 由此 其连续性仅在 中证明即可 由于 xf 1 0 2 2 1 11 nxn 22 11 nxn n 所以级数在一致收敛 故连续 1 0 xf 例例 50 设是的一个序列 n x 1 010 n x 且 ji xx ji 试讨论函数 1 2 sgn n n n xx xf在 的连续性 其中 1 0 xsgn是符号函数 北京大学 解解 10 nn n xx 2 1 2 sgn 而 12 1 n n 收敛 故 1 2 sgn n n n xx 一致收敛 20 设为中任一点 则通项 n xx 0 1 0 xun在连续 由定理1 0 x P17 知在 连续 xf 0 x 30 设为 中某点 不妨设为 则 0 x n x k x kn k k n n xxxx xf 2 sgn 2 sgn 上式右端第一项连续 第二项在 k xx 处间断 从而其和间断 即 xf在处间断 k x 例例 51 证明 1 1 n n n xxf在 1 1 内连续 证证 10 qq 考虑闭区间 1 1 qq 因为 nnn n q n x n x 111 qqx 且 1 1 n n n q收敛 1 1 当 0 x 时 1 2 xun 补充定义0 0 n u 则在 xun 0 上连续 且有 1 2 112cos 2 n n n x x 所以级数 0 12cos 2 n n n x x 在 0 上一致收敛 且通项连续 故有 0 0 1 0 0 12cos lim2 0 lim n n x n x x x fxfx 例例 54 北京大学 1998 求极限 1 0 2 1 lim n xn x n 解解 由 M 判别法易知级数 12 1 n xn n 在一致收敛 且通项连续 因此 1 0 1 2 1 2 1 lim 2 1 lim 11 0 1 0 n n n xn x n xn x nn 例例 55 厦门大学 2002 证明 1 级数 3 1 1 sin 1 n n n 收敛 2 3 1 3 11 0 1 sin 1 ln sin 1 lim n n n x n x n n n 证证 1 由 Leibniz 判别法易知其收敛 2 由 Abel 判别法易证其在 0 上一致收敛 由幂级数性质得 3 1 3 11 0 3 11 0 1 sin 1 ln sin 1 lim ln sin 1 lim n n n x n x n x n x n n n n n 3 和函数的可微性与逐项求导 和函数的可微性与逐项求导 例例 56 证明在 1n nx nexf 0内收敛 但不一致收敛 而和函数在内 无穷次可微 0 证证 10 0 x 0 2 nx nen n 所以 收敛 1n nx ne 20 n 所以在nne nx 0 x 0上级数通项不趋于 0 故在 nx ne n 1n nx ne 0上非一致收敛 30 在内收敛 设其和函数为 1n nx ne 0 xf 即 1n nx nexf 0 x nxnx enne 2 连续 且在 1 2 n nx en 0内闭一致收敛 故可微 且 xf 1 2 n nx enxf 0 x 一般地 为任意正整数 1 1 1 n nxk k k enxfk 注注 1 的无穷可微性亦可证明如下 xf nxxx neeexf 2 2 xnnxxxx neeneexfe 132 12 x x nxxxx e e eeexfe 1 1 2 即 2 1 x x e e xf 它在 内有任意阶导数 0 注注 2 对于开区间内的连续性 总可化归纳其内任一闭区间上的连续性问题 从而使其 原来的非一致收敛化为一致收敛 一致收敛性通常在某点邻域被破坏 如 例例 57 北京大学 2001 证明 Riemann 函数 1 1 n x n x 在 1连续 且有各阶连 续导数 证证 记 x n n xu 1 由归纳法得 2 1 ln 1 k n n xu x kk k n 1 0 x 0 使得 31 21 0 x 在区间 31 21 上 有 2 1 1lnln 1 1 k nn n n n xu k x kk k n 而 0 ln lim n n k n 所以当充分大时 有 n 1 1 n xu k n 由M判别法知 对任意正整数 级数 在k 1 n k n xu 31 21 上一致收敛 因此 由数学归纳法知 x 在 31 21 上存在任意阶导数 从而在点存在任意阶导数 由的任意性知 0 x 0 x x 在上存在任意阶导数 且连续 1 思考题思考题 11 中国科技大学 证明 0 4 4 n n n x xy满足方程 yy 4 例例 58 同济大学 设在 xf 内有任意阶导数 级数 xtt nn xtx nn n dttfdtdt dttfdtdttfxfxfxfxf 000 111 00 112 0 1 2 2 按两个方向在 内一致收敛 试求级数的和函数 分析 分析 显然有各阶连续导函数 该级数求导后仍是它自己 因此一致收敛 满足 xf 逐项求导三个条件 所以其和函数 xF存在 x 且有 xFxF Rx 解此方程得 其中 x cexF 0 0 n n fc 例例 59 北京大学 1997 设在 xf 上有任意阶导数 且在任意有限区间 上 一致收敛于 ba xf n x 求证 x cex 证证 显然函数列 xf n 在上满足可微性定理条件 因此有 ba lim x dx xdf dx xd n n 即 dx x xd 由此立得 x cex 例例 60 复旦大学 设 1 1 1 n nx n n e xf 求 1 的连续范围 xf 2 的可导范围 xf 解解 1 由于 nx n n n nx n en n e xf 1 1 1 1 1 1 1 而级数 1 1 1 n n n 收敛 从 而一致收敛 又 0 x nx e 1 单调递减 且1 1 nx e 由 Abel 判别法知其在 一致收敛 所以在上连续 当 0 xf 0 0 x 0 ba 使得 在上 有 bax ba nanxn ee 1 而级数收敛 所以在上一致 收敛 即满足逐项可微条件 因此 在上可导 由 1n na e 1 1 n nxne ba xf bax的任意性知在 内可导 即的可导范围为 xf 0 xf 0 4 逐项积分与积分号下取极限逐项积分与积分号下取极限 要点要点 1 验证是否满足逐项积分定理的条件 若满足 直接使用定理 2 若不满足逐项积分条件 而要证明 只需证 11n b a n b a n n dxxfdxxf 0lim b a n n dxxR 其中为级数的余和 xRn 1n n xf 例例 61 南京大学 设在 xfxh n ba 上连续 2 1 n 又对 ba 中任意的 和正整数n 有 21 x x 2121 xx n M xfxf nn 1 其中为常数 求证 0 M 0lim b a n n dxxfxh 分析分析 积分与极限能否交换次序 取决于 xfxh n 是否一致收敛 因此本题的关键 在于证明 0 由所给条件 1 知 xfn n 0 n M fn n 介 于之间 由与的任意性知 21 x x 1 x 2 x ba 上存在无穷多个这样的 由的连续 从 而一致连续便能证明 xfn n M xfn 故 xfn 0 n 证证 在上连续 所以一致连续 即 xfn ba 0 1 n 0 当 21 xx 有 baxx 21 n xfxf nn 1 21 取充分大 使m m ab 将 等分 ba m bxxxa n 10 利用 1 式得 11 iiinin xx n M xfxf 由微分中值定理 iii xx 1 使得 n M f in 于是 bax x必属于某个小区间 ii xx 1 所以 n M n M n ffxfxf ininnn 11 0 baxax 有 0 N Nn bax 有 xfn 再由的有界性假设可得 xfxg n 0 M MAxg abMdxfAgdxfAgdxfAmg b a n a a n b a n M Mxk 从而有 n n MxxR 2 1 0 x 由此得 0 1 0 2 1 0 dxxMdxxR n n 当 n 于是 n k k n n xdxxdxxx 1 1 0 2 1 0 1 2 lnln 0 1 0 2 1 0 dxMxdxxR n n n 5 和函数的其它问题和函数的其它问题 例例 64 北京大学 设在 连续 并且 xfn ba xfxf nn1 1 0 x 若在 上收敛于 试证明 2 1 n xfn 1 0 xf xf在 1 0上达到最大值 证证 由的单减性知 xfn xfxf n n 1 0 x 由的连续性知 其有上界 从而有上界 其上确界存在 设为 xfn xf 即 xf x1 0 sup 1 下证在上能达到上确界 由 1 及上确界的定义知 存在 使 得 xf 1 0 1 0 n x n n xflim 由致密性定理 n x中必存在收敛子列 k n x 设其极限为 下证 0 x 1 0 0 x 0 xf 事实上 由 n n xflim得 k n k xflim 又 xfxf l n l lim 从而 uxfxfxfxfxfxfxfxf kkklklll nnnnnnnn 0000 故 0 xf 3 幂级数展开式幂级数展开式 1 求幂级数展开式 1 通过变形 转换 利用已知的展开式 基本初等函数 尤其是等比级数 2 利用逐项积分或逐项微分 3 待定系数法 4 计算指定点的各阶导数 然后用 Taylor 级数 5 利用级数的运算 例例 65 武汉大学 把下列函数展成x的幂级数 并说明收敛范围 利用已知展式 1 42 111 1 xxx xf 2 xx 3 sin 解解 1 0 8 0 8 842 1 1 1111 1 n n n n xxx x x xxxx x xf 171698 1xxxxx 1 x 2 0 12 0 12 3 12 31 4 1 12 1 4 3 3sin 4 1 sin 4 3 sin n nn n n n n x n x xxx 0 122 31 12 1 4 3 n nn n x n x 例例 66 试求 2 2 2 arctan x x xf 的幂级数展开式 逐项积分或微分 解解 由得 0 0 f xxx dt t t dt x t dttfxf 0 2 2 2 0 2 0 2 1 1 2 1 2 2 arctan x n n n dt tt 0 0 42 4 1 2 1 2 1 2 2 t t x dt ttttt 0 5 2 4 2 3 2 2 22 22222 1 0 12 2 0 0 2 2 122 1 2 1 n n n n x n n n n x dt t 2 x 下面讨论端点的敛散性 当2 x时 0 2 0 12 2 12 2 1 122 2 1 n n n n n n nn 11 1 9 1 7 1 5 1 3 1 12 11 1 9 1 7 1 5 1 3 1 12 0 34 1 1 14 1 12 n nn nn 00 34 1 1 14 1 12 n n n n nn 可见2 x处收敛 同理当2 x时也收敛 由阿贝尔引理级数在 2 2 上有展式 0 12 2 122 2 1 n n n n n xf 2 x 例例 67 求 2 cos21 sin xx x 1 n a 2 1 0 n 的收敛半径为 且收 敛 则也收敛 且 东北师大 nan 0 dxxfe x 0 0 n n x nadxxfe 证证 0 0 0 dxxaedxxfe n n n xx A n xn n A dxexa 0 0 lim 1 1 na n x xa n x xxaexa n n n n n n n xn n 一致收敛 0 0 lim n A xn n A dxexa 0 0 lim n A xn A n dxexa 00 nadxexadxexa n xn n A xn n 00 0 n n n xn n nadxexa 四四 傅立叶 傅立叶 Fourier 级数 级数 注意 10 分段光滑 将 分成有限段 在每个小区间内部有连续导数 在端点函数 与有单侧极限 ba f f 20 可积函数在指定区间上的Rourier展式是唯一确定的 而其三角展开式是随意的 可 将按不同方式延拓便得不同展开式 xf 30 Fourier级数具有可加性 40 Fourier级数 不管是否收敛 也不管是否收敛至 xf 恒可逐项积分 即 0 00 0 sincos 2 n x nn x dtntbntadt a tf x 50 若连续 分段光滑 xf ff 则 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a xf x 逐项求导得的 Fourier 级数为 x f 1 sincos n nn nxbnxaxf 若附加分段光滑 则的 Fourier 级数收敛于 x f x f 2 00 xfxf x 例例 72 北京大学 2000 求函数 2 x xf 在区间 2 0 内的 Fourier 级数 解解 将延拓为以 xf 2为周期的函数 则有 2 0 2 0 0 0 2 1 1 dx x dxxfa 2 0 2 0 0cos 2 1 cos 1 nxdx x nxdxxfan 2 0 2 0 1 sin 2 1 sin 1 n nxdx x nxdxxfbn 其中 又在 2 1 n xf 2 0 内连续 所以 当 2 0 x时 有 1 sin 2 n n nxx 当 2 0 x时 Fourier 级数收敛于 0 思考题思考题 12 中山大学 把函数 0 2 0 x xx xf 展成 Fourier 级数 例例 73 哈尔滨工大 试将周期函数 arcsin sin xxf 展为 Fourier 解解 显然的周期为 xf 2 在 上可表示为 2 2 2 2 xx xx xx xf 且有 arcsin s