《数学分析选讲》考研很有用的参考资料(共15章)第10章.pdf

2 函数项级数 2 函数项级数 I 基本概念 I 基本概念 一 函数列及其一致收敛性 一 函数列及其一致收敛性 1 定义 1 定义 定义 1定义 1 设 xfn 是一列定义在同一数集E上的函数 若Ex 0 数列收敛 则称函数列在点收敛 称为 0 xfn xfn 0 x 0 x xfn的收敛点 否则称函数列在点发 散 若在 xfn 0 x xfnED 上每点都收敛 则称 xfn在上收敛 全体收敛点所成之集称 为收敛域 此时在收敛域上的每一点 都有数列 D xfn的一个极限值与之对应 由这个对 应法则所确定的D上的函数 称为 xfn的极限函数 若记之为 则有 f xfxfn n lim Dx 函数列极限的N 定义 xfxfn n lim Dx Dx 0 0 xN 有 Nn N xf在一致收敛 即 D 定义 2定义 2 设 xfn与定义在同一数集上 若 xfD0 0 N 有 Nn Dx 0 N 有 Nmn Dx 0 N Nn 有 xfxfn Dx sup 命题命题 在上 D nffn 若存在数列 n a 使得 nn axfxf 且 则 0lim n n a xfnDxnxf 注注 定理 2 比定理 1 更为适用 其困难在于求上确界 先求出 xf 把x看成常数 令 求之 然后求的极值和最值 n xfxfn 3 收敛与一致收敛的关系 3 收敛与一致收敛的关系 1 n ff ffn 2 在有限区间上 挖去充分小区间后 ffn n ff 4 一致收敛函数列的性质 4 一致收敛函数列的性质 定理 3定理 3 设函数列 在上一致收敛于 且对每个 则与均存在 且相等 即 xfn 00 bxxa xfn nn xx axf lim 0 n n a lim lim 0 xf xx limlim limlim 00 xfxf n nxx n xxn 此说明在一致收敛的条件下两种极限可交换顺序 定理 4定理 4 连续性 若函数列 在区间I上一致收敛于 且 在I 上连续 则在上I也连续 xfn xfn xfn xf 注注 若各项为连续函数的函数列 xfn在区间I上其极限函数不连续 则此函数列 在区间 I 上不一致收敛 如 xfn n x在 1 1 上 常用此来证明非一致收敛 定理 5定理 5 可积性 若函数列 在上一致收敛 且每一项都连续 则 xfn ba b a n n n b a n dxxfdxxf lim lim 注注 1 该定理指出 在一致收敛的条件下 极限运算与积分运算可以交换顺序 2 一致收敛只是这两种运算换序的充分条件 而并非必要条件 如下例 例例 设函数 n x x n n xn n xxn xf nn n n 1 1 1 0 2 1 22 2 1 0 2 有 0 N Nn pDx M Mxun Ix 2 1 nxvn 则在 1n nn xvxuI一致收敛 3 和函数的分析性质 3 和函数的分析性质 定理 12定理 12 若 xun在处连续 0 x 2 1 n 且在某领域一致收敛 则 在处连续 1n n xu 0 x n k k xuxS 1 0 x 定理 13定理 13 若 xun在 内连续 ba 2 1 n 且在 1n n xu ba 内闭一致收敛 则在 内连续 n k k xuxS 1 ba 定理 14定理 14 连续性 若在 1n n xu ba 一致收敛 且每一项都连续 则其和函数在 上也连续 即 ba 11 00 limlim n n xx n n xx xuxu 即求和与求极限可以交换次序 定理 15定理 15 逐项求积 在定理 14 的条件下 有 11n b a n b a n n dxxudxxu 即求和与求积分可交换次序 定理 16定理 16 逐项求导 若函数项级数满足条件 1n n xu 1 在 xun ba 上有连续的导函数 2 1 n 2 在点收敛 bax 0 1n n xu 0 x 3 在 一致收敛 1n n xu ba 则 11n n n n xuxu 三 幂级数及其收敛域 三 幂级数及其收敛域 形如的函数项级数称为幂级数 通过变换可化为 1 0 n n n xxa 1n n nx a 1 收敛半径 收敛区间 收敛域 1 收敛半径 收敛区间 收敛域 定理 17定理 17 阿贝尔引理 对幂级数 若它在点 1n n nx a0 0 x收敛 则对满足不等式 0 xx 的任何x都发散 由此易得幂级数的收敛域是以原点为中心的区间 若以 1n n nx aR2表示区间的长度 称R为收敛半径 称 为收敛区间 而收敛域可能包括收敛区间的端点 RR R的求法 的求法 2 收敛半径2 收敛半径 定理 18定理 18 若 n n n alim 则当 1 0时 1 R 2 0 时 R 3 时 0 R 注注 当 n n n a lim不存在时 可以上极限代之 结论不变 定理 19定理 19 若 n n n a a 1 lim 则当 1 R RR 内任一闭区间都一致收敛且绝 对收敛 若收敛 则 在 1n n nR a 1n n nx a R 0一致收敛 定理 21定理 21 若幂级数的收敛半径 则其和函数在 1n n nx a0 R RR 内连续 可积 可微 且有任意阶导数 并满足逐项可积和逐项求导法则 n 注注 幂级数与其诱导级数 逐项求导或求积 具有相同的收敛半径 但其收敛域有可能 变化 即收敛区间端点的收敛性可能发生变化 四 函数的幂级数展开 四 函数的幂级数展开 1 泰勒级数 1 泰勒级数 若在存在任意阶导数 称幂级数 f 0 xU n n xx n xf xxxfxf 0 0 000 为函数在的泰勒级数 xf 0 x 注注 1 泰勒级数未必收敛 2 泰勒级数即使收敛 亦未必收敛于 xf 如 0 0 0 2 1 x xe xf x 在点 0 x 2 收敛定理 2 收敛定理 定理 22定理 22 设在点具有任意阶导数 那么在f 0 xf 0 xU内等于它的泰勒级数的和函数 的充分必要条件是 0 xUx 0lim xRn n 这里 xRn是在的泰勒公式余项 f 0 x 定理 23定理 23 若函数在存在任意阶导数 且f 0 xU0 M 有 Mxf n 2 1 n 0 xUx 则 0 0 0 n n n xx n xf xf 若函数在的泰勒级数收敛于 xf 0 x xf 则称泰勒级数为在的泰勒展开式或幂 级数展开式 也称在可展为幂级数或泰勒级数 当 f 0 x f 0 x0 0 x时的泰勒级数又称为马克劳 林级数 3 初等函数的幂级数展开式 3 初等函数的幂级数展开式 1 0 n n x n x e Rx 2 1 12 1 12 1sin n n n n x x Rx 3 0 2 2 1cos n n n n x x Rx 4 1 1 1 1ln n n n n x x 1 1 x 5 1 11 11 n n x n n x 当1 时 当 1 1 x 01 时 1 1 x 6 0 1 1 n n x x 1 x 7 0 1 1 1 n n n x x 1 x 五 傅里叶级数 五 傅里叶级数 1 正交性与正交函数系 1 正交性与正交函数系 定义 5定义 5 设 fg在上有定义 且可积 若 则称 在 上正交 ba 0 b a dxxgxf xf xg ba 性质性质 三角函数系 在 sin cos sin cos 1nxnxxx 或 2 0上具有正 交性 称之为 上的正交函数系 称形如 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a 的函数级数为三角级数 2 傅里叶系数及级数 2 傅里叶系数及级数 设函数是以f 2为周期且在 上可积的函数 称 2 1 0 cos 1 nnxdxxfan nxdxxfbnsin 1 2 1 n 为函数的傅里叶系数 以的傅里叶系数为系数的三角级数称为的傅立叶级数 记为 fff 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a xf 1 3 傅立叶级数的收敛定理 3 傅立叶级数的收敛定理 定理 24定理 24 若以 2为周期的函数在f 上按段光滑 则在每一点 x f 的傅立叶级数 1 收敛于在点fx的左右极限的算术平均值 即 2 00 xfxf 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a 注注 在区间端点则收敛于 00 2 1 ff 4 奇偶函数的傅氏级数 4 奇偶函数的傅氏级数 设是以 xf 2为周期 且在 上按段光滑的函数 则 1 若为偶函数 则 f0 n b 2 1 n 0 cos 2 nxdxxfan 此时的傅氏级数常称为余弦级数 2 1 0 n 2 若为奇函数 则 f0 n a 2 1 0 n 0 sin 2 nxdxxfbn 此时的傅氏级数常称为正弦级数 2 1 n 注注 对给予 0区间上的函数 常作奇 偶 延拓 使其傅氏级数简单 5 以为周期的函数的展开式 5 以为周期的函数的展开式 2l 设函数是以为周期 且在fl 2 ll 上按段光滑的函数 则 llx 有 2 00 xfxf 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a 其中 l l n dx l xn xf l a cos 1 2 1 0 n l l n dx l xn xf l b sin 1 2 1 n II 例题选解 II 例题选解 一 函数列的收敛与一致收敛 一 函数列的收敛与一致收敛 例 1例 1 证明函数列 在上收敛 但非一致收敛 1 1 nxnxxf n n 1 0 证证 当或时 0 x1 x1 0 nxfn 当 1 0 x时 级数收敛 所以 110 有 0 当 0 baxUx 时 有 N 当时 有 2 Nn 时 有 2 00 有 N 当时 Nn bax 有 1 xfxfn 特别地 有1 xf 0 m2m 0 N 当时 Nn bax 有 2 m xfxfn 所以当时 在无零点 同时 我们有 Nn xfn ba 4 1 1 2 xfxf mxfxf xfxf xfxf n n n n 由一致收敛的定义立得 1 xfn 1 baxn xf 例例 6 华东师大 2001 设在上连续 xf 1 0 0 1 f 证明 1 n x在上不一致收敛 1 0 2 n xxf 在上一致收敛 1 0 证证 1 由于 当 1 1 x时 有 xf 从而当 1 1 x时 有 M 1 0 xMxf 于是有 0 1 lim suplim 1 0 n n n x n Mxxf 从而当 n 充分大时 有 0 sup 1 0 n x xxf 即 n xxf 在上一致收敛于 0 1 0 例 7例 7 河北师大 1 设 i 2 1 nxfn在上连续 ba ii 在上一致收敛于 xfn ba xf iii 在上 ba1 1 nxfxf nn 试证 xfn e在上一致收敛于 ba xf e 2 若将 1 中条件 iii 去掉 1 中结论是否还成立 试证明你的结论 证证 1 由例 4 的结论知 baM max 使得 1 nbaxMxfMxfn 令 则在上连续 从而一致连续 即 x exg xg MM 0 0 当 且 21 MMxx 21 xx时 有 当 有 0 N baxNn xfxfn 从而有 M 1baxn 有MxfMxfn 2 若在内连续 则在上一致收敛到 xg xfg n ba xfg 例例 8 北京大学 1996 设在上 一致收敛于 一致收敛于 若存在正数列 使得 ba xfn xf xgn xg n M 1 nbaxMxgMxf nnn 证明 在上一致收敛于 xgxf nn ba xgxf 提示提示 仿例 4 可证和均在上一致有界 然后利用定义即 可 xfxfn xgxgn ba 例 9例 9 中科院 2000 设函数在上有连续的导函数 xf ba xf ba 21 baxx 当 21 xx时 有 b N 1 1 max 则当时 Nn ax 有 1 ba n x 从而由上式和 微分中值定理得 0 1 nxfxfxfxf nnn 即在 xfn a上一致收敛于 xf 思考题 3思考题 3 北航 证明 对任意实数x 级数 xxxsinsinsinsinsinsin 收敛 提示 提示 利用 Leibniz 判别法 二 函数列与函数级数的一致收敛判别法 二 函数列与函数级数的一致收敛判别法 1 定义法 1 定义法 例10例10 设在 xfR上 有 连 续 的 导 函 数 xfexfexf nn n 证明 在任一有限区间 2 1 n xfn ba 内一致收敛于 x f 解解 由微分中值定理得 xffxf e xfexf xfxf n n n n exx 0 1 当 1 21 baxx 21 xx时 有 bax 有 有 0 N Nn Ix 当 1 2 bax 21 xx时 有 NNn N 1 0 2 1 2 1 000 nxNNn 有 0 0 000 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 0 0 n n n nxSxS 由定义知在上非一致收敛 0n n x 1 0 注注 在证法二中运用了贝努里不等式 当1 x时 有 可用数学归 纳法证明这个结论 nxx n 1 1 思考题思考题 5 同济大学 证明 在上处处收敛 但非一致收敛 1 1 n nn xx 1 0 提示提示 当时显然收敛 当1 x 1 0 x时 收敛 非 一致收敛类似上题证法一 1 2 11 1 n n n n n nn xxxx 思考题思考题 6 中科院 证明 函数级数 0 3 1 n xn n 在内收敛 但非一致收敛 1 0 提示提示 证明非一致收敛时取 3 0 nx 例 13例 13 吉林大学 设 2 1 sin 0 1 p2 p时发散 证证 由第一章例 26 得 1 3 lim n xn n 由此立得结论成立 2 放大法 2 放大法 对于函数列 将 xfxfn 适当放大至一个与x无关的收敛于零的数列 无穷小量 即 0 nn xfxf n 其中 n 与x无关 对于级数 则讨论其余项 即 xRn 0 nn xR n 其中 n 与x无关 实现放大有很多技巧 如通过已知的不等式 求极值 余项估计 递推放大等 例 14例 14 设在 上可积 xfn ba 2 1 n xf xg在 ba 上也可积 且 0lim 2 b a n n dxxfxf 记 则在 x a dttgtfxh x a nn dttgtfxh ba 上 xhn xh n 证证 不等式法 由于 x a nn dttgtftfxhxh x a n dttgtftf 2 1 22 1 2 x a x a n dttgdttftf 0 2 1 22 1 2 b a b a n dttgdttftf n 所以 xhn xh n bax 例 15例 15 广西大学 给定函数列 x n n nx xf ln 4 3 2 n 试求当 为何值时 在 上一致收敛 xfn 0 解解 极值法 由 x nn n xf x n ln 1ln 1 知 当 n x ln 1 时 严减 因此函数在 xfn xfn n x ln 1 处取最在值 最大值为 n fn ln 1 此外 易求 极限函数为 于是 当 0 xf n时 有 1 1 1 0 ln 1lnln ln 1 sup 11 ln 1 ln 1 ln 1 1 0 en e e n n n n fxfxf n n n nn x 所以当且仅当 xfn 1 时 在 0上一致收敛 例 16例 16 湖北大学 2002 试问为何值时 在k nxk n exnxf 0 上一致收敛 解解 有 0 x 0lim lim nx k n n n e xn xfxf 而 令 1 nxenxf nxk n 0 x fn得 且 所以 为其极大值点 又 1 nx0 11 ennf k1 nx 0 lim 0 0 xff n x n 所以也是其最大值点 于是 111 0 sup k nn x nenfxfxf 由此可得 当时 在1a 解解 原级数可写成 11 111211 1 1211 nn nx nx xnxxnxxx nx 0 x 级数 1 1211 n nxxx nx 收敛 1 1 1 111 1 M Mxf 1 bax 从而 axMdttfxf x a 12 2 23 2 ax M dtatMdttfxf x a x a 一般地 若对有n 1 1 n n ax n M xf 则 n x a n x a nn ax n M dtat n M dttfxf 1 1 1 从而有 0 1 n abM xf n n n 故 xfn 0 n bax 注 注 将区间换成便是北航 1999 年考研题 ba 0 a 例例 20 华中师大 2002 东北师大 设在矩形 txG babaD 上连续 在上连续 令 证明在上 一致收敛 0 xu ba 2 1 1 baxndxxuxu x a nn xun ba 证证 在D上连续 从而在D上有界 即 txG0 1 M 有DtxMtxG 1 又在上连续 则有界 故存在 有 0 xu ba0 2 M 20 baxMxu 于是 212101 abMMaxMMdxxutxGxu x a 2 2 2 2 1 2 2 112 abMM dtatMMdttutxGxu x a x a 由数学归纳法易证 1 21 n n abMM xu nn n 由比式判别法知 21 n abMM nn 收敛 所以0 lim 2 2 1 n abMM n n 从而0 suplim xun bax n 即 xun在上一 致收敛 ba 例例 21 南京大学 吉林大学 假设 i 在 xf 内连续 ii 时 0 x xxf iii 令 xfxf 1 xffxf 12 xffxf nn1 试证在 上一致收敛 其中 xfn AA A为正常数 证证 由 ii 知 xxf A 当 x时 xf 当 AAx 时 xf在其上连续 则存在最大值 M 由条件 ii 知AM 故 存在小于 1 的正数q 使得 于是 当qAM AAx 时 有 qAxf max 由 此 易 得 AAx 若 xf 则 xfxffxf2 若 Axf A 则 Aqxfqxffxf 2 2 所以总有 Aqxf 2 2 max 依次下去 可得 Aqxf n n max 2 1 n 由于 所以当充分大时 从而有10 qn n 0lim n n nn xu 当Ix 且 0 xuxu ji ji 试 证 在 1n n xuI一致收敛 这里I是任意区间 证证 由 Ix 0 xuxu ji ji 知 xun中至多有一项不为零 因此 该级 数的余项满足 xRn 0supsup n nk k nk n xuxR n 故在 1n n xuI上一致收敛 3 Cauchy 收敛准则收敛准则 只需判定任意两个函数之差任意小 不需求出极限函数 这一点比用定义法优越 例例 23 上海交大 上海交大 2000 设可微函数列 xfn在上收敛 ba xfn 在上一致 有界 证明 在上一致收敛 ba xfn ba 证证 由条件 使得0 M1 nbax 有Mxfn 于是 0 0 3 M 当 21 baxx 21 xx时 对一切正整数 都有 n 3 2121 iii xNN 有 p i Nn 3 p bax i 使x属于第i个 小区间 于是由 1 和 2 式得 xfxfxfxfxfxfxfxf nininipnipnpnnpn 0 0 xNN 当 有 Nn 2 1 0 pn nk k xu p 取 c4 则当 bax p时 有 pn nk k pn nk k pn nk k pn nk k xuxuxuxu 1 0 1 0 11 2 2 2 0 1 0 xxcxxu pn nk k 即 这样 当取遍中所有点时 得 0 x ba ba 的开覆盖 baxxU x 在每个小区间 上式成立 由有限覆盖定理 存在有限子覆盖 设为 ii xU 取li 2 1 i xNN max 当 Nn p bax 都有 取充分大 将m ba m等分 使每个小区间的长度 c4 i xNN 有 pNn 2 1 p bax i 使x属于第i个 小区间 有 x x pn nk k pn nk ik pn nk k i dttuxuxu 111 当 11 yx 22 dcbayx 2121 yyxx时 有 0 N 当时 都有 Nn bax bax 由 1 式得 0 N 当时 Nn p 有 pn nk k b 1 记 于是 in nk ki bS 1 i S 从而由阿贝尔变换得 2 1 i pnppnpnpnnnn pn nk kk fSffSffSffSxfb 11322211 1 pn fM 而Mffffffff pnpnpn 2 121100 故 Mxfb pn nk kk 3 1 np 0 4 0 U n x 有 0 2 1 2 1 0 4 2 4 sin 2 1 4 sin 1sin n nk n nk kk kx 由柯西收敛准则知 1 sin n n nx 非一致收敛 M4 判别法判别法 关键在于寻找适当的收敛的正项级数 常用方法除观察法之外 还有 求在 xunI上 的最大值 利用已知的不等式 Taylor 公式 微分中值定理等 例例 28 安徽大学 证明 在 1 2 1 n n xx 1 0上一致收敛 证证 最大值法 记 2 1xxxu n n 则 xxxnxxu nn n 121 2 1 令得稳定点 0 x un 2 1 0 n n x 而 010 2 nnn uu n n u 所以在 上的最大值为 xun1 0 2n n un 从而 2 222 4 2 2 2 1 2 1 2nnn n n n n n xu n n 由 1 2 4 n n 收敛知在上一致收敛 1 2 1 n n xx 1 0 例例 29 证明 1 32 2 arctan n nx x 在 内一致收敛 分析分析 不等式法 233232 1 2 2 arctan nnx x nx x 例例 30 北京大学 证明 函数项级数 1 1 1 n n x n x e n 在任意有穷区间 上一 致收敛 在 ba 上非一致收敛 分析分析 首先建立不等式 对任意自然数 当nnt 时 有 t n t e n t n t e 2 1 吉林工业大学 事实上 原式等价于 n t e n t t n 2 11 记 t n e n t n t tf11 2 只需证 当 而 0 tf nt 11 1211 2 n t n tt n n t e n t n t ee n t n t tf 用 表示方程 1 12 n t n t e0 的根 倘若存在的话 则极值点可能是 0 t t及 但 nt 00 f nn e nn f n 12111 22 所满足的方程 011 2 2 2 n nn 1nnf 由此得 00min ftftf nt 其次 不妨设有限区间 满足 ba Ma Mb 则由所证不等式有 Mx n x e n M e n x n x e n 2 2 2 2 1 1 由此立得一致收敛 最后 在 上 n 当 x时 n x n x e n 1 1 即通项 在上不可能一致收敛于零 从而非一致收敛 例例 31 中国科技大学 设一元函数在f0 x的某邻域内有二阶连续导数 函数是的次复合 证明 级数在 00 f 100 充分小时 则在 x f 连续 故 有0 M Mxf 由泰勒定理得 22 2 1 0 2 1 00 xfxfxfxffxf x 从而当 x时 有 xqMfxxf 2 1 0 其中 Mfq 2 1 0 由 的任意性可使1 q 因为 100 f 由此可得 22 2 qxqxfqxffxf n nn qxfqxf 1 由 M判别法知一致收敛 且绝对收敛 1n n xf 例例 32 西南师大 证明 在 1 2 n nx ex 0内一致收敛 提示提示 222 2 22 2 2 2 22 1 nxn x xn nx x ex nx b 21 aa 1n n a x tn n n dtet n a 0 1 1 在 上一致收敛 b 0 分析分析 1 收敛 从而一致收敛 1n n a 2 11 1 1 1 0 00 n n dtet n dtet n tn x tn 一致有界 3 x tn x tn x tn dtet n dtet n t n dtet n 000 1 1 1 1 1 1 当时 bn 即 x tn dtet n 0 1 关于单减 由阿贝尔判别法知其在上一致收敛 n ba 例例 35 北师大 证明 2ln 2 1 1 1 lim 1 1 1 n n nn x x x n 证证 级数 1 1 1 n n n 收敛 从而一致收敛 又 1 0 x n n x x 1 单调递减 且 1 1 n n x x 由 Abel 判别法知其在上一致收敛 所以 1 0 2ln 2 1 1 2 1 1 lim 1 1 1 lim 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n x n n n nn x n x x n x x n 其中最后一步是由于 1 1 1 1ln 1 1 x n x x n n n 6 Dirichlet 判别法判别法 例例 36 四川大学 证明 级数 1 23 2 1 n x n n ne 在任何有限区间 ba 上一致收敛 但在任何一点处不绝对收敛 0 x 分析分析 第二结论易证 下面仅分析证明第一结论 也可用 Abel 判别法 证法一 1 即部分和一致有界 21 1 n k k 2 1 1 1 1 232323 222 nn e nn e n ne xxx 2 1 n 单减 3 当时 bax 0 2323 22 n ne n ne cx bac max 因此 23 2 n nex 0 由 Dirichlet 判别法知其一致收敛 n 证法二证法二 原级数可化为 11 23 1 11 2 nn n x n nn e 显然 1 23 1 1 n n n 与 1 1 n n n 关 于x一致收敛 又在 上有界 一致收敛级数各项同乘以一有界函数后仍一致收敛 故 2 x e ba 1 23 2 1 n x n n e 一致收敛 从而原级数一致收敛 证法三证法三 容易证明原级数是 Leibniz 级数 由证法一立明 则其余项和的绝对值满足 0 1 1 1 1 2323 22 n ne n ne xr cx n 从而 0 故一致收敛 xrn n 注注 此例说明 一致收敛并不意味着绝对收敛 思考题思考题 7 华中科技大学 证明 1 2 2 1 n n n