4 多元函数的Taylor公式与极值问题-1 工科数学分析基础.pdf

2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系1 多元函数的Taylor公式与极 值问题 中值定理与Taylor公式 极值 最小二乘法 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2 一 中值定理和泰勒公式 二元函数的中值公式和泰勒公式二元函数的中值公式和泰勒公式 与一元函数的拉与一元函数的拉 格朗日公式和泰勒公式相仿格朗日公式和泰勒公式相仿 对于对于 2 n n 元函数元函数 也有相同的公式 只是形式上更复杂一些 也有相同的公式 只是形式上更复杂一些 先介绍凸区域先介绍凸区域 若区域若区域 D 上任意两点的连线都含于上任意两点的连线都含于 D 则称则称 D 为凸区域为凸区域 如后图如后图 这就是说这就是说 若若 D 为为 凸区域 则对任意两点凸区域 则对任意两点 111222 P xyP xyD 和和 一切一切 01 恒有恒有 121121 P xxxyyyD 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系3 上连续上连续 在在 D 的所有内点都可微的所有内点都可微 则对则对 D 内任意两内任意两 点点 int 01 P a bQ ah bkD 使得使得 定理定理1 中值定理中值定理 设设 f x y 2 RD 在凸区域在凸区域 凸凸 1 P 2 P PD D 非凸非凸 PD 1 P 2 P D 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系4 xy f ah bkf a b fah bk hfah bk k 1 证 证 令令 tf ath btk 它是定义在 它是定义在 0 1 上上 的一元连续函数的一元连续函数 且在且在 0 1 内可微内可微 根据一元函数根据一元函数 1 0 2 其中其中 中值定理 中值定理 01 使得 使得 x y fah bk h fah bk k 3 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系5 由于由于 D 为凸区域 因此为凸区域 因此 ah bkD 故由 故由 2 3 两式即得所要证明的两式即得所要证明的 1 式 式 注注 若若 D 为严格凸区域 即为严格凸区域 即 111222 P xyP xy 01 D 都有 都有 121121 int P xxxyyyD 则对则对 D 上连续 上连续 intD 内可微的函数内可微的函数f 只要只要 P QD 也存在也存在 0 1 使 使 1 式成立 式成立 公式公式 1 也称为二元函数也称为二元函数 在凸域上在凸域上 的中值公式的中值公式 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系6 推论推论 若函数若函数 f 在区域在区域 D 上存在偏导数 且上存在偏导数 且 0 xy ff 则则f在区域在区域 D 上为常量函数 上为常量函数 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系7 23 2 122 13 123 分析分析 将上式改写成将上式改写成 23 2 12 13 123 2 左边恰好是左边恰好是 1 1 0 0 1 1 2 ff 故应在两点 故应在两点 2 1 21 f x y xxy 例例1 对应用微分中值定对应用微分中值定 理 证明存在某个理 证明存在某个 01 使得 使得 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系8 12 1 0 0 1 PP与与之间应用微分中值定理 之间应用微分中值定理 计算偏导数计算偏导数 23 223 2 21 21 xy xyx ff xxyxxy 易知易知 xy ff与在凸闭域与在凸闭域 22 1 Dx yxy 上上 连续连续 12 P PD 由中值定理由中值定理 01 使得 证证 首先首先 当当 有再有再 1 1 1 0 0 1 2 ff 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系9 23 2 1 1 2 1 1 f 000 P xy的某邻域的某邻域 定理定理2 泰勒定理泰勒定理 若在点若在点 内任一点内任一点 00 0 1 xh yk 使得 使得 0 U P 0 U P内有直到阶的连续偏导数内有直到阶的连续偏导数 则对则对1n 23 2 1 2 1 1 23 2 13 123 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系10 1 00 1 1 n n Rhkf xh yk nxy 000000 f xh ykf xyhkf xy xy 00 1 4 n n hkf xyR nxy 2 00 1 2 hkf xy xy 其中其中 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系11 00 m hkf xy xy n R为该泰勒公式的为该泰勒公式的余项 余项 证证 引入辅助函数引入辅助函数 00 tf xth ytk 4 式称为式称为 0 fP在点在点的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 并称其中并称其中 00 f xy 0m 而首项也可看作的情形而首项也可看作的情形 00 0 C mm iim i m im i i f xyh k xy 1 2 mn 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系12 件 于是有件 于是有 00 m m thkf xth ytk xy 由假设 由假设 0 1 t 在在上满足一元函数泰勒公式的条上满足一元函数泰勒公式的条 应用复合求导法则应用复合求导法则 可求得可求得 t 的各阶导数如下的各阶导数如下 0 0 1 0 1 2 5 1 0 01 1 nn nn 0 1 1 mn 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系13 00 0 0 1 6 m m hkf xymn xy 1 1 00 7 n n hkf xh yk xy 公式公式 4 注注 1 前面的中值公式前面的中值公式 1 正是泰勒公式正是泰勒公式 4 在在0n 注注 2 若在若在 4 式中只要求式中只要求 22 n n Rohk 将将 6 7 两式代入两式代入 4 式式 就得到所求之泰勒就得到所求之泰勒 时的特殊情形时的特殊情形 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系14 此时的此时的 n 阶泰勒公式可写作阶泰勒公式可写作 例例 2 求求 y f x yx 在点在点 1 4 的泰勒公式的泰勒公式 到到二 阶为止阶为止 并用它计算并用它计算 3 96 1 08 解解 由于由于 00 1 4 2 xyn 因此有因此有 1 4 1 y f x yxf 则仅需则仅需 0 fU P在在内存在内存在 n 阶的连续偏导数即可阶的连续偏导数即可 0000 0 1 p n n p f xh ykhkf xyo pxy 8 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系15 1 1 4 4 y xx fx yyxf ln 1 4 0 y yy fx yxxf 22 2 1 1 4 12 y xx fx yy yxf 11 ln 1 4 1 yy xyxy fx yxyxxf 22 2 ln 1 4 0 y yy fx yxxf 将它们代入泰勒公式将它们代入泰勒公式 15 即有 即有 22 14 1 6 1 1 4 y xxxxyo 若略去余项 并让若略去余项 并让1 08 3 96xy 则有 则有 3 962 1 0814 0 086 0 080 08 0 041 3552 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系16 例例求函数求函数 1ln yxyxf 的三阶麦 克劳林公式 的三阶麦 克劳林公式 解解 1 1 yx yxfyxf yx 1 1 2 yx yxfyxfyxf yyxyxx 1 2 33 3 yxyx f pp 3 2 1 0 p 1 3 44 4 yxyx f pp 4 3 2 1 0 p 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系17 0 0 0 0 0 0 yxyfxff y y x x yx 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 22 2 yx fyxyffx f y y x x yyxyxx 2 0 0 0 0 3 0 0 3 0 0 0 0 332 23 3 yxfyfxy yfxfxf y y x x yyyxyy xxyxxx 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系18 又又0 0 0 f 故 故 3 1 2 1 1ln 3 32 Ryxyxyxyx 其中其中 10 1 4 1 4 1 4 4 4 3 的点 的点 象限 又含有使象限 又含有使 0h x y 现考察关于现考察关于 2222 xy u v xyxy 的的 连续函数连续函数 仍为一正定二次型仍为一正定二次型 T 0 22 f Qxy Q u vu v HPu v xy 0 f HP f首先证明 首先证明 当正定时 在点取得极小当正定时 在点取得极小 0 P 值 这是因为 此时对任何值 这是因为 此时对任何 0 0 xy 恒使恒使 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系26 22 2 Qxyqxy 从而只要从而只要 0 U P充分小 且充分小 且 0 x yU P 就有 就有 2222 00 22 1 0 f x yf xyqxyoxy xyqo 同理可证 同理可证 当当 0 f HP负定时负定时 f在点在点 00 xy取得取得 极大值 极大值 22 1 u vuv 恒满足 恒满足 Q u v由于因此在此有界由于因此在此有界 闭域上存在最小值闭域上存在最小值 20q 于是有 于是有 f 00 xy即在点 取得极小值 即 在点 取得极小值 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系27 取极值 这是因为取极值 这是因为 倘若倘若f取极值取极值 设为极大值设为极大值 00 xxtxyyty 00 0f x yf xtx ytytt 在 在亦取亦取 极大值 由一元函数取极值的充分条件 极大值 由一元函数取极值的充分条件 0 0 0 t 是不可能的 否则在将取极小值是不可能的 否则在将取极小值 故只能故只能 0 0 而而 xy tfxfy 则沿着过则沿着过 0 P的任何直线的任何直线 0 f HPf最后证明最后证明 当为不定矩阵时当为不定矩阵时 在点在点 0 P不不 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系28 22 2 x xx yy y tfxfxyfy T 0 0 f xy HPxy 极小值极小值 则将导致则将导致 0 f HP必须是正半定的必须是正半定的 也就是也就是 说 当说 当f在在 0 P取得极值时取得极值时 0 f HP必须是正半定必须是正半定 的或负半定的 这与假设相矛盾 的或负半定的 这与假设相矛盾 0 f HPf这表明必须是负半定的这表明必须是负半定的 同理同理 倘若取倘若取 系 上述定理又可写成如下比较实用的形式系 上述定理又可写成如下比较实用的形式 根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系29 2 00 0 0 i xxxxy yx y fPfffPf 当时在 当时在 2 00 0 ii 0 xxxxy yx y fPfffPf当时在当时在 2 00 0 iii xxy yx y fffPfP 当时在不取极值 2 00 10 200 y yxxy yx y fPfffP 因此因此f在在 0 P取得极小值取得极小值 3 1 8f 又因 又因f处处 处存在偏导数 故处存在偏导数 故 0 3 1 P 为为 f 的惟一极值点 的惟一极值点 解解 由由20 0 xy fxyfx 得原点为稳定点 得原点为稳定点 0 3 1 fP 解出的稳定点由于解出的稳定点由于 例例5 讨论讨论 2 f x yxxy 是否存在极值 是否存在极值 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系31 例例 6 讨论讨论 22 2 f x yyxyx 在原点是否取在原点是否取 得极值得极值 2 0 0 0 xxy yx y fff 2 0 0 10 xxy yx y fff f因 故原点不是的因 故原点不是的 ff极值点极值点 又因处处可微 所以没有极值点又因处处可微 所以没有极值点 解解 容易验证原点是容易验证原点是 f的稳定点的稳定点 且且 故由定理故由定理4 无法判断无法判断 f 在原点是否取得极值 在原点是否取得极值 但因为在原点的任意小邻域内但因为在原点的任意小邻域内 当当 22 2xyx 时时 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系32 22 0 2 0f x yyxyxf x y而当或时而当或时 所所 由极值定义知道由极值定义知道 极值只是函数的一个极值只是函数的一个局部性概念局部性概念 想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值 方法方法 与一元函数问题一样 需先求出在该区域上所有稳与一元函数问题一样 需先求出在该区域上所有稳 定点 无偏导数点处的函数值定点 无偏导数点处的函数值 还有在区域边界上还有在区域边界上 的这类特殊值 然后比较这些值的这类特殊值 然后比较这些值 其中最大其中最大 小小 者者 即为问题所求的最大即为问题所求的最大 小小 值 值 以以 f 0 0 0 不是极值不是极值 参见后图参见后图 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系33 例例7 证明证明 圆的所有外切三角形中圆的所有外切三角形中 以正三角形的以正三角形的 面积为最小 面积为最小 证证 如图所示如图所示 设圆的半径为设圆的半径为 a 任一外切三角任一外切三角 2 yx 2 2yx x y O A BC a 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系34 式为式为 2 tantantan 222 Sa 2 tantantan 222 a 222 1 secsec0 222 Sa 其中其中 0 为求得稳定点为求得稳定点 令令 2 ABC 其中易知的面积表达 其中易知的面积表达 形为形为 ABC 三切点处的半径相夹的中心角分别为三切点处的半径相夹的中心角分别为 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系35 222 1 secsec0 222 Sa 在定义域内在定义域内 上述方程组仅有惟一解上述方程组仅有惟一解 22 2 33 r 为了应用定理为了应用定理 4 求出在点 求出在点 22 33 处处 的二阶偏导数的二阶偏导数 222 4 3 2 3 4 3 SaSaSa 24 0 360 SSSSaS 由于因此在 由于因此在 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系36 此稳定点处取得极小值 正三角形的面积为最小 此稳定点处取得极小值 正三角形的面积为最小 例例 8 求函数求函数 322 22f x yxxxyy 的极值的极值 和在和在 2 2 2 2 D 上的最大 最小值 上的最大 最小值 解解 i 求稳定点 求稳定点 解方程组解方程组 2 3420 220 x y fx yxxy fx yxy 因为因为 面积函数面积函数 S 在定义域中处处存在偏在定义域中处处存在偏 导数 而具体问题存在最小值 故外切三角形中以导数 而具体问题存在最小值 故外切三角形中以 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系37 642 22 f x Hx y 并有 并有 42 0 0 22 f H 正定 正定 02 2 3 2 3 22 f H 不定 不定 因此因此 0 0 0 2 3 2 3 ff 为极小值不是极值 为极小值不是极值 得稳定点得稳定点 0 0 2 3 2 3 和 和 ii 求极值 求极值 由于由于 f x y的的Hesse矩阵为矩阵为 D 2x 时 时 iii 求在上的特殊值求在上的特殊值 当当 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系38 2 2 4 2 2 fyyyy 单调增 算出两端值单调增 算出两端值 2 2 4 f 2 2 12 f 2 2 164 2 2 fyyyy 单调减 算出两端值单调减 算出两端值 2 2 12 f 2 2 28 f 32 2 244 2 2 f xxxxx 2 2 d82 2 34430 3d3 f xxxx x 由 由 当当2x 时时 当当2y 时 时 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系39 2y 当时 当时 32 2 244 2 2 f xxxxx 由由 2 12 d2 2 3440 2 d3 f xxxxx x 得 得 算出算出 268 2 2 2 12 327 ff 与两端值 与两端值 iv 求在求在D上的最大 小值上的最大 小值 将将 iii 中五个特殊值中五个特殊值 与与 0 0 0 2 3 2 3 4 27ff 相比较 便得相比较 便得 2 2 4 f 2 2 28 f 单调增单调增 算出两端值算出两端值 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系40 max 2 2 28 min 2 2 4 x yD x yD f x yf f x yf 下页中的图是曲面下页中的图是曲面 322 22zxxxyy 的的 图形图形 上面的讨论都能在图中清晰地反映出来 上面的讨论都能在图中清晰地反映出来 一点与一元函数是不相同的 务请注意 一点与一元函数是不相同的 务请注意 注注 本例中的本例中的fD在在上虽然只有惟一极值上虽然只有惟一极值 且为极且为极 小值 但它并不因此成为小值 但它并不因此成为fD在在上的最小值 这上的最小值 这 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系41 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 10 0 10 20 30 x y z 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系42 在工程问题中 常常需要根据两个变量的 几组实验数值 在工程问题中 常常需要根据两个变量的 几组实验数值 实验数据 来找出这两个变 量的函数关系的近似表达式 通常把这样得到 的函数的近似表达式叫做 实验数据 来找出这两个变 量的函数关系的近似表达式 通常把这样得到 的函数的近似表达式叫做经验公式经验公式 问题 如何得到经验公式 常用的方法是什么 问题 如何得到经验公式 常用的方法是什么 三 最小二乘法 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系43 例1例1为了测定刀具的磨损速度 我们做这样的 实验 经过一定时间 如每隔一小时 测量一 次刀具的厚度 得到一组试验数据如下 为了测定刀具的磨损速度 我们做这样的 实验 经过一定时间 如每隔一小时 测量一 次刀具的厚度 得到一组试验数据如下 顺序编号顺序编号i 0 1 2 3 4 5 6 7 时间时间 i t 小时小时 0 1 2 3 4 5 6 7 刀具厚度刀具厚度 i y 毫 米 毫 米 27 0 26 8 26 5 26 3 26 1 25 7 25 3 24 3 试根据上面的试验数据建立试根据上面的试验数据建立y和和t之间的经验公 式 之间的经验公 式 tfy 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系44 观察可以认为 观察可以认为 tfy 是线性函数 并设 是线性函数 并设 battf 其中其中 a和和b是待定常数 是待定常数 t y o12473568 24 25 26 27 如图 在坐标纸上画出 这些点 因为这些点本来不在一条直线上 我们只 能要求选取这样的 使得在 处的函数值与实验数据相 差都很小 如图 在坐标纸上画出 这些点 因为这些点本来不在一条直线上 我们只 能要求选取这样的 使得在 处的函数值与实验数据相 差都很小 ba battf 710 ttt 710 yyy 首先确定首先确定 tf的类型 的类型 解解 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系45 就是要使偏差就是要使偏差 7 2 1 0 itfy ii 都很小都很小 因此可以考虑选取常数 使得因此可以考虑选取常数 使得ba 7 0 2 i ii batyM 定义定义这种根据偏差的平方和为最小的条件来选 择常数的方法叫做 这种根据偏差的平方和为最小的条件来选 择常数的方法叫做最小二乘法最小二乘法 ba 这种确定常数的方法是通常所采用的这种确定常数的方法是通常所采用的 最小来保证每个偏差的绝对值都很小 最小来保证每个偏差的绝对值都很小 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系46 M把看成自变量和的一个二元函数 把看成自变量和的一个二元函数 ab 那么问题就可归结为求函数在那 些点处取得最小值 那么问题就可归结为求函数在那 些点处取得最小值 baMM 7 0 7 0 0 2 0 2 i ii i iii baty b M tbaty a M 令令 即即 7 0 7 0 0 0 i ii i iii baty tbaty 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系47 将括号内各项进行整理合并 并把未知数 和分离出来 便得 将括号内各项进行整理合并 并把未知数 和分离出来 便得 a b 1 8 7 0 7 0 7 0 7 0 7 0 2 i i i i i ii i i i i ybta tytbta 计算得计算得 28 7 0 i i t 140 7 0 2 i i t 5 208 7 0 i i y0 717 7 0 i iit y 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系48 代入方程组 代入方程组 1 得 得 5 208828 71728140 ba ba 解此方程组 得到解此方程组 得到 125 27 3036 0 ba 这样便得到所求经验公式为这样便得到所求经验公式为 2 125 273036 0 ttfy 由 由 2 式算出的函数值与实测的有 一定的偏差 式算出的函数值与实测的有 一定的偏差 现列表比较如下 现列表比较如下 i tfi y 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系49 i t 01234567 实测实测 i y 27 026 826 526 326 125 725 324 3 算得算得 i tf 27 125 26 821 26 518 26 214 25 911 25 607 25 303 25 000 偏差偏差 0 125 0 021 0 018 0 0860 1890 093 0 003 0 200 偏差的平方和 它的平方根 偏差的平方和 它的平方根 108165 0 M 329 0 M 我们把称为我们把称为均方误差均方误差 它的大小在一定 程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关 系的近似程度的好坏 它的大小在一定 程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关 系的近似程度的好坏 M 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系50 例2 例2 在研究单分子化学反应速度时 得到下列数据 在研究单分子化学反应速度时 得到下列数据 12345678 3691215182124 57 641 931 022 716 612 28 96 5 i i i y 其中表示从实验开始算起的时间 表示时刻 反应物的量 试定出经验公式 其中表示从实验开始算起的时间 表示时刻 反应物的量 试定出经验公式 y fy 解解 fy 由化学反应速度的理论知道 应是 指数函数 由化学反应速度的理论知道 应是 指