中科大史济怀数学分析课件 151-154.pdf

278 第 15 章 曲面的表示 第 15 章 曲面的表示 本章主要讲述 3 维空间 3 中曲面的显函数表示 隐函数表示和 参数表示 曲面的概念曲面的概念 设 3 是连通点集 若a 存在空间 3 中包含a 的区域V 使得V 与平面 2 中的某个开圆盘同胚 则称 是 3 中 的曲面 例如 球面 圆柱面 平面上的区域是曲面 平面上的闭区域不 是曲面 由去掉一个边界点不影响单连通性可证明 15 1 曲面的显式方程和隐式方程 15 1 曲面的显式方程和隐式方程 命题 1命题 1 若 zf x y 是区域 2 D 上的连续函数 则 3 x y f x yx yD 是 3 中的曲面 该曲面有时也记成 曲面 zf x yx yD 证 证 因为 F x yx y f x y 是从D到 3 的连续映射 故 F D 连通 0000 xyf xy 取 00 BxyD 则 00 VBxy 是包 含点 0000 xyf xy的区域 3 00 Vx y f x yx yBxy 显然与 00 Bxy 同胚 因为投影映射便是从V 到 00 Bxy 上的同 胚映射 命题 2 命题 2 若 zf x y 是区域 2 D 上的 1 C函数 00 xyD 则 0000 1 ff xy xyxy 是曲面 zf x yx yD 的上侧在点 0000 xyf xy处的一个法 向量 切平面方程为 00000000 ff xy zf xyxyxxxyyy 279 证 证 曲面 zf x y 与平面 0 yy 相交成曲线 100 xx yf x y 00 1 0 f x xy 是 1 在 0000 x yf x y处的一个切向量 曲面 zf x y 与平面 0 xx 相交成曲线 200 yxy f xy 00 0 1 f y xy 是 2 在 0000 xyf xy处的一个切向量 故曲面上侧在点 0000 x yf x y 处的法向量之一便是 00 1 0 f x xy 123 00 00 00 1 0 0 1 0 1 det f x f y f y eee xy xy xy 0000 1 ff xy xyxy 命题 3 命题 3 若 F x y z是区域 3 V 上的 1 C函数 x y zV F x y z 0 连通 并且 0 gradF x y zx y z 则 是 3 中的曲面 该 曲面有时也记成 曲面 0 F x y zx y zV 证 证 000 xyz 因为 000 0F x y zgrad 故不妨设 000 0 F z x y z 由隐函数定理 存在 2 00 Bxy 上唯一的 1 C函数 zf x y 使得 000 0 F x y f x yzf xy 这说明在 000 xy z附近 就是曲面 zf x y 命题 4 命题 4 设 F x y z是区域 3 V 上的 1 C函数 F x y zx y zV 0 连通 并且 0 F x y zx y zgrad 对于固定点 000 xyz 000 F x y zgrad是曲面 在 000 x y z处的一个法向量 指向 x y zV 0 F x y z 切平面方程为 00000000 FF xy xy zxxxy zyy 0000 0 F z xy zzz 证 证 因为 000 0F x y zgrad 故不妨设 000 0 F z x y z 由隐函数定理 在 000 xy z附近 能表示成显式曲面 zf x y 故 0000 1 ff xy xyxy 280 是曲面 在 000 xy z处的一个法向量 从 000 000 0000 000000 F F yff x xy FF zz xy z xy z xyxy xy zxy z 便知 0000000000 1 ff F zxy gradF xy zxy zxyxy 对于方 向 000 000 gradF xy z u gradF xy z 有 000000 F u xy zgradF xy zu 000 0gradF xy z 这说明单变量函数 000 g tFxy ztu 在0t 附近严格递增 故u 指向 0 x y zVF x y z 推论推论 若 000 xy z是空间曲线 0 0 F x y z G x y z 上的点 则 000 gradF xy z 000 gradG xy z 是该曲线在点 000 xy z处的一个切向量 作为特例 若 00 xy是平面曲线 0f x y 上的点 则 0000 ff yx xyxy 是该 曲线在点 00 xy处的一个切向量 证 证 交线的切线同时位于两块曲面的切平面上 故交线的切向量同时 正交于两块曲面的法向量 从而gradFgradG 是交线的切向量 平面曲线 0f x y 可视为空间曲线 0 0 f x y z 其切向量之一是 00000000 0 0 0 1 0 ffff xyyx xyxyxyxy 练习题 15 1 练习题 15 1 181 P 2 4 5 8 9 10 11 281 15 2 曲面的参数方程 15 2 曲面的参数方程 命题 1命题 1 若 S u vx u vy u v z u v 是从区域 2 D 到点集 3 上的同胚映射 则 S D 是 3 中的曲面 该曲面有时也记成 参数曲面 S u vx u vy u v z u vu vD 证 证 显然 连通 00 S u v 取 00 B u vD 则 00 S B u v 与 00 B u v 同胚 只要能找到 3 中包含 00 S u v的区域V 使得V 00 S B u v 即可 00 u vB u v 3 BS u v 使得 1 00 SBS u vB u v 当然 与 u v有关 于是 00 u vBuv VBS u v 是 3 中包含 00 S u v的区域 并且V 0000 00 u vBu vu vBu v B S u vS B u vS u v V 参数曲面的正侧 参数曲面的正侧 对于参数曲面 S u vx u vy u v z u v u v D 设 是D中按逆时针方向描出的简单闭曲线 称使简单闭曲线 S 按逆时针方向描出的那一侧为该参数曲面的正侧 例 1例 1 曲面 zf x yx yD 可视为参数曲面 S u vu v f u v u vD 前者的上侧恰为后者的正侧 命题2命题2 若 S u vx u vy u v z u v u vD 是光滑参数曲面 即S不仅是从D到 3 的 1 C映射 而且 SS uv 在D上处处都是非零向 量 00 u vD 则 0000 S u S v u vu v 是该参数曲面的正侧在 00000 S u vxy z 处的一个法向量 切平面方程为 000 000000 000000 det 0 y xz uuu y xz vvv xxyyzz u vu vu v u vu vu v 282 证 证 曲线 1000 ux u vy u vz u v 位于参数曲面上 00 S u u v 是 1 在 000 x yz处的一个切向量 2000 vx u vy u v z u v 也位于参 数曲面上 00 S v u v 是 2 在 000 xyz处的一个切向量 故曲面正侧在 点 000 x y z处的法向量之一便是 0000 SS uv u vu v 例 2 例 2 若 zf x y 是区域 2 D 上的 1 C函数 则 S u vu v f u v u vD 是光滑参数曲面 其正侧的法向量恰为 1 ff uv u vu v 证 证 123 1 0 0 1 det 1 f u f v ff SS uvuv eee u vu vu v u v uvu v 命题 3命题 3 设 S u vx u vy u v z u v u vD 是光滑参数曲面 记 2 2 SSSS uvuv EGF 称为该参数曲面的第一基本量 则 2 0 SS uv EGF 从而 2 SS uv EG F n 是该参数曲面正侧的单位 法向量 证 证 222 2 sin SSSS uvuv 22 2 1cos SS uv 2 EGF 柱坐标 柱坐标 对于点 3 x y zz 轴 存在唯一的 0rz 0 2 使得 cos sin x y zrrz 称 rz 为点 x y z的柱坐标 283 球坐标 球坐标 对于点 3 x y zz 轴 存在唯一的 0 0 0 2 r 使得 sin cos sin sin cos x y zrrr 称 r 为点 x y z的球坐标 例 3例 3 在柱坐标下 柱面 rr 的参数表示为 cos sin Szrrzz 例 4 例 4 在球坐标下 球面rR 的参数表示为 sin cos sin sin cos 0 0 2 SRRR 有向面积元素 有向面积元素 对于光滑参数曲面 S u vx u vy u vz u v u v D 称 SS uv u vu v dudv 为该参数曲面在 S u v处的面积 元素 称 SSSS uvuv u vu v dudvnu vu v dudv 为该参数曲面 的正侧在 S u v处的有向面积元素 命题4命题4 直角坐标下曲面 zf x y 的面积元素为 22 1 ff xy dxdy 柱坐标下柱面 rr 的面积元素为 22 rr d dz 球坐标下球面 rR 的面积元素为 2 sinRd d 直角坐标系下曲面 0F x y z 的 面积元素为 F z gradF dxdy 或 F x gradF dydz 或 F y gradF dzdx 证 证 1 zf x y 的参数表示为 S x yx y f x y 故 1 ff SS xyxy 22 1 ff xy SS xy dxdydxdy 2 rr 的参数表示为 cos sin Szrrz 故 284 123 detcossin sincos 0 0 0 1 SS z eee rrrr sincos cossin 0rrrr 22 SS z rr d dzd dz 3 rR 的参数表示为 sin cos sin sin cos SRRR 故 123 detcos cos cos sin sin sin sin sin cos 0 SS eee RRR RR 222 sincos sinsin sin cosR 2 sin SS d dRd d 4 设 0F x y z 的局部显式表示为 zf x y 则 ff FFFF xxzyyz 故 22 1 ff xy dxdy F z gradF dxdy 参数曲面上曲线的弧长元素参数曲面上曲线的弧长元素 设 S u vx u vy u v z u v u v D 是光滑参数曲面