在数学分析中作辅助函数解题.pdf

2 O O 6年 8月 第 5卷第 3期 重庆 文理学 院学报 自然科学版 J o u rna l o f C h o n g q i n g u I I i v e 耐t y o f A r t s a S c i e n c e s N a t u r e S c i e n c e s E d i t i o n Au g 2 O O 6 V0 1 5 No 3 在数学分析中作辅助函数解题 江婧 田芯安 1 重庆文理学院数学与计算机科学系 重庆永川4 0 2 1 6 8 2 重庆文理学院现代教育技术中心 重庆永川4 0 2 1 6 8 摘要 以实例论述了辅助函数在数学分析 中的应用 以及构作辅助函数的 7种方法 关键词 辅助函数 构造 中值定理 函数性质 中图分类号 o 1 7 2 1 文献标识码 A 文章编 1 6 7 1 7 5 3 8 2 0 0 6 0 3 0 0 1 7 0 5 奴 字 分 是 商 寺 阮 枚 甄 字 专 业 明 王 十 课 Z 一 征 甄 字 分 研 甲 尢 是 埋 论 让 明 硷 是 运 用 通 辽 嗣 建辅助函数 往往能使问题得到简化 下 面通过一些典型的题例说明辅助函数在数学分析 中的广泛 应用 并从如何构建辅助函数等方面进行一些探讨 1 辅助函数在数学分析中的应用 1 1 辅助函数在证明等式中的应用 证明等式是数学分析的重要内容之一 根据等式特征引入辅助函数 将大大简化证明过程 例 迁 明 J 2 字 J 1 譬 c 口 0 分析 观看等式左右两边 发现等式左右两边 函数 的自变量 和 同形 于是令 t 从而使 左 边 化 简 为 积 分 r t t 孚 再 比 较 这 个 积 分 的 上 限 口 与 右 端 积 分 的 上 限 口 是 两 者 惟 一 的 区 别 因此这又提示我们分此积分为两段 得 丢 f c t t 了d t 丢 f t t 字 寻 f c t t 字 再 由 这 个 积 分 与 原 证 明 等 式 比 较 只 需 证 明 丢 t 了O 2 了d t x j t T0 2 字 再 令 t 2 则 得 J t 了 2 孚 J u 等 孚 证 明 令 2 t 则 f 2 孚 字 1 f t 字 l f 12 t 等 字 丢 f t 譬 譬 丢 t 譬 字 又 令 t 即 u 芋 丢 f t 譬 字 丢 f u 等 警 丢 f t 了tl2 孚 f 2 tl 2 字 1 t 譬 丢 譬 譬 寻 譬 莩 譬 譬 收稿日期 2 0 0 6 0 6 1 2 作者简介 江婧 1 9 7 9一 女 重庆大足人 助教 主要从事基础数学研究 1 7 维普资讯 1 2 辅助函数在证明不等式中的作用 证明不等式是数学分析的重要内容之一 根据不等式引入辅助函数 再利用函数性质证明不等 式 例2 设函数 在 0 1 上连续且单调减少 证明 对任意 口 0 1 均有 ra l l I f x tl x 口 l x d x J 0 J 0 分析 仔细观察所要证明的不等式 发现不等号主要是 由于定积分的上 限变化所致 故可以利用 变上限积分构造辅助函数 再利用导数确定该辅助函数 的单调性的方法加以证明 1 I 证明 令F t 1 I x d x 0 t 1 则 t 州一 胁 0 因为 在 0 1 上单调减少 所 以当0 t 时 t 当0 t 1 时 F t F 1 即 丢 亦即I x d x 口 I f x d x 1 3 利 用辅助 函数 求极 限 例 3求 1 南 分析 此题求数列的极限 如果直接用数列极 限的有关方法来求比较麻烦 但如果 我们利用辅助 函数并根据定积分的定义就可以较容易地解决问题 骞 1 iI 1 又 T 在 0 1 上连续 从而可积 于是有 南 砉 之 n 1 4 利 用辅 助 函数 讨 论方程 的根 解方程 0 实质上就是求 函数 f 的零点 关于函数零点的问题一般是利用连续函数的 性质及微分中值定理来解决 例 4 已知 在 0 1 上非负连续 且 0 f 1 0 求证对任意实数 口 0 口 1 必存 在 0 1 使得 a 0 1 且 o a 筑析 此 题要 证 X O f x o 口 即可 证 粕 一 f x 口 0 由 此 想到 可构 造一 个辅 助函 数 F 使得 F 在点 处取得的函数值为 0 进而得证 证明 作辅助函 数F 一 口 则有F 0 一 口 0 从而有F 1 一口 1 一 a 0 而 F 在 0 1一a 连续 由连续函数介值定理 存在 0 1一口 使得 F 0 即 o o a 1 5 利用辅助函数计算积分及求导函数值 有时确定被积 函数的原函数是十分困难的 若能引入适 当的辅助函数 困难就解决 了 例 5计算 分析 此题如果直接求解比较难 但如果根据定积分的特点 在定积分的被积函数里引入变量 从 而构造 出辅助 函数 再利用积分的相关知识来解决此题 就比较简单 1 8 维普资讯 解 作 辅 助 函 数 t 广 则 1 o o J 0 工 R f t 和 厂 t 在 o 1 o t 1 上连续 t 满足 积分 号下 求导 数 冬件 1 一 l n 1 t ll n 2 百 7 r t 伽 t 南 ln 1 川 l ln 2 1n 2 1 又 t d t 1 一 0 1 1 1 n 2 1 例6 已 知 I c 0 s t 求厂 0 J 0 分 析 因 C O S t 故 被 积 函 数 c 0 s 在 点 o 不 连 续 故 这 导 致 不 能 直 接 用 对 积 分 限 求导的公式来求 厂 0 用分部积分公式来变换被积 函数 使新的被积函数在点 0 连续是解决问题 的一个途径 解 当 0时 一 d s t n 了1 s in 扣 n 2 n 令 f 2 stn 2 f 2 2 s n L 0 O L O 0 2 在 一 上连续 且 厂 0 0 对一切 有 I 2 t d t J 0 厂 o 厂 o t I 0 2 o o 1 6 利用辅助函数求函数表达式 例7 已知函数 在 一 内满足关系式 厂 且 0 1 求 分析 此题由 0 1 很容易想到有可能 e 故构作辅助函数 F 再根据条 件证明 F 1即可 解 作 辅 助 函 数 高 贝 IJ 为 厂 所 以 F o 即 F c 令 o 得 F o 1 c 所 1 从而有 e 1 7 利用辅助函数近似计算 在近似计算问题中 可以利用辅助函数 借助微分知识来解决此类 问题 例8 求e 册的近似值 分析 要求 e 的值 显然该问题即是求指数函数 e 在 取o 9 9 7 的函数值 故可以构造 辅助函数 再利用近似计算公式 厂 A x 就可以求e 嘶 的值 解 作辅助函数 e 设 0 且 0 1 一O 0 0 3 厂 e 即厂 1 e e 0 9 9 7 f f x 0 0 厂 0 A x e e 一0 0 0 3 2 7 1 7 5 1 9 维普资讯 2 如何构作辅助函数 通过上面一些命题 的证明 我们可以看 出解决这些问题 的关键是如何构造出一个恰当的辅助 函 数 构作一个恰当的辅助函数并非易事 下面通过几个实例夹分析辅助函数的构造法 2 1 由果索因法 由果索因法要求认真分析问题的条件和结论 由结论倒推出所需要的条件 从而找出构造的辅助 函数必须满足的条件及应具备的性质 进而构造出所需要的辅助函数 如本文的例 1 例3 例4 例6 2 2 几何推导法 几何推导法是利用问题的几何意义 再加上解析几何的有关知识 如直线方程等 来构造辅助函 数的一种方法 2 3 原 函数 法 原函数法的基本思想是 在所证明的等式中 先将这个等式变形并 且把它看成 e 0 如果 e 0成立 则可试作辅助函数 F 其中 F 表示 的一个不含积分常数的原 函数 例 9 设 在 口 6 上连续 在 口 6 内可导 0 口0 F 2 一2 e 0 所以有 F 1 F 2 0 则存 在 e 1 2 使得 F e 0 即原式得证 2 6参数变易法 2 0 维普资讯 参数变易法是指把要证 明的结论 中的某个参数 变易 为变量 从而构造出相应的辅助函数 如本 文的例 2 例 5 2 7 待 定系数法 此方法是建立在前面几种方法的基础上 是较复杂的方法 构造辅助函数时 对所构造的辅助函 数引入待定系数后 再根据题中所要证 明的结论 人为 地构造条件 解出辅助函数 中的待定 系数 从 而确定 出要求的辅助函数 例 1 2 设 尸 在 口 b 上存在 且 口 c b 则 口 b 使得 铂 1 一 二 十 二 L 证明 令 1 式的左边为 k 即可证 2 i 尸 令F I 2 k 一 尸 d x d x I 2 k x 一 厂 a d x k x 一 a J9 其中 a J9 为待定常数 m 脯 二 二 解得 a i c 一 b 2 6 一 c 3 由 2 式和 3 式解出 k为 1 式的左边 由此可见只要选取 a满足 2 式或 3 式 而 19 任意 则 有 F 在 口 c c b 上满足 R o l l e 定理 故 口 c 使得 F 0 c b 使得 F 0 而 F 在 上满足 R o l l e 定理 则 c a b 使得 0 以上几种构作辅助函数的方法是较普遍的几种方法 在解有关题 目时 可以灵 活地选择方法构作 辅助函数 参考文献 1 欧阳光 中 姚 允龙 周渊 数 学分析 M 上 海 复旦 大学 出版社 2 0 0 3 On t h e A u x i l i a r y F u n c ti o n o f Y g l i n g Qu e s ti o n i n Ma t h e ma ti c a l A n a l y s i s J NG J i n g T N Xi n a i O o p t o f Ma t h ma ti c s C o mp u t e r S c ie n c e C h o n g q in g U n i v e r s i o f Ar t s a n dS c ie n c e s Y o n g c h u a n C h o n g q l n g 4 0 2 1 6 8 力 a 2 Mo d e m E d u c a ti o n T e c h n o lo g y C e n t r e C h o n g q i n g U n i v e r s i ty o f Ar t s a n d S n c e s Y o n g c h u a n C h o n g q in g 4 0 2 1 6 8 C h a Ab s t r a c t I 1 1 i s p a p e r ma i n l y s t u d i e s t h e a p p l i c a t i o n s o f a u x i l i a r y f u n c t i o n t o e i g h t ma t h e ma t i c a l p r o b l e ms