中科大史济怀数学分析课件 125.pdf

224 12 5 Fourier 积分和 Fourier 变换 12 5 Fourier 积分和 Fourier 变换 背景背景 若 f x是 l l 上绝对可积的可导函数 则 xl l 有 0 1 cossin 2 nn n ann f xaxbx ll 1 11 cos cos 2 ll ll n nn f t dtf ttdtx llll 1 sin sin l l nn f ttdtx lll 1 11 cos 2 ll ll n n f t dtf ttx dt lll 考虑l 的情形 设 f x是 上绝对可积的可导函数 则 0l xl l 记 n n u l 便有 1 1 11 cos 2 ll nnn ll n f xf t dtf tu tx dt uu l 0 1 cos f tu tx dt dul 未严格证明 或x 有 0 11 cos cos sin sin f xf tutdtuxf tutdtux du Fourier 积分 Fourier 积分 设 f x是 上的绝对可积函数 令 1 cosa uf tutdt 1 sinb uf tutdt 则称 0 cos sin a uuxb uux du 为函数 f x的 Fourier 积分 记 为 0 cos sin f xa uuxb uux du 定理 12 16定理 12 16 若 f x是 上的绝对可积函数 则函数 1 cosa uf tutdt 和 1 sinb uf tutdt 都在 上一致连续 证 证 由含参变量积分的性质 第 20 章 225 定理 12 17 Dirichlet 积分 定理 12 17 Dirichlet 积分 设 f x在 上绝对可积 1 cosa uf tutdt 1 sinb uf tutdt 则 0 cos sin Sxa uuxb uux du 0 1sin 0 t f xtf xtdt t 证 证 cos sina uuxb uux 1 cos f tu tx dt 故 0 cos sin Sxa uuxb uux du 0 1 cos f tu tx du dt 含参变量积分的性质 1 sin f t tx dt tx 1 sin f xs sdsstx s 0 1sin 0 s f xsf xsds s 定理 12 18 局部化定理 定理 12 18 局部化定理 若 f x是 上的绝对可积函数 则它的 Fourier 积分在 0 x 处的收敛性质由 f x在 0 x附近的性质所唯一确 定 证 证 设0 是固定的常数 0 可取0M 足够大使得 00 1sin 2 M t f xtf xtdt t 再取 0 0 使得 0 成立 00 1sin 2 M t f xtf xtdt t 定理 12 1 于是 000 0 1sin t Sxf xtf xtdt t 00 1sin t f xtf xtdt t 定理12 19 Dini判别法 定理12 19 Dini判别法 设 f x是 上的绝对可积函数 0 0 x 226 若存在常数S使得 00 2 f xtf xtS g t t 在 0 上绝对可积 则 f x的 Fourier 积分在 0 x处收敛到S 证 证 0 SxS 00 0 1sin 2 t f xtf xtSdt t 00 0 1 2 sin f xtf xtS tdt t 00 1sin t f xtf xtdt t 2sinSt dt t 0 推论 12 1推论 12 1 9 若 f x是 上绝对可积的可导或 阶 Lipschitz 函数 01 则 f x的 Fourier 积分处处收敛到自己 推论 12 1推论 12 19 设 f x是 上的绝对可积函数 0 x 那么有如下三 个结论 1 若 f x在 0 x处可导 则 f x的 Fourier 积分在 0 x处收敛到 0 f x 2 若 f x在 0 x处左 右可导 则 f x的 Fourier 积分在 0 x处收敛到 0 f x 3 若 f x在 0 x处具有左 右极限 0 0 f x 和 0 0 f x 并且广义左 右导数 00 0 0 lim t f xtf x t 和 00 0 0 lim t f xtf x t 存在 则 f x 的 Fourier 积分在 0 x处收敛到 00 1 0 0 2 f xf x 推论 12 1推论 12 19 若 f x是 上绝对可积的分段可导函数 则 f x的 Fourier 积分处处收敛到 1 0 0 2 f xf x 注记 1注记 1 类似地 也能定义无穷积分在 Ces ro 意义下的收敛性 于是 与 Fourier 级数完全一样 Fourier 积分的 Fej r 判别法 Fej r 定理 和唯一性定理等都成立 227 定义 12 7定义 12 7 设函数 f x在 上绝对可积 称复值函数 1 2 iut f uf t edt 为 f x的 Fourier 变换 它与 f x的 Fourier 积分中的 a u和 b u有 如下关系 2 f ua uib u 定理12 20定理12 20 设函数 f x和 fx 都在 上绝对可积 并且lim 0 x f x 则 fuiu f u 证 证 11 22 iutiut fuft edtedf t 1 22 iutiut iu ef tf t edtiu f u 命题 反变换公式 命题 反变换公式 若 f x是 上绝对可积的可导函数 其 Fourier 变换为 f u 则 1 2 iux f xf u e du 证 证 由定理 12 19 并注意到 f x的 Fourier 积分中的 a u是偶函 数 b u是奇函数 便得到 0 cos sin f xa uuxb uux du 1 cos sin 2 a uuxb uux du 1 cos sin 2 a uuxb uux du 1 cos sin 2 ib uuxa uux du 1 2 iux a uib u e du 228 1 2 iux f u e du 注记 2注记 2 常见函数的 Fourier 变换及其反变换有手册可查 定义 12 8定义 12 8 若 f x和 g x都是 上的平方可积函数 则可定义它们的 卷积为 1 2 fgxf xs g s dsx 定理 12 21定理 12 21 fg uf u g u 证 证 1 2 iut fg uf ts g s ds edt 1 2 iut g sf ts edt ds 含参变量积分的性质 1 2 iu s v g sf v edv ds 2 ius f u g s edsf u g u 例例 求n阶非齐次线性常微分方程 1 1 nn n fxc fxc f xg x 的解 其中 yf x 是未知函数 g x是已知函数 12 n c cc 是常数 解