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精品课程 数学分析 课外训练方案 第十三章 函数列与函数项级数 第十三章 函数列与函数项级数 一 基本概念一 基本概念 1 函数序列的一致收敛性概念 设函数列 与函数定义在同一个数集上 若对任意的正数 n ffD 综存在一个正整 数 使得当时 对一切NNn Dx 都有 xfxfn 则称函数列 在上一致收敛于 记做 n fDf xfxfn n Dx 2 函数级数的一致收敛性概念 设 是定义在数集 xunE上的一个函数列 记 若 n k nn xuxS 1 对 xSxSDxNnN n 都有当 则称函数项级数 在 1 k n xuxS E一致收敛 3 一致收敛判别法 定理定理 1 柯西一致收敛准则 0 21 1 xaxaxa xpNnNxa pnnn n n 当一致收敛 定理定理 2 狄利克雷判别法 的部分和一致有界 单调趋于 0 则 1 xa n n xSn xvn 1 xvxa n n n 一致收敛 4 一致收敛函数列于函数项级数的性质 定理定理 3 设函数列 在上一致收敛于 且对每个n 则和均存在且相等 n f 00 bxxa xf nn xx axf lim 0 n n a lim lim 0 xf xx 定理定理 4 连续性 若函数列 在区间 n fI上一致收敛 且每一项都连续 则其极限函数 在fI上也连续 定理定理 5 可积性 若函数列 在区间上一致收敛 且每一项都连续 则 n f ba 1 精品课程 数学分析 课外训练方案 dxxfdxxf b a n n n b a n lim lim 定理定理 6 可微性 设 为定义在区间上的函数列 若 n f ba 0 bax 为的收 敛点 的每一项在又连续的导函数 且 n f n f ba nf 在上一致收敛 则 ba lim lim xf dx d xf dx d n n n n 二 基本方法二 基本方法 1 用柯西熟练准则 M 判别法 阿贝尔和狄利克雷判别法判断函数列和函数项级 的一致收敛性 2 用可积性 可微性等定理计算某些函数项级数的和 3 用逐项求积 逐项求导定理计算某些函数项级数 三 基本要求三 基本要求 1 掌握函数列和函数项级数的一致收敛概念 2 用柯西熟练准则 M 判别法 阿贝尔和狄利克雷判别法判断函数列和函数项级数的 一致收敛性 3 用可积性 可微性等定理计算某些函数项级数的和 4 用逐项求积 逐项求导定理计算某些函数项级数 四 典型例题四 典型例题 例例 1 函数列 1ln 2 1 22x n n xfn 2 1L n与 22 1 xn nx xfn 在 上都收敛于 0 由于 2 1L n 1 0 2 1 maxlim 1 0 xfxfn xn 所以导函数列在不一 致收敛 但有 xfn 1 0 lim0 limxfxf n n n n 例例 2 函数项级数 1 1 n nn n nx 在上一致收敛 因为记 1 0 n xu n n 1 n n n x xv 1 时 有阿贝尔判别法就能得到结果 例例 3 1 1 n x n x nn 1 1 上一致收敛 证略 例例 4 1 n x n 在上收敛 2 ba 2 x41 x 在 R 上一致收敛 证 略 2 精品课程 数学分析 课外训练方案 五 自测题五 自测题 1 设 n fx 1 2 n 在 上有界 并且 a b n fx在 上一致收敛 求证 a b n fx 在 上一致有界 a b 2 设定义于 令 f x a b n nf x fx n 1 2 n 求证 n fx在 上一致收敛于 a b f x 3 设在内有连续的导数 f x a b fx 且 1 n fxn f xf x n 求证 在闭区间 ab 可在积分号下取极限 6 证明序列 2 nx n fxnxe 1 2 n 在闭区间 0上收敛 但 1 11 00 lim lim nn nn fx dxfx dx 7 设 n fx 1 2 n 在一致连续 且 n fx在 一致收敛于 求证 在上一致连续 f x f x 8 设 n fx是 上的连续函数列 且 a b n fx在 一致收敛于 a b f x 又 n xa b 1 2 n 满足 0 lim n n xx 求证 0 lim nn n fxf x 9 设 n fx在内 一 致 收 敛 于 a b f x 0 xa b 且 0 lim nn xx fxa 证明 和 1 2 n lim n n a 0 lim xx f x 存在且相等 即 00 lim lim lim lim nn nxxxx n fxf x 10 设 n fx 1 2 n 在 黎曼可积 且 a b n fx在 一致收敛于 a b f x 证明 在 黎曼可积 f x a b 11 求出下列函数项级数的收敛区域 绝对的和条件的 3 精品课程 数学分析 课外训练方案 2 1 1 n n n x x 1 1 21 n n nx nx 1 1 1 21 1 n n n x nx 22 1 11 1 n n a xn 12 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性 0 1 0 1 n n x xx 12 2 1 1 1 n n n x x x 13 讨论下列函数项级数的一致收敛性 344 1 sin n nx x nx 42 1 1 n x x n x 22 1 1 1 0 nnx n e x nx 1 sin 2 2n n nx x x 14 讨论下列函数项级数的一致收敛性 22 1 2 cos 3 n n x nx 1 sin sin 0 2 n xnx x nx 1 1 1 n n x xn 1 1 sin n n x nx 15 证明级数 1 2 1 1 1 n n nx 关于在x 上为一致收敛 但对任何并非绝 对收敛 而级数 x 2 2 1 1 n n x x 虽在 x 上绝对收敛 但并不一致收敛 4 精品课程 数学分析 课外训练方案 16 设每一项 n x 都是 上的单调函数 如果 a b n x 在 的端点为绝对收 敛 那么这级数在 上一致收敛 a b a b 17 若的一般项 1 n n ux nn uxcxxX 并且在 1 n