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精品课程 数学分析 课外训练方案 第十九章第十九章 含参变量积分含参变量积分 一 基本概念 一 基本概念 这一章所要讲的积分 它的被积函数除了依赖积分变量外 还依赖于其它的变量 这些 变量在积分的过程中是保持不变的 例 2 0 ln 1 2 cos Jrr d 0 sin at t Ied t t 这里变量r或 与 是非积分变量 显然 对于此类积分 积分出来的值要与这些变量有 关 因为它们又不是积分变量 所以人们特别称这些变量为参变量 含参变量积分分为两类 一类是含参变量的正常积分 也就是 所考虑的积分的积分区 间是有限的 并且函数在都是有界可积的 另一类是含参变量的广义积 分 也就是 或者积分区间不是有限的 或者即使积分区间是有限的 但被积函数 在积分区间上是无界的 ba yxf ba yxf 定理定理 1 设函数是矩形区域 yxf a b c dx yaxb cyd 的连续函数 则由含参变量积分确定的函数 b a yf x y dxC c d 且 dbbd d c caac y dydyf x y dxdxf x y dy 1 精品课程 数学分析 课外训练方案 定理定理 2 设函数在矩形域有定义 且关于的偏导数 yxf dcba yxfy y f 在 上连续 则 dcba y 在上可微 并且 dc b a dx y yxf y 定理定理 3 设函数以及都在矩形域连续 而函数与 以及它们的导数都在上连续 并且当 yxf yxfy dcba ya yb dcdyc 时 byaa 则函数在区间上可微 并且 byba ya dyyxfy yb yb dc yayyafybyybfdyyxfy ya y 二 基本方法和基本要求二 基本方法和基本要求 1 会用定理 1 和定理 2 计算参变量积分 2 会用定理 3 计算非正常参变量积分并会计算某些积分的导数 三 典型例题三 典型例题 例例 1 计算dx x xx J ab 1 0 ln ba0 解解 设 x xx xg ab ln 知 于是 b a ydy xxg baJdxdyx b a y 1 0 因为 在矩形域上连续 由定理 1 1 有 y xyxf 1 0 ba baJ 1 1 ln 1 0 a b dxdyx b a y 例例 2 计算 1 0 222 2 0 cos1 2 xya dy dxaJ 其中1 2 2 0 ln 1 2 cos 1 axa dxa 3 2222 2 0 ln sincos 0 axbx dxa b 4 2 0 arctan tan 1 tan ax dxa x 3 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性 3 精品课程 数学分析 课外训练方案 1 2 0 0 x edx 0 xb 3 i 2 x ed xba ii 4 22 1 0 sin 0 xy exdyx 0 a 4 5 2 0 axbx c edx 2 2 2 a x x edx 0 a 6 利用欧拉积分计算下列积分 1 1 10 4 1 dx x 2 1 2 0 xx dx 3 1 3 0 1 xx dx 4 222 0 a xax dx 0 a 5 64 2 0 sincos