工科数学分析练习题.pdf

1 一 填空题 1 23 uf x y zxyyz 在点 2 1 1 M 处的梯度为 2 设 222 Axyz iyxz jzxy k 则divA 3 设 2 2uxyz 在点 1 1 1 处方向导数的最大值是 4 L是抛物线 2 yx 从点 1 1 A 到 1 1 B的一段弧 则d L xy x 5 1 1 1 3 n n n n x n 的收敛域为 6 已知 0 1 2ln n n n xax 02 x 则 n a 7 已知 2 dd xayxy y xy 是某函数的全微分 则常数a 8 设函数 2 01f xxx 而 1 sin n n S xbn xx 其中 1 0 2 sin 1 2 n bf xn xdxn 则 1 2 S 等于 9 设曲面 为9 22 yx介于0 z及3 z间的部分的外侧 则 22 1 dSxy 10 设 uf为可微函数 且 0 0 f则 22 3 222 0 1 lim d t xyt fxy t 11 设 L 为取正向的圆周 22 4xy 则曲线积分 1 d 2 d xx L y yexyexy 12 设 是曲面 22 yxz 介于1 0 zz之间的部分 则曲面积分 22 dIxyS 13 曲线 04532 03 222 zyx xzyx 在点 1 1 1 处的切线方程是 14 球面 222 yxaz 在柱面 22 xyax 内部的部分的表面积A 15 函数 2 ln 2uxyzyz 在点 1 3 1 处沿方向 1 1 1 l方向的方向导数 l u 二 选择题 1 考虑二元函数 f x y在点 00 xy 处的下面四条性质 连续 可微 00 x fxy与 00 y fxy存在 00 x fxy与 00 y fxy连续 若用 PQ 表示可由性质 P 推出性质 Q 则有 A B C D 2 2 下列级数中 收敛的是 A 1 2 2 2 n n n B 1 2 n n n n n C 2 2 sin 1 n n D 1 2 1 n nn n 3 当0k 时 级数 2 1 1 n nk n n 是 A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 敛散性与k的值有关 4 设常数0k 且 2 1 n n a 收敛 则级数 2 1 1 n n n a nk A 发散 B 绝对收敛 C 条件收敛 D 敛散性与k有关 5 设 1 1 n n na 条件收敛 则 A 1n n a收敛 B 1n n a发散 C 1 1 n nn aa收敛 D 1 2 n n a和 1 12 n n a都收敛 6 设级数 1n n u收敛 则必定收敛的级数为 A 1 1 n n n n u B 1 2 n n u C 1 212 n nn uu D 1 1 n nn uu 7 若 1 1 n n n xa在2 x处收敛 则此级数在1 x处 A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 收敛性不确定 8 设幂级数 1n n nx a的收敛半径为 3 则幂级数 1 1 1 n n n xna的必定收敛的区间为 A 2 4 B 2 4 C 3 3 D 4 2 9 设函数 2 22 24 22 0 0 0 xy xy xyf x y xy 则在点 0 0 处 A 连续且偏导数存在 B 连续但偏导数不存在 C 不连续但偏导数存在 D 不连续且偏导数不存在 10 已知曲面 22 4yxz 在点 P 处的切平面平行于平面0122 zyx 则点 P 的坐标是 A 1 1 2 B 1 1 2 C 1 1 2 D 1 1 2 3 三 计算题 1 求曲线 222 22 6 xyz zxy 上点 1 1 2 M处的切线方程和法平面方程 2 求函数 4 2 yxyxyxf 在由直线0 0 6 xyyx所围成的闭区域D上的最值 3 求圆柱面yyx2 22 被锥面 22 yxz 和平面0 z割下部分的面积S 4 求抛物面 22 4zxy 的切平面 使得 与该抛物面间并介于柱面 22 1 1xy 内部的 部分的体积为最小 5 计算 2 223 d 1 d L xxyyxxyy 其中L是从 0 0 O沿曲线 2 xy 到 1 1 A的弧段 6 求 22 d L xys 其中L是曲线 cossinxattt sincosyattt 20 t 7 计算曲面积分 2 222 d d d d 0 ax y zzax y a xyz 其中 为下半球面 222 zaxy 的上侧 8 计算 3 222 2 d dd dd d x y zy z xz x y xyz 其中 是椭球面 222 222 1 xyz abc 取外侧 9 计算曲面积分 2 d dd dd dxz y zyz z xzx y 其中 是球面 2222 xyzR 3 2 RzR 部分的下侧 10 计算 333 11 d d d d d d yy Ixy zfyz xfyx y zzyz 其中 uf具有连续导数 是球面 2222 Rzyx 的外侧 11 计算二次积分 42 2 1 ln dd 1 y x yx x 12 求 22 dxyV 其中 是由曲面 254 222 yxz 及平面5 z所围成的闭区域 13 计算 222 d d d L yxz Ixzxyxyzyz 其中L为球面 222 4xyz 在第一象 限的边界曲线 从z轴正向看去为逆时针方向 14 计算 22 dd d L Ix xy yxyz 其中L为抛物面 22 1zxy 在第一象限的边界曲 线 从 z 轴正向看去为逆时针方向 15 计算 3 2 ddd 3 L x Ix y xyxy z 其中曲线L 22 22 1xy zyx 从z轴正向看去为逆时针方向 4 16 计算 d d d L Iyzxzxyxyz 其中L为球面 2222 xyzR 与平面 tan 0 2 yx 的交线 从x轴正向看去为逆时针方向 2 2 cossin IR 17 求幂级数 1 1 n n x n n 的收敛区间及和函数 18 求幂级数 1 1 2 n n n n x n 的收敛区间及和函数 19 将函数 2 1 2 f x xx 展开成 1x 的幂级数 20 将 0 arctan d x x f xx x 展开为x的幂级数 四 证明题 1 证明 若lim0 n n naa 则级数 1 n n a 发散 2 若lim n n naa 且级数 1 1 nn n n aa 收敛 其和为 证明级数 1 n n a 收敛 并求和 3 设正项数列 n a单调下降 且 1 1 n n na 发散 证明 级数 1 1 1 n n n a a 收敛 4 设正项数列 n