基于多想少算的数学解题策略.pdf

2 0 1 0年 第 4期 中学数 学研 究 1 9 基 于多想少算的数 学解题 策略 四川省内江师范学院数学与信息科学学院 6 4 1 1 1 2 赵思林 数学离不开解题 解题离不开运算 而运算工 具的选择与使用 运算方法 的合理与简捷 运算程 序的设计与优化 运算结果 的准确与检验等 都离 不开思维 什么是思维呢 简单 的讲 思维就是想 问 题 在当今计算机 器 普遍使用的条件下 人们应 从大量繁琐 复杂 的数学运算 中解放 出来 将节约 的时间用于思考更多更有价值 的问题 从 而 高考 数学命题将 多考点想 少考点算 作为一条基本的 命题理念 基于此 多想少算 应作为数学教学 的 原则 也应是数学解题的基本策略 1 利 用定 义 中国科学院李邦河院士希望 喜欢数学的人千 万要重视基本概念 不仅要记住 还要通过具体的 例子来深入地理解 李院士还认 为 数学根本上 是玩概念的 不是玩技巧 利用 概念的定义解 题 可以深化理解概念 缩短解题过程 优化思维品 质 开发学习潜能 椤 0 1 方程 2 一1 2 Y一1 I Y 2 I 表示的曲线是 A 椭 圆 B 双 曲线 C 抛物线 D 圆 分析 所给方程可化 为 一1 Y一1 兰 此方程表示动点P x y 到定点 0 1 1 F 1 1 与定直线 Y 2 0的距离相等 由抛物 线的定义知 正确选项为 C 2 活用公式 灵活运用公式是简化运算的重要策略 灵活运 用公式包括公式 的顺用 逆用 变用 以及多个公式 的联用等 例2 求值 l g 3 s 3一 分析 逆用公式0 n 口 0 和对数的运算 法则 即可简洁获解 1 g 3 3一 s 1 2 g J 3 3 一 1 2 1 g 3 2 3 亏 3一 5 3一 5 1 2 3 利用平面几何知识 例 3 2 0 0 9 年全国卷 理 已知 A C B D为圆 0 y 4的两条相互垂直的弦 垂足为 1 则 四边形 A B C D的面积的最大值为 分析 设 A C B D的中点分别为 E F 显然 四边 形 O E MF为矩形 从而 O E O F O M 3 因此 A C B D 4 4一O E 4一O F 2 0 四 边形 A B C D的面积的最大值为 S 1 2 A C B D 1 4 a c B D 5 4 利用 重要 结论 例 4 求函数 Y 的最小值 x 4 分析 Y 4 1 二 设 4 x 4 则 t i 2 又 Y t 1 t 在区间 2 上是增 函数 所以当 t 2 即 0时 y有最小值 5 2 本 题利用了结论 函数y t k t t 0 0 在 0 以 上单调递减 在 上单调递增 5构造方程 组 3 r 例5 计算 1 2 3 3 而 3 r 分柢 令 x 1 2 3 1 3 3 r 一 1 2 7 3 3 设法建立关于 的方程 2 3 了 3 r 3 r 1 2 3 1 3 1 2 3 3 2 3 一 1 2 7 于是得一个三次方程 一2 0 即 一1 2 0 该方程有唯一的实根 1 所 以原式 1 6 利用函数性质 例 6 2 0 0 9年辽宁卷理 若 满足 2 2 5 2 满 足 2 2 l o g 2 一1 5 贝 0 l 2 A 5 2 B 3 C 7 2 D 4 分析 令 一1 t 则所给两方程可变为 t 2 3 2 l o g t 2 3 2 设这两个方程的根分别 为 t t 2 令 厂 t t 2 则 t 1 l o g 2 t 2 3 2 2 0 中学数学研究 2 0 1 0年第 4期 又 厂 t 在 一 上 单调递 增 所 以 t l o g 2 t 2 因此 t l t 2 t l 2 3 2 所以 1 2 t 1 1 t 2 1 7 2 故选 c 7 利用重要不等式 1 9 例7 2 0 0 6 年 全国 卷II 理 函 数 I n l的最 J 值为 A 1 9 0 B 1 71 C 9 0 D 4 5 分析 利用不等式 l n l I l 0 2 l 1 0 I l 口 l 口 2 r 上 1 l 一1 l l 一2 I l 一3 I l 一1 9 l l 一1 一2 一9 1 1一 1 9一 I I l 0 I 9 0 I 一 1 0 I 所以当且仅当 1 0时 取得最小值 9 O 故选 D 8 构造立体图形 例8 在四面体A B C D中 三组对棱棱长分别 相等 且依次为 4 1 5 则此 四面体 A B C D的 外接球的表面积是 A 2 0 0 r B 1 00 7 r C 5 0 7 r D 2 5 r 分析 此题采用常规做法很难完成 现以三组 对棱为长方体的面对角线构造长方体 则长方体的 外接球就是四面体A B C D的外接球 这样问题便可 简洁获解 设长方体从 同一顶点引的三条棱 的长分 别为 0 b c 则有 0 b 3 4 b c 4 1 c 口 2 5 从而外接球的直径2 0 b c 5 2 故选 C 9 观察法 例 9 求下列函数 Y 一 l一2 的值域 分析 经过观察可知 函数 Y 一 1 2 x在 其定义域 一 1 2 上是增函数 因此 当 1 2 时 Y取最大 值 1 2时 故 函数 的值域 是 一 1 2 1 O 配方法 侈 0 1 0 若 口 b c R 证明 0 b c 3 ab c 证明 n b c 0 一 6 c 一 e ffff 2 2 一o b c 一 一 2 一 3 a b c 3 a b c 当且仅当 a b 即0 b c 时取 1 1 换元法 例 1 1 求函数 Y 分析 注意到 Y 的 最 值 1 2 x 一 3 1 2 1 2 x 4 2 1 则可考虑用三角换元 令 t a n 一仃 2 O t 4 9 1 分析 将 4 9一般化 看成一个参数 或字母 并 记 4 9 n 则 命 题 变 为 n 事 实 上 2 河 故 2 5 4 9 1 1 4 利用对称性 例 1 4 2 0 0 6四川卷理 2 2 如图 把椭圆 1 的长 轴 A B分成 8等份 过每个分 点作 轴 的垂 线交椭 圆的上 半部分于P P P P 4 P P 6 P 七个点 F是椭圆 的一个焦点 则 l P l FI I P 2 FI I P 3 FI I P 4 FI l P5 F l l P6 F I l P7 F l 分析 设右焦点为 F 根据对称性 l P F l l 尸 l l 所以I P l F l I P 7 F I I P1 FI l P 1 F I 2 0 同理 I P 2 F I l P 6 F l 2 a l 尸 3 F I l P 5 F l 2 0 又 I P 4 FI 0 口 5 故所求的值为2 0 2 口 2 0 n 7n 3 5 2 0 1 0年第4期 中学数学研究 2 l 1 5 利用估算 例 l 5 设记号 表示两个实数 与 b的算 术平均数的运算 即 o o b 0 已知数列 满足 l 0 2 1 一 1 o 一 2 贝 0 l i mx A 0 B 1 2 C 2 3 D 1 分析 若由递推关系先求通项 再求极限 这样 做是 小题大做 若把数列 的前几项在数轴上表示 出来 再观察它的变化趋势 估算 即可看出答案 在 以0和 1 为端点的线段上 作它的中点 再作 与 1的中点 即可发现 当n 5时 PC 的极限在 内 故选 C 1 6 利用 极 限 例 1 6 2 0 0 2年全国卷 已知0 Y 口 1 则有 A 1 o g x y 0 B 0 l o g pc y 1 C 1 l o g x y 2 分析 当 Y 一 0 时 一 0 则 一 0 又 0 0 1 则 l o g y 一 故选 D 1 7 发掘隐含条件 例 1 7 在实数集上解方程 l 一 3 l 2一 4 一 7 分析 本题不管是考虑去绝对值讨论 还是平 方去根号 都很麻烦 如果注意到 2这一隐含条 件 则即可去掉绝对值 得 3一 2一 4 x一7 即有 2一 5 一2 0 从而有 2 故 2 1 8 合理的分类与分步 例 l 8 2 0 0 9四川卷理 3 位男生和 3 位女生共 6位同学站成一排 若男生 甲不站两端 3位女生 中 有 且 只有 两位 女 生相 邻 则 不 同排 法 的种 数 是 A 3 6 0 B 2 2 8 C 21 6 D 96 分析 本题考查 了分类与分步的思想 以及特 元法 特位法 捆绑法 插空法等多种求解排列应用 题的方法 难度很 大 科 学合理的分类与分步是解 题的关键 先排三名男生可分两种情况 当男生 甲 排在其他两男生中间时 有A 2 A 2 A 1 4 J 4 种排法 当 男生甲排其他两男生的两边时 有2 A 2 A 1 A 2 1 4 4 种排法 所以共有 1 4 4 1 4 4 2 8 8种不 同的排法 故选 B 1 9 从反面考虑问题 例 1 9 设下列三个方程 PC 4 a x一 4 a 3 0 0 1 一 4 口 0 2 a x一2 a 0 至少 有一个方程有实数根 求实数 口的取值范围 分析 设三个方程 的判别式分别为 先考虑问题的反面成立 则有 A 1 6 a 一 4 一4 n 3 0 0 1 4 a 0 A 4 a 8 a 0 解之得 一3 2 口 一1 故实数 n的取值范围为 口 一3 2 或 0 一1 2 O 回避分类讨论 例 2 0 2 0 0 8年江苏卷 设 函数 o 一 3 1 R 若对于任意 一1 1 都有 厂 0成立 则实数 n的值为 分析 本题若用导数法求 的最小值 需对口 进行繁琐的讨论 很麻烦 厂 口一 4 4 一 3 1 口一 4 1 2 x一1 2 对任意 一1 1 都有 1 2 x一1 0 当且仅当 一 1 或 1 2取等号 而 口一4 的值是可正 可负 由此可猜想 口 4 此外 为求 的值时 应使 1 2 x一1 的取值越简单越好 当然 1 2 x一1 的取值为 0时最好 因此 可取 一1 或 1 2 由 一 4一n 0 1 2 1 8 口一4 0 4 故 4 L 0 4 2 1 利用设而不求 例 2 1 从圆 一1 Y一1 1外一点 P 2 3 向该圆引切线 P A P B 切点为 A 求直线 A B的方程 分析 如 图 设 已知