艾滋病传播数学模型的建立与分析.pdf

1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 第23卷第2期 2007年4月 德 州 学 院 学 报 Journal of Dezhou University Vol 23 No 2 Apr 2007 艾滋病传播数学模型的建立与分析 孟庆江 马立新 德州学院数学系 山东德州 253023 摘 要 众所周知 艾滋病对中国社会带来了重要的影响 给出了艾滋病的数学模型 并讨论了其解的存在性 和稳定性 同时 给出了人口增长与人口流动对艾滋病传播的影响模型 所得结果对我国今后在预防和控制艾滋病 的传播方面带来一定的参考价值 关键词 艾滋病疾病模型 偏微分方程 潜伏期 稳定性 阈值 中图分类号 O29 文献标识码 A 文章编号 100429444 2007 0220035204 收稿日期 2006206225 作者简介 孟庆江 19802 男 山东聊城人 在读硕士 助教 主要从事应用数学方面的研究 艾滋病是当今各国政府最头疼的问题之一 目 前全球已有208个国家和地区受到艾滋病严重威 胁 中国也是受害国之一 自1985年第一例外来艾 滋病在中国出现以来 中国目前已约有艾滋病病毒 感染者84万人 并以每年30 的惊人速度增长 艾 滋病正从高危人群向普遍人群蔓延 随之而来的社 会经济损失可达人民币4600亿元到7700亿元 这 个数字曾经让中国有关领导人担心 艾滋病一旦流 行会破坏改革开放以来辛勤建设的成果 卫生部官 方网站提供的数据表明 2001年报告艾滋病病毒感 染人数较2000年增长了58 虽然按照国际通行 标准 就感染率而言 我国目前尚处于艾滋病低流行 期 但由于我国人口基数大 艾滋病病毒感染者的绝 对数很大 艾滋病防治不容乐观 如果不采取措施 预估2010年 中国的艾滋病感染人数将超过千万 届时艾滋病的流行将成为中国的国家性灾难 因此 对艾滋病的预防 治疗 控制和对其传播机理的研究 越来越重要 利用动力学的方法建立流行病传播的数学模 型 研究某种流行病在某一地区是否会蔓延下去而 成为该地区的地方病 或这种流行病最终将消除 是 流行病学和数学相结合的一个重要的具有理论和现 实意义的研究课题 有助于对流行病将来的发展趋 势进行预测 有利于疾病的预防和控制 早在1927 年 kermack和Mckendrick首先利用动力学的方法 建立了经典的常微分方程形式的流行病数学模型 从此以后常微分方程形式的流行病模型得到了广泛 和深入的研究 考虑到艾滋病的传播途径以静脉注 射 吸毒 性行为接触以及母婴垂直感染为主 另外 艾滋病有较长的潜伏期 用接种疫苗对它进行预防 时 随着时间的推移 疫苗的保护作用逐渐消失或减 弱 因此研究具有类年龄结构的艾滋病模型具有十 分重要的意义 1 模型建立及解的分析 1 1 模型建立 1 把总人口分为三个部分 易感者类 AIDS感 染病毒者和消除者类 指康复和死亡人数 S a t I a t R a t 分别表示时刻t易感人数 AIDS染 病人数和消除者类的年龄密度函数 2 a 为年龄为a的人口的相对自然死亡率 函数 A为人口所能活到的最高年龄 且 a 0 为 0 A 上的局部连续函数 A 0 a da 3 a 为年龄为a的易感人群和康复人群的 平均生育率函数 a 为年龄为a的AIDS染病人 群平均生育率函数 由于对AIDS病人的大力治疗 所以一般假定 a a 4 1表示平均感染周期 5 表示传染系数 定义时刻t的传染率函数 为 t A 0 I a t da 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 在上述假定条件下 艾滋病疾病的发展过程可 如下偏微分方程来描述 5S 5t 5S 5a t S a S 1 5I 5t 5I 5a t S a I 2 5R 5t 5R 5a I a R 3 其边界条件为 S 0 t 0 a S a t a I a t a R a t da 4 I 0 t 0 5 R 0 t 0 6 主要考虑如下初始条件的系统 S a 0 S0 a I a 0 I0 t R a 0 R0 a 7 1 2 平衡态下解的存在性 考虑系统的平衡态 dS da S a S 8 dI da S a a I I 9 dR da I a R 10 S 0 0 a S a a I a a R a da 11 I 0 0 12 R 0 0 13 由于 表示传染率 I a 依赖于传染率 所以 S 0 0 a S a a I a a R a da 也依赖于传染率 记为 S 0 0 a S a a I a a R a da 14 又 a 1 定理1 如果 G 0 1 则系统 1 3 存在 两种可能的平衡态 一种是AIDS疾病消亡 一种是 AIDS病人存在 如果 G 0 1 则系统 1 3 存 在唯一的疾病消亡的平衡态 如果 G 0 1 则存在 唯一的疾病消亡的平衡态 此时0是决定平衡态方 程的双重根 1 3 平衡态下解的稳定性 对系统的稳定性进行研究 5S 5t 5S 5a S a S f a S 18 5I 5t 5I 5a S a r I 19 5R 5t 5R 5a rI a R f a S 20 S 0 t 0 a S a t I a t R a t da 21 I 0 t 0 22 R 0 t 0 23 其中 f a 为治愈率函数 令N a 为个体总数关于年龄的密度函数 N a 满足 N a 3 Nexp a 0 d 其中 3 为自然死亡率 满足下列关系式 3 A 0 a da 1 63德州学院学报 第23卷 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 这里 a exp a 0 d 是存活率函数 它表示活到年龄为a的个体所占的百分比 则又有 以下关系式 N a 3 N a 文献 1 用有界线性算子的非线性扰动理论得 到系统 18 23 关于 0对应的无疾病的平衡 态的稳定性结论是 引理1 讨论关于 的方法 1 0 a 0 N a e b a a 0f u dudbda 24 如果临界值g 0 a 0 N a e b a b 0f u dudbda小于 1 则方程 24 有实根 系统的这种平衡态是指数稳 定的 如果这个临界值大于1 则方程 24 有正实 根 这种平衡态是不稳定的 如果这个临界值等于 1 则这种无疾病的平衡态局部稳定但不是渐进稳定 的 当然取其中的f 0 引理仍成立 定理2 定义临界值 g 0 3N 0 e a 0 d a 0 e a d da 25 如果临界值 g 0 0 并作如下假设 2 1 模型假设 1 时刻t时总的人口数为N t 2 总人口分为两部分 1 易感者S t 2 HIV病毒携带者W t 3 HIV病毒携带者 W t 又可分为两类 其中 一类先是HIV病毒携带者又未发病且有性交往活 动的记为E t 这部分人经过一定的时间以后发病 成为艾滋病患病者I t 另一类先是HIV病毒携带 者Y t 但这一类人在其未发病之前已失去性交往 的可能 如已年老等 记为Z t 4 d 为因艾滋病死亡率 单位时间内平均配 偶数 p易感者被感染成为 E t 类并最终成为 I t 类的概率 5 E为由 E t 类到 I t 类的转移系数 Y为 由 Y t 类到 Z t 类的转移系数 在上述情况下 艾滋病传播发展的病情模型如 下 dS t dt N t S t W t N t S t aS t dI t dt p N t S t W t N t E E t d Y t dt 1 p N t S t W t N t Y I t d E t dt E E t d I t dZ t dt Y Y t Z t W E Y N W S S 0 0 I 0 0 Y 0 0 上述等式中涉及到的未知数较多 目前无法得 到它的数值解 考虑最简单的人口迁入模型 dS dt S I a 26 dI dt S I I 27 dR dt I 28 由 26 式 dS dt dI dt 0 当S dI dt I t 先增加到某峰值后再 减少 当S 时 I t 取峰值 传染病流行 而当S t 0 S0S 则传染病流行 在应用中 需要计算艾滋病在某地区流行的时 73 第2期 孟庆江 等 艾滋病传播数学模型的建立与分析 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 间 设t0 0 则流行时间T可取为从S S0到S 所经过的时间 令 S S0 S 3 I I0 I 3 I0 I 3 a T S3 0 3 dS 3 S I 3 0 S 3 0 S ln S S 3 0 S 平衡态下系统总有一个相应于疾病消除的无病 平衡点 而这些平衡点相应于疾病的持续生存 这意 味着这种病一旦流行 在短时间内没有办法消除掉 而转化为地方病 但一般不会出现周期循环的趋势 3 控制艾滋病的有效方案 基于以上分析 看到为了减少艾滋病的感染 可 减少模型中的参数 从有关的临界值表达式 17 25 不难看出 越小 特别当 足够小时 平衡态 必然存在 而平衡态必稳定 该传染病消除平衡位 置的稳定性取决于参数R1 而 R1 p E 1 p Y 其中 E E Y Y 因此 加强艾滋病监测检验工作 加强对HIV 感染者和AIDS病人的管理 以及加强对阻断HIV 传播途径的控制 性传播途径的控制 母婴传播途径 的控制和血液传播途径的控制是解决艾滋病传播的 有效途径 同时政府应该加大对艾滋病的整治力度 和加大投入力度保障防治经费 另外 为了让艾滋病 根本消除 应该加强艾滋病宣传力度 提高对艾滋病 的认识 形成人人了解艾滋病 时时预防艾滋病 处 处关心 支持和善待艾滋病病人的良好局面 参考文献 1 Xue zhi Li Geni Gupur Guang tian Zhu Mathemat2 ical Theory of Age structured Epidemic Dynamics M Research Information Ltd Hertfordshire 2002 64 71 2 Xue zhi Li Geni Gupur Guang tian Zhu Existence and uniqueness of epidemic states for the age struc2 tured MSEIR epidemic model J Acta Mathematical Applicatae Sinica English Series 2002 18 3 441 454 3 Hoppensteadt F An age structured epidemic model J J Franklin Inst 1974 197 325 333 4 陈兰荪 数学生态学模型与研究方法 M 北京 科学出 版社 1988 5 原三顾 韩丽涛 马知恩 一类潜伏期和传染期均传染的 流行病模型 J 生物数学学报 2001 16 4 392 398 6 Ahmed E Yassen MT On Branching processes and the Early s