§8.3双曲线及其标准方程.doc

课题：8.3双曲线及其标准方程勐海县景竜学校 陈登和授课班级：高二文（1）班授课时数：第一课时教学目标（一）教学知识点1、双曲线及其焦点、焦距的定义.2、双曲线的标准方程及其求法.3、双曲线中a、b、c之间的关系.（二）能力训练要求1、使学生掌握双曲线的定义.2、使学生掌握双曲线的标准方程及其推导方法.3、使学生理解怎样的双曲线，其方程为标准方程，双曲线的标准方程所表示的曲线，其图形有什么特征，并能根据双曲线的标准方程确定其焦点的位置.4、使学生掌握a、b、c之间的关系.（三）德育渗透目标使学生通过对双曲线定义与椭圆定义的比较，双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较，双曲线与椭圆a、b、c关系的比较，掌握两种曲线的定义、标准方程及a、b、c关系的区别，并认识到比较法是认识事物，掌握其实质的一种有效方法.教学重点1、双曲线的定义.2、双曲线的标准方程.3、双曲线中a、b、c之间的关系.教学难点双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组.教学方法类比法、实验法和探究法.教具足够长的拉链1条，图钉2个，木板1块，直尺1把教学过程一、复习引入1、椭圆的定义是什么？平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点.两焦点的距离叫椭圆的焦距。2、椭圆的标准方程是什么？a、b、c三者间的关系怎样？你能根据椭圆的标准方程确定其焦点究竟在哪个坐标轴上吗？求椭圆标准方程的关键是什么？焦点在X坐标轴上：(ab0)，焦点在Y坐标轴上：(ab0) 其中3、问题：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程又是怎样的呢？平面内与两个定点F1、F2的距离之差为非零常数的点的轨迹是什么曲线呢？二、讲授新课1、双曲线的定义（注意与椭圆比较）（1）绘图演示：将拉链拉开一部分,在拉开的两边上各选取一点,分别固定在,上,到的长为2a(a0).把笔尖放在处,随着拉链逐渐拉开或闭拢，笔尖就画出一条曲线.问：这条曲线是满足什么条件的点的集合。答: 如果使点M到点F的距离减去到点F的距离所得差等于2a，就得到另一条曲线，这条曲线是满足下例条件的点的集合，即 。名词：这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支。（此时板书课题）上述演示中有几个关键的地方：1、= 常数（=2a0）2、=常数（=2c0）3、ac时，则M的轨迹又是什么？（2）分析原理:通过演示，引导学生概括双曲线的定义.通常不太准确，问其他同学有不同意见吗？引导学生讨论.问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？请学生回答，不能强调“在平面内”问题2: |MF1|与|MF2|哪个大？请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|MF2|问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|正确表示为问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？ 请学生回答，应小于|F1F2|且大于零当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数|F1F2|时，无轨迹当常数等于零，轨迹为线段F1F2的中垂线。（3）归纳定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。即 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。数学简记：（）问：（1）只说“差”不行吗？为什么要加“绝对值”三个字呢？只说差表示双曲线的一支，加上“绝对值”三个字，才能表示完整双曲线。（2）可见双曲线有两支，丢掉任何一支都不是完整的双曲线，那么，双曲线的定义中为什么要强调常数差的绝对值小于|F1F2|呢？如果差的绝对值即常数等于|F1F2|，那么图形为两条射线 ；如果差的绝对值即常数大于|F1F2|，那么无轨迹.如果差的绝对值即常数等于零，那么图形为线段F1F2的中垂线。2、双曲线的标准方程由双曲线的定义，可以知道它的基本几何特征，但对于双曲线还具有哪些性质，我们还一无所知，所以仿照椭圆，我们需要求出双曲线的方程。（1）双曲线的标准方程的推导：建系；设点；列式；代换；化简；根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程（引导学生回答，尽量发挥学生主动性，活跃课堂气愤。取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴 设 M（）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2（）则 ，又设M与距离之差的绝对值等于2（常数）， ，,（化简过程由学生扮演）化简，得：，由定义 令代入，得：，设疑换元的目的？是为了表达形式更简单两边同除得：（a0,b0），即为双曲线的标准方程。它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是，其中若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在轴上，则焦点是，问：双曲线的标准方程又该怎样求？生：用类比法：将互换，得到（a0,b0），此也是双曲线的标准方程（2）双曲线的标准方程的特点：两种标准方程的比较(引导学生归纳)： 从方程来确定a,b和焦点位置：“椭圆看大小，双曲线看符号”双曲线的标准方程方程形式：位置特征：焦点在x轴上焦点在y轴上,两焦点的中点在原点（中心在原点）数量特征：（）思考:双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有什么异同？（双曲线的图形有两个分支，以焦点在轴上的双曲线为例：若M点在双曲线的右支上，则（），显然若M点在双曲线的左支上，则（），显然当=时，M点的轨迹是以F1或F2为端点的两条射线当时，点没有轨迹）双曲线与椭圆之间的区别与联系通过列表反映区别）|MF1|-|MF2|=2a这个常数要大于且小于双曲线有两支且a与b的大小关系:可以为判断焦点所在的位置的方法。焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴；问：思考:能否根据双曲线的标准方程判断焦点的位置？可否仿照椭圆的方法呢？双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上。但有个前提，必需在标准方程的基础上才行。举个反例 如，焦点就不在X轴上。、例题分析例1. 已知双曲线的焦点为坐标F1 (-5,0)、 F2 (5,0)，双曲线上一点P到F1、 F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。解: 根据题意可知双曲线焦点在x轴上，所以可设它标准方程为（a0,b0） 2a=6 , 2c=10 a=3 , c=5 b2 = 52-32 =16 双曲线的标准方程为例2已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为（3，-4）、(,5),求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为（a0,b0） 因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐标适合方程。将（3，-4）、(,5)分别代入式中，得方程组 令,则方程组化为解这个方程组，得 即所以所求标准方程为4、课堂练习 P120 4、（1）（3）三、课时小结1、双曲线的定义2、双曲线的标准方程：（1）a、b、c的关系，（2）焦点位置的确定方法（要与椭圆对照，比较其异同点）3、求双曲线标准方程：待定系数法. 提问：双曲线标准方程的系数有什么特征？结论：x2、y2项的系数一正一负，右边为1，a不一定大于b。提问：双曲线标准方程中，x2、y2项的系数符号与该双曲线焦点所在位置有什么关系？结论：正项定焦轴。布置作业（一）课本P120习题8.3 1、2、3.（二）1、预习内容：课本P119例32、预习提纲：（1）在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，说明了什么？（2）根据题意怎样确定爆炸点的位置？为什么？（3）如果A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在怎样的曲线上？3、思考题课本P120练习2.板书设计8.3 双曲线及其标准方程（1）（一）复习提问（二）演示（三）双曲线的标准方程定义（四）标准方程的推导（五）例题例1例2练习教学反思1. 教学过程的着力点放在了如何激发学生的学习动机，培养学生的学习兴趣上，这是唤醒学生主体认识的关键。2.教学过程的重点放在了培养学生的创新精神和实践能力上，而把握重点的关键是如何选择好创新精神、实践能力与课堂教学的结合，这个结合点从学科来说，就是以科学知识为载体，培养学生的创新思维；从教师来说就是“思路、教路、学路”三者有机结合的教学过程设计，及其在课堂中的艺术展现；从学生来说，就是亲历、体验、探究、思考和创造性的解决问题的过程，从而在过程中获得逐步发展。3.教学过程的基本点放在了夯实基础知识和训练基本技能上，基础知识的教学注重了层次性、针对性。我在教学理念方面注重了四点：第一是能动性，师生互动、生生互动，学生主动参与研究过程。第二是开放性，教学过程中关注每个