§3.2-3-4柯西积分定理简案.doc

3.2-3.3-3.4 柯西积分定理教学目的：能理解并熟练掌握柯西积分定理，以及闭路变形原理与复合闭路定理；熟练掌握复变函数的牛顿莱布尼兹公式.能灵活正确计算复积分.并能熟练地运用柯西积分定理计算某些积分（包括某些实积分）.重难点：灵活正确运用柯西积分定理计算复积分教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：3.2.单连通区域内的柯西积分定理(基本形式)问题：什么时候复积分值与路径无关呢？根据复积分的定义,复积分的值一般不仅依赖于函数,而且还依赖于所取的积分路径.【定理3.2】(柯西定理1825年) 设函数在单连通区域内解析,为内任意一条【光滑的】简单闭曲线, 则.在附加条件“在内连续”下的简证上述定理.证 令, 假设在内连续，因为，则 ,而在内连续,从而都在区域内连续,且满足柯西黎曼条件: .所以由实曲线积分的格林Green公式得 ,. 故 .格林公式：设分段光滑曲线围成闭区域，函数在上具有一阶连续偏导数，则 （取正向边界曲线）说明：1）法国数学家E.Goursat（古萨）对柯西定理的证明中不需要设连续，因此，柯西积分定理也称为柯西古萨定理.后面我们证明连续是多余条件.2）可以证明，若为区域的边界且在内解析，在闭区域上连续，定理依然成立.例1 计算 (1)； (2) .解 (1)因为在单连通闭区域 上解析(因为它的不解析点为), 由柯西积分定理知 .(2) 因为在单连通闭区域上解析(因为它的不解析点为为整数）. 由柯西积分定理知.【推论】设函数在单连通区域内解析,为内任一条闭曲线(不必为围线),(如图3.5)则. 证明：由于闭曲线(图3.5)总可看成区域内有限条围线衔接而成,因此,由复积分的曲线可加性及定理1即可得结论.【定理3.3】设函数在单连通区域D内解析, 则在D内的积分与路径无关,即对D内任意两点,以及D内任意两条以为起点, 为终点的和,总有 .（如图3.6）即为单连通区域内的解析函数时，积分与路径无关.仅与积分路线的起点与终点有关.证明 ：将和的负向衔接成内的一条闭曲线, 由推论1及复积分的曲线可加性知, 所以 . 例2 证明 .其中曲线是平面上连接和两点的有向曲线(方向是从到).证明 因为在复平面上解析,取从到的有向直线段代替曲线，则参数方程为:, ()则 .说明：积分与路径无关是简化单连通区域内解析函数积分的一种常用的、有效的方法.例3 计算积分,其中为圆周的上半圆周从0走到2.解 因为在全平面解析，由柯西积分定理知它的积分与路径无关.于是可以取1为沿实轴从0到2.这样.3.3. 复合闭路定理1.【定理3.4】设与是两条简单闭曲线，在的内部，在与所围的二连域内解析，在上连续（如图3.7）则（3.7）（此定理称为闭路变形原理）证 在内作简单光滑弧，连结和.将变为单连域.且和分别为内、外边界，又在上连续，在内解析，由柯西积分定理知,于是有 .即（3.7）式成立.此定理说明：在区域内解析的函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值. （闭路变形原理）2.【推论】（复合闭路定理）设为多连通区域内的一条简单闭曲线，是在内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以为边界的区域全含于，如果在内解析，则有，其中，（）均取正方向；，这里为由，（）所组成的复合闭路（其方向是：按逆时针进行，按顺时针进行）.证： 取条互不相交且全含在(除端点外)内的简单曲线,作为割线（如3.11）,并顺次沿这些割线将割破, 则就被分成两个单连通区域,其边界分别记为,. 则 , 将上面两个等式相加,并注意到沿割线,的积分,各从相反的两个方向取了一次,在相加的过程中相互抵消.于是,由复积分的曲线可加性得.最后两个公式再由复积分的曲线可加性及沿正负向积分之间的关系即可得.例4 计算 ，其中为包含0与1的简单闭曲线.解 设和是内互不包含也互不相交的圆周.函数有两个奇点：，且含在内，含在内，则由复合闭路定理.另解：利用积分的性质.（利用实函数中的有理函数的积分化简积分）练习： 计算积分解 因为, 并作圆周:和（如图3.13）, 显然它们都包含在圆周的内部,且在的内部解析,在的内部解析 .当被积函数在围线内部有有限个不解析点时,可以先以每个不解析点为心,充分小的正数为半径,在围线内部作互不包含且互不相交的小圆周,然后考虑以围线和这些小圆周为边界所围成的有界多连通区域,在此多连通区域上利用复合闭路原理,将原来的积分转化为沿这些小圆周的积分来计算称为挖洞法-它也是利用多连域上柯西定理计算复积分的一种有效的方法.3.节：原函数与不定积分若在内解析，则沿区域内的简单曲线的积分只与的起点和终点有关，而与的路径无关，当下限固定而上限在D内变动时，则积分为D内的变上限单值函数记为，即为定义在D内的一个变上限函数.并且我们还有如下定理, 【定理3.5】设在单连通区域D内解析, 则变上限积分确定的函数在区域D内解析,且 ,即为在D内的一个原函数.（如图3.10）分析：要证在D内 ，只须证明对任意， 即可.证明 任取,以为心作一个含于D的小圆域,并在小圆域内取动点().在D内任取从到的积分路径,而从到的积分路径按下面的方法取:先从沿到,再从沿直线段到.则 注意到 , 从而有 因为在点连续, 所以对, 当,总有， 从而由积分的估值性知 当时,. 即 , 所以 .由的任意性得 定理的结论成立.结论： 在单连通区域内解析, 在区域内的积分与路径无关(也即沿内任一条闭曲线的积分为零).类似与实函数中的不定积分或原函数,在复变函数中,我们有【定义3.2】 设函数定义在单连通区域内,如果存在内的函数满足 , 则称为在内的一个原函数 (显然在内解析).易知, 若函数在区域内存在原函数,则的原函数不惟一,它的任何一个原函数都可以表示成 , 其中为复常数.单连通区域内复积分的牛顿莱布尼兹公式:【定理3.6】设在单连通区域内解析,若为在单连通区域内的一个原函数, 则, 其中,为内的两个点, 表示沿内以为起点, 为终点的任一条曲线的积分. 例5 计算 ，；，均为有限复数.解 （）在复平面内处处解析.所以 .例6 计算 ，其中是从到的直线段.解 是在全平面除去负实轴上一段的单连通区域内为（单值）解析， 是内从到的直线段.所以在内有 .提问：（单项选择）：设在单连通区域 内处处解析，且.为内任意一条简单闭曲线，则积分 （ C ）（A） ；(B) ；(C) 0； (D) 不确定.例7 计算积分 , 其中表示从到的右半圆周:,. 解 因为在图示区域内解析， 且积分曲线在内,是的一个原函数, 所以 .思考题: 此例中的改为左半圆周: , 则结果如何? 也可将积分曲线以及放入区域且积分.提问2：计算：（1）积分路径为 ;(2) 积分路径为，且；（3）积分路径为；计算结果三小问有何联系：结果相同，因为被积函数在全平面上解析.提问3：积分与路径无关？（否，因为在内不解析，设,则.）口答下列积分计算结果：（1）.（2）（因为不解析点不在