球的内切和外接

圆台 棱台 是由圆锥 棱锥 截成的 根据台体的特征 如何求台体的体积 台体 柱体 锥体 台体的体积公式之间有什么关系 例3有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5 8kg 铁的密度是7 8g cm3 已知螺帽的底面是正六边形 边长为12mm 内孔直径为10mm 高为10mm 问这堆螺帽大约有多少个 求此棱柱挖去圆柱后的体积和表面积 定理 半径是R的球的体积 定理 半径是R的球的表面积 球的体积 表面积的计算公式 球的半径r和正方体的棱长a有什么关系 球与多面体的内切 外接 正方体的外接球 二 球与多面体的接 切 定义1 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上 则称这个多面体是这个球的内接多面体 这个球是这个 定义2 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切 则称这个多面体是这个球的外切多面体 这个球是这个 多面体的外接球 多面体的内切球 棱切 一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切 中截面 设为1 球的外切正方体的棱长等于球直径 中截面 正方形的对角线等于球的直径 球内切于正方体的棱 对角面 设为1 球的内接正方体的对角线等于球直径 球外接于正方体 正方体的内切球直径 正方体的外接球直径 与正方体所有棱相切的球直径 探究若正方体的棱长为a 则 a 球与正方体的 接切 问题 典型 有三个球 一球切于正方体的各面 一球切于正方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求这三个球的体积之比 画出正确的截面 1 中截面 2 对角面找准数量关系 球的性质 性质1 用一个平面去截球 截面是圆面 用一个平面去截球面 截线是圆 大圆 截面过球心 半径等于球半径 小圆 截面不过球心 A 例4已知过球面上三点A B C的截面到球心O的距离等于球半径的一半 且AB BC CA cm 求球的体积 表面积 解 如图 设球O半径为R 截面 O 的半径为r 例5 求棱长为a的正四面体A BCD的外接球的表面积 变式题 1 一个四面体的所有棱长都为 四个顶点在同一球面上 则此球的表面积为 A B C D A 五 构造直角三角形1 求棱长为a的正四面体外接球的体积 2 求棱长为a的正四面体内切球的体积 四面体与球的 接切 问题 典型 正四面体ABCD的棱长为a 求其内切球半径r与外接球半径R 点评 由于正四面体本身的对称性可知 内切球和外接球的两个球心是重合的 为正四面体高的四等分点 即内切球的半径为 h为正四面体的高 且外接球的半径 从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系 1 正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心 2 求多面体内切球半径 往往可用 等体积法 3 正四面体内切球半径是高的 外接球半径是高的 4 并非所有多面体都有内切球 或外接球 思考 若正四面体变成正三棱锥 方法是否有变化 四面体与球的 接切 问题 思考 若正四面体变成正三棱锥 方法是否有变化 1 内切球球心到多面体各面的距离均相等 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等2 正多面体的内切球和外接球的球心重合3 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上 但不重合4 基本方法 构造三角形利用相似比和勾股定理5 体积分割是求内切球半径的通用做法 1 例2 正三棱锥的高为1 底面边长为 求棱锥的全面积和它的内切球的表面积 过侧棱AB与球心O作截面 如图 在正三棱锥中 BE是正 BCD的高 O1是正 BCD的中心 且AE为斜高 解法1 作OF AE于F 设内切球半径为r 则OA 1 r Rt AFO Rt AO1E 设球的半径为r 则VA BCD VO ABC VO ABD VO ACD VO BCD 解法2 例2 正三棱锥的高为1 底面边长为 求棱锥的全面积和它的内切球的表面积 注意 割补法 探究 2 如图是一个简单组合体的三视图 想象它表示的组合体的结构特征 尝试画出它的示意图 正视图 侧视图 俯视图 思考3 怎样画底面是正三角形 且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥 M 例2 一个几何体 它的下面是一个圆柱 上面是一个圆锥 并且两底面重合 圆柱的底面直径为3cm 高为4cm 圆锥的高为3cm 画出此几何体的直观图 练习4 已知一四边形ABCD的水平放置的直观图是一个边长为2的正方形 请画出这个图形的真实图形 六 寻求轴截面圆半径法 正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为 点S A B C D都在同一球面上 则此球的体积为 解设正四棱锥的底面中心为 外接球的球心为O 如图3所示 由球的截面的性质 可得又 球心O必在所在的直线上 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆 外接圆的半径就是外接球的半径 在中 由是外接圆的半径 也是外接球的半径 故 球的表面积与体积 思路点拨 根据球截面性质找出球半径与截面圆半径和球心到截面距离的关系 求出球半径 思路点拨 1 利用特征三角形求斜高即可 2 抓住球心到正三棱锥四个面的距离相等求球的半径 例3求棱长为a的正四面体P ABC的外接球的表面积 过侧棱PA和球心O作截面 则 截球得大圆 截正四面体得 PAD 如图所