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论数学论文范文 论数学 讨论任意领域中智力活动的性质是一件困难的任务对处于人类智能中心领域的数学就更是如此对人类智能的性质作一般的讨论从本质上来说是困难的它在任何情况下总比只涉及那些特殊范围的智能的讨论要更为困难理解飞机的结构和升力、推力的力学原理比乘坐飞机、以至驾驶它要更为困难在没有以直观的和经验的方式获得某些知识之前在没有预先了解、熟悉以及驾驶过飞机之前人们就能理解原理及其过程这是罕见的 在数学领域中这种讨论如果以一种非数学的方式进行的话限制将更为苛刻讨论必然会显示出某些不良的特性得到的结果所依据的材料决不可能充分;相反面面俱到的肤浅的讨论却不可避免尽管我甚至意识到我将要提出的说法有不少短处但是很抱歉我还是得说下去此外我准备表述的观点也完全可能不为许多其他数学家所赞同你可能获得一个人为的不太系统的印象和解释我提出的看法对这些讨论究竟有多少价值也许是很小的在我看来刻画数学特点的最有力的事实是它和的特有联系或者更一般地说它和任何一类比处于纯粹描述水准更高级一些的、能对经验作出解释的科学的特有联系大多数数学家和非数学家将会同意数学不是一门经验科学或者至少可以说它不是以某种来自经验科学技术的实现的但是它的和自然科学却紧密相联它的一个主要分支几何学买际上起源于自然科学、经验科学某些科学中最大的灵感(我认为是最大的)清楚地来源于自然科学数学方法渗透和支配着自然科学的许多“”分支在现代经验科学中能否接受数学方法或与数学相近的物方法已愈来愈成为该学科成功与否的主要标准确实整个自然科学一系列不可割断的相继现象的链它们都被打上数学的标志几乎和科学进步的理念是一致的这也变得越来越明显了生物学变得更受到化学和物理渗透这些化学是实验和理论的物理而物理是形式甚为数学化的理论物理 有一个甚为特殊的数学性质的两重性人们必须理解它接受它并且把它吸收到自己正在思考的主题中去这种两重性是数学的本来面目我不相信无需牺牲事物的实质就可能简化和单一化对事物的看法 因而我并不试图为你提供一种单一化的模式我将尽可能地描写数学所具有的多重现象无可否认在人们能想象的那部分纯粹数学中某些最为激动人心的灵感来自自然科学我将提及两个最值得纪念的事实 第一个例子是几何学几何学是古代数学中的一个主要部分现在仍然是现代数学中几个主要分支之一毋庸置疑它的古代起源是经验的它开始成为一门学科并不像当今的理论物理离开这些迹象就很难说“几何学”了欧氏的公理化处理是几何学脱离经验向前跨出一大步的标志但是它全然不能简单地被看成是决定性的、绝对的、最终的一步欧氏的公理化在某些方面并不能满足现代绝对的公理化对严格性的要求当然这不是主要的方面最本质的是某些无疑是经验的学科如力学和热力学也或多或少地常常由某些作者提出一些公理化的处理然而所有这些都很难超出Euclid的程序我们的经典理论物理Newton原理它的文字形式和最重要的实质部分都是很像Euclid的当然在所有这些例子中提到的公设都是以支持这些定理的物理考察、实验论证作为后盾的但是人们可以论证：在几何学获得两干多年的稳定和权威之前(这种权威是理论物理的现代结构所缺乏的)特别从古代的观点来看提出一种类似于Euclid的解释是可能的. 尽管自Euclid以来在使几何学与经验脱离方面已经逐步地取得了进展但是怕在今天它也决没有变得十分完备非欧几何学的讨论提供了这方面的一个好的说明它也对数学思想的矛盾状态提供了一种说明尽管这种讨论大部分发生在高度抽象的水平上它所处理的是欧氏“第五公设”是否为其他公设的推论的纯粹逻辑;形式上的论战由Klein的纯粹数学的典范作品所他证明了一欧氏平面可以通过形式地重新定义某些基本概念而成为非欧平面这里从开始到结束都还是由经验促进的所有欧氏公设的原始根据显然都是对整个无穷平面的概念所作出的非经验的刻画为什么只有第五公设会有问题呢?这种撇开所有数学的逻辑坚持必须由经验来确定欧氏几何是否有意义的思想确实是由最伟大的数学家高斯提出的后来由BolyaiLobachevskyRiemann和Klein把它变得更为抽象然而我们今天所考察的关于最初争论的形式上结果不管是经验的或者物理学的都已有定论广义相对论的发现迫使人们对关于几何学相互关系的观点进行修正这种修正是在全新的背景下进行的最后人们就能接触到一幅完成了的可供比较的图景这最后的进展是由这样一代人完成的他们看到了欧氏公理方法已被现代公理派逻辑数学家处理成为完全非经验的和抽象的这两种表面上似乎是冲突的态度完美地合并成一种数学思想;因此Hilbert在公理几何学和广义相对论方面都作出了重要的贡献第二个例子是微积分或者说是由它生成的数学分析微积分是近代数学的最早的