2013常大考研数学二模-2答案.pdf

全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷 二 解答 常州大学 1 2012 09 15 一 选择题 1 8小题 每小题4分 共32分 下列每小题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求 请 将所选项前的字母填在题后括号位置上 1 答案 D 考点 微分的几何意义 或 Lagrange 中值定理和 Taylor 公式 解析 方法一 见图示 方法二 利用 Lagrange 中值定理 存在01 使得 000 0yf xxf xfxxx 2 答案 B 考点 积分上限函数的连续性 函数的奇偶性和定积分的换元方法 解析 f t可积 sin 0 x F xf t dt 连续 而 sinsinsin 000 st xxx Fxf t dtfs dsf s dsF x 3 答案 C 考点 复合函数和隐函数的导数 解析 将 2 xg x h xe 对x求导数 得 2 2 xg x h xxg x e 代入1x 即得结论 4 答案 B 考点 求解常系数线性齐次微分方程的反问题 解析 特征根 1 i 特征方程 22 1 10220 由此得到所求微分方程 5 答案 D 考点 二重积分化为二次积分 二重积分的极坐标变换 解析 若直接化为二次积分 应为 2 2 111 111 x x dxf xy dy 或 2 2 22 02 y y y y dyf xy dx 如图所示 或做极坐标变换即得结论 注意dxdyrdrd 6 答案 D 考点 由方程所确定的隐函数的导数 解析 在方程 0 x y 两端对x求导 有 0 xy x yx yfx 因此当 00 0 x xy 时 有 00 0 y xy 7 答案 D 考点 向量组的秩 全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷 二 解答 常州大学 2 2012 09 15 解析 记 s B 21 则ABAAA s 21 若 s AAA 21 线性无关 则 sBrABrAAArs s 21 故 sBr 所以 s 21 线性无关 8 答案 A 考点 初等变换与初等矩阵 解析 333231 131211 232221 333231 232221 131211 1 001 100 010 P aaa aaa aaa aaa aaa aaa 故 13131211 33333231 23232221 333231 131211 232221 21 10 010 001 AP akaaa akaaa akaaa kaaa aaa aaa P 二 填空题 9 14 小题 每小题 4 分 满分 24 分 请将答案写在题后横线位置上 9 答案 3 2 y 考点 求曲线的渐近线 解析 cos2 2 cos222 limlim sin 35sin3 35 xx x xx x x xx x 10 答案 4 1 考点 分段函数的连续性 积分上限函数的导数 解析 3 3 0 43 00 sin sin 1 limlim 44 x xx tdt x xx 11 答案 1 6 考点 计算收敛的反常积分 解析 2 242423 00 0 1 1 111 1 2 1 6 1 6 xdxdx xxx 12 答案 x Cxey 考点 求解可分离变量的微分方程 解析 分离变量 得 1dyx dx yx 0y 两端积分 得lnlnlnyxxC 0C 即 x yCxe 由于0y 是原方程的解 故C为任意常数 全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷 二 解答 常州大学 3 2012 09 15 13 答案 e 考点 求隐函数的导数 解析 方程两端对x求导 得 yy dydy exe dxdx 当0 x 时1y 代入上式 得 0 x dy e dx 14 答案 11 1 1 12 考点 逆矩阵的概念与求法 解析 因为EBBA2 即EEA 2 1 B 所以 11 11 2 1 EA 2 1 B 1 三 解答题 15 23 小题 共 94 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 考点 计算极限的方法 Taylor 公式的应用 解析 方法一 已知0 sin 1 3 3 3 22 x xo x xxxBxAx 即 0 sinsinsin 23 x x B x xxA x xx 由 6 1sin 3 x xx 1 sin x x 得 6 1 1 BA 方法二 利用 Taylor 公式 6 1 sin 33 xoxxx 得 6 1 sin 1 3322 xoxBAxxxBxAx 因此 6 1 1 BA 16 考点 计算不定积分 解析 222222 2 x xxx x xe dxxd ex eedx e 对于积分2 x edx 令 2 2 x et 则 2 2 2 ln 2 2 t xtdxdt t 于是 2 22 2 2221 22 x t edxdtdt tt 22 2arctan 222 2arctan1 22 x x te tCeC 因此 全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷 二 解答 常州大学 4 2012 09 15 22424 2arctan1 2 2 xx xx x xee dxx eeC e 17 考点 二重积分的计算 利用对称性计算二重积分 解析 根据左右对称性 0 1 sin 22 D dxdy yx xy 利用极坐标替换 有 1 1 2 222 00 0 ln 1 ln2 1122 D dxdyrdr Idr xyr 18 考点 判断迭代数列的收敛性并求极限 解析 n x 0 1 1 2 1 1 1 n n n n x x x x 即 nn xx时 有 2 1 n x 从而与2 1 1 在不等式2 1 1 时0 xf 函数 xf严格增加 从而 0 eff 0ln e lnlnee e e lnln e e 20 考点 应用函数的导数研究曲线的凹凸性 求曲线的切线方程 计算平面图形的面积 解析 I 1 t t dx dy 0 1 2 1 32 2 tdx yd 1 t 曲线上凹 II 设在切点 00 yx处 0 tt 从而切点满足 1 1 0 0 0 0 x t t y 即 12 1 1 0 2 0 0 0 2 0 tt t t t 得1 0 t 切点为 00 3 2 xy 切线方程为012 yx 全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷 二 解答 常州大学 5 2012 09 15 III 331 22 000 115 1 2 24 x Sy x dxdxttt dt 1 23 0 155 2 1 412 tttdt 21 考点 计算多元复合函数的二阶偏导数 求解可降阶的二阶微分方程 解析 I y x f yx z 1 y x f yx z 1 22 2 2 zxx f yyy 22 243 2 zxxxx ff yyyyy 222 22 222 02 2 zzxxxx xyff xyyyyy 1 0fufu u 0 u II 令 ufp 则 ufp 得 1 0pp u 1 C fup u 1 1f 1 1C 由 1 fu u 解得 2 lnf uuC 再由 1 1f 得 2 0C 即 lnf uu 22 考点 解的性质和结构 解析 因为 321 为bAx 的三个解 所以 132 2 是OAx 的一个解 又 T 1 2 3 4 5 T 32 1 2 3 4 T 6 5 4 3 2 132 是OAx 的一个线性无关的解 所以 bAx 的通解为 TT kx 5 4 3 2 6 5 4 3 其中k取为 任意常数 23 考点 矩阵的特征值的定义和对角化的充要条件 解析 I 因为 1 是矩阵A对应于特征值 1 的特征向量 故有 111 A 即 1 1 1 1 1 1 21 35 212 1 b a 所以 1 0 3 1 ba II 由 I 知 201 33