几何中的最值问题专题复习

几何图形中的最值问题 1 乌龟与兔子想从点A到点B 走那条路线最短 根据是 两点之间 线段最短 问题情境 2 如图 污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ 应如何铺设排水管道 才能使用料最省 试画出铺设管道的路线 并说明理由 A Q P B 理由 垂线段最短 问题情境 3 已知一个三角形玩具的三边长分别为6 8 a 则a的最值范围是 依据 三角形两边之差小于第三边 两边之和大于第三边 2 a 14 4 已知圆外一点P到圆 O上最近点的距离是5 O的半径是2 则这点到圆上最远点的距离是 依据 9 圆外一点与圆心的连线上 该点和此直线与圆的近交点距离最短 远交点距离最长 问题情境 两点之间线段最短 垂线段最短 三角形的三边关系 三角形两边之差小于第三边 两边之和大于第三边 圆外一点与圆心的连线上 该点和此直线与圆的近交点距离最短 远交点距离最长 知识源 知识回顾 2016 福建龙岩 如图 在周长为12的菱形ABCD中 AE 1 AF 2 若P为对角线BD上一动点 则EP FP的最小值为 A 1B 2C 3D 4 F P EP FP EP F P EF 题型特征 利用轴对称求最短路线问题 真题示例1 C A1 草地 河流 A2 A M N A B 小河 A P 基本模型 此时 PA PB PA PB BA 最小值为BA 的长 此时 MA MN NA MA1 MN NA2 A1A2最小值为A1A2的长 一 二 P 2016 四川内江 如图所示 已知点C 1 0 直线y x 7与两坐标轴分别交于A B两点 D E分别是AB OA上的动点 则 CDE周长的最小值是 C1 C2 D E CDE周长 CD CE DE C1C2 真题示例2 10 A1 草地 河流 A2 A M N A B 小河 A P 1 利用轴对称画出取最小值时点的位置 建立相关模型 2 把线段之和转化在同一条直线上 基本模型 解题思路 方法 一 二 1 画图建模2 化归转化 解题策略 原创 如图 在周长为16的菱形ABCD中 A 120 E F为边AB CD上的动点 若P为对角线BD上一动点 则EP FP的最小值为 EP FP EP F P EF 知识源 试题原创 当EF 与边AB垂直时EF 的值最小 1 两点之间线段最短2 垂线段最短 2012浙江宁波 如图 ABC中 BAC 60 B 45 AB D是线段BC上的一个动点 以AD为直径画 O分别交AB AC于E F 连接EF 则线段EF长度的最小值为 真题示例3 解题思路 方法 1 综合分析题中已知条件 归纳发现动态过程中的不变元素 不变关系 内在联系 2 化动为静 根据内在联系转化相关线段 真题示例3 解题策略 1 变化中寻找不变性 2 化动为静 化归转化 知识源 2013宿迁 在平面直角坐标系xOy中 已知点A 0 1 B 1 2 点P在x轴上运动 当点P到A B两点距离之差的绝对值最大时 点P的坐标是 P P 当A B P三点不共线时 PA PB AB 当A B P三点共线时 PA PB AB PA PB AB 真题示例4 1 0 变式 在平面直角坐标系xOy中 已知点A 2 1 B 1 2 点P在x轴上运动 当 PA PB 最大时 点P的坐标是 A P PA PB PA PB A B P 3 0 PA PA 当A B P三点共线时 PA PB 最大 2016四川眉山 26 已知如图 在平面直角坐标系xOy中 点A B C分别为坐标轴上的三个点 且OA 1 OB 3 OC 4 1 求经过A B C三点的抛物线的解析式 2 在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P 使得以以点A B C P为顶点的四边形为菱形 若存在 请求出点P的坐标 3 若点M为该抛物线上一动点 在 2 的条件下 请求出当 PM AM 的最大值时点M的坐标 并直接写出 PM AM 的最大值 真题示例5 1 2 P坐标为 5 3 P M 真题示例4 5 P P 作图尝试 结合已知定点 利用三角形的三边关系 找出特殊位置解决线段之差最大问题 解题思路 方法 A P P 2016四川泸州 如图 在平面直角坐标系中 已知点A 1 0 B 1 a 0 C 1 a 0 a 0 点P在以D 4 4 为圆心 1为半径的圆上运动 且始终满足 BPC 90 则a的最大值是 真题示例6 知识源 圆外一点与圆心的连线上 该点和此直线与圆的近交点距离最短 远交点距离最长 真题示例6 解题思路 方法 1 综合已知条件 分析其中不变元素及不变关系 恰当转化 2 根据点的运动轨迹 找出与定点距离最远时的位置 化动为静 2016江苏常州 如图 在平面直角坐标系xOy中 一次函数y x与二次函数y x2 bx的图象相交于O A两点 点A 3 3 点M为抛物线的顶点 1 求二次函数的表达式 2 长度为2的线段PQ在线段OA 不包括端点 上滑动 分别过点P Q作x轴的垂线交抛物线于点P1 Q1 求四边形PQQ1P1面积的最大值 y x2 2x 真题示例7 E E 解题策略 1 树立坐标意识 通过坐标表示相关线段长度 面积 2 运用函数思想 构建函数模型 通过二次函数的性质求出相应的最值 结合题意 画图尝试 动中觅静 分析总结图形在运动过程中不变元素 探寻运动变化中隐含的不变关系与内在联系 建立相关模型实现最值转化 专题总结 1 综合性逐渐增强 如多个知识源 知识点的相互整合渗透 2 注重对基本技能和基本思维方法的考查 注重了初 高中知识的衔接 3 最值问题 逆 呈现 如在最值条件下求其他相关问题 命题预测 本课几个例题为求几何图形中有关最值计算问题提供常用解题思路及方法 我们要善于寻得问题的源头 灵活运用相关策略 相信我们一定能抵达成功的彼岸 总结语 2 如图 已知点P是抛物线上的一个点 点DE的坐标分别为 0 1 1 2 连结PD PE 求PD PE的最小值 H 3 如图 在 ACE中 CA