13.2 排列.doc

132 排列问题1：航空公司如果在甲乙丙丁四个城市中每两个城市都开直达航线，需要准备多少种不同的单程飞机票？分析：为便于观察，我们以树形图进行枚举如下： 出发城市 目的城市 第1步 第2步 由此可知共种单程飞机票上述问题，我们可以理解为如下两个步骤完成这样一件事：第一步：从甲乙丙丁四个城市中选出一个城市作为出发城市，有种选择；第二步：从剩下的三个城市中选出一个城市作为目的地，有种选择；所以由乘法原理，共有种直达机票主场 客场 第1步 第2步 同样的问题在13.1的问题（3）中即将开始中国足球超级联赛支俱乐部队一个赛际主客场制共安排多少场比赛？我们可以理解为如下两个步骤完成这样一件事：第一步：从支俱乐部队中选出一个城市作为主场，有种选择；第二步：从剩下的支俱乐部队中选出一个城市作为客场，有种选择；所以由乘法原理，共有场比赛问题2：在个数字中选出个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？百位 十位 个位第1步 第2步 第3步分析：可考虑分三步完成，如图第一步：从个数字中选出个数字作为百位上数字，有种选择；第二步：从剩下的个数字中选出个数字作为十位上数字，有种选择；第一步：最后从剩下个数字中选出个数字作为个位上数字，有种选择；所以由乘法原理，共有个不同的三位数 在运用乘法原理时，可发现它们的每一步中选择对象都来自于同一个对象集，而且在完成一件事的过程中每一个对象不能重复选取，并且有次序性这类似与生活中的“排队”现象从这两个例子中可看出，如果将城市、比赛队伍、数字这些研究的对象抽象为元素，那么这些问题都是同一类型的问题问题（1）可看作从个不同的元素中任取个进行“排队”的种数问题；和从个不同的元素中任取个进行“排队”的种数问题；问题（2）可看作从个不同的元素中任取个进行“排队”的种数问题；所谓“排队”即从中选出元素按一定的次序排成一列，我们称之为一个排列一般地，从个不同的元素中取出（）个元素，按一定的次序排成一列，我们称为从个不同的元素中取出个元素的一个排列其中，当时，我们称为个元素的一个全排列显然，两个排列相同，当且仅当取出元素相同且排列次序相同从个不同的元素中取出（）个元素的所有排列的总数，称为从个不同的元素中取出个元素的排列数，用符号表示 而的全排列数为问题（1） ，和；问题（2） 例1：试写出从这个字母中每次取出两个的所有排列，并计算其排列数解：（略）例2：在全班名同学中任意选出名同学担任班长、副班长和学习委员，共有多少种不同的选法？分析：一种选法（班长，副班长，学习委员），即从全班名同学中选出名同学的一个排列，故所有选法的个数即从个元素中取出个元素的排列数班长 副班长 学习委员第1步 第2步 第3步如何计算确定一组不同的选法可考虑分三步完成，如图第一步：从名同学中选出一名同学担任班长有种选法；第二步：从剩下的名同学中选出一名同学担任副班长有种选法；第一步：最后从剩下名同学中选出一名同学担任学习委员有种选法；所以，由乘法原理共有种选法从中可以看出，从个不同的元素中取出个元素的排列数可按如下方法计算：每一个排列可看作是从个不同的元素中取出个元素放入个有序空位上而得，即一种填法就是一个排列第1空位 第2空位 第3空位 第m1空位 第m空位第1步 第2步 第3步 第m1步 第m步填个空位可分为步完成：第1步：从个元素中取出1个元素填入第个空位,共有种填法；第2步：从剩下个元素中取出1个元素填入第个空位,共有种填法；第3步：从剩下个元素中取出1个元素填入第个空位,共有种填法；第步：从最后剩下个元素中（前面已填了个元素）取出1个元素填入第个空位,共有种填法；由乘法原理，全部填满个空位共有填法所以 这里 这一公式称为排列数公式其共有个连续正整数相乘积的形式特别地，当的全排列数为表示方便，我们将正整数到的连续乘积，称为的阶乘那么，例2：名学生排成两排拍照，每排人，共有多少种不同的排法？解：方法1：名学生排成两排，第一排共有种排法；第二排共有种排法；由乘法原理，共有方法2：名学生排成两排，其等价于名学生排成一排，可指定左边名学生为第一排，余下名学生为第二排，两者一一对应故所求问题的每一个排法等价于名学生的一个全排列，其全排列数练习1：求满足的值练习2：（1）试猜测：的展开形式；（2）化简：练习3：安排名工人分别当车工、钳工、刨工、铣工、油漆工，已知工人甲不能当钳工和油漆工，问有多少种安排方法？例3：某次电影展，有部参赛影片，影展组委会要求某影院分两天播映这部电影，每天部，其中有两部不能在同一天放映，共有多少种不同的排片方法？注：带限制要求的元素一般可优先考虑安排。 练习（3）例3例4：本各不相同的书，数学书本，英语书本，语文书本，（1）要求本数学书，本英语书和本语文书分别放在一起，共有多少种排法？（2）要求本数