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天水师范学院2012届毕业论文用等价无穷小求极限的研究张君城（天水师范学院 甘肃 天水 741000）摘要：极限的计算方法多样灵活，计算巧妙。等价无穷小的替换是求极限的重要方法之一。再求和、差函数极限，函数的极限，积分上限函数的极限等方面，等价无穷小的替换具有很好的性质，掌握并充分利用好它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化，起到事半功倍的效果。我在此研究了和、差函数的极限等价无穷小，乘积因子等价无穷小的替换，函数的极限的等价无穷小，积分上限函数极限的等价无穷小，和、差函数极限的等价无穷小的替换。关键词： 等价无穷小 函数的极限 替换 级数收敛定义：设函数f(x)在上有意义，若，则称为时的一个无穷小量.1 和、差函数极限的等价无穷小的替换定理1 设,为时的无穷小量，且,，若，（1）当时，；（2）当时，证明 由无穷小量的性质知，都是时的无穷小量.(1)当时， (2)当 时， 所以有.同理可证（2）.证毕.注：当时，等价无穷小替换有例1 （1）求的极限解：原式= = (2) 求解：原式=定理 2 为同一变化过程中的无穷小量，且，则证明：因为，所以，则，即.定理2说明了在求无穷小量代数和的极限时,可以将阶数较高的无穷小量舍去，从而能够简化计算.注：两无穷小量代数和与较低阶无穷小量等阶.可将此结果扩展为多个无穷小量，如果有多个无穷小量都是比其中一个无穷小量高阶的无穷小量，则他们的代数和与其中这个无穷小量等阶.推论：若时, 都是无穷小量,且则证明 因为，于是这样例2 （1）求解：当时，.显然与均为比高阶的无穷小，而为比高阶的无穷小量，由定理易知：，则原式（2）求极限解：在求此极限时，不能用等价无穷小量,在求极限时，只有对极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代.而在极限式的和、差运算中应用等价无穷小量代换时，经常会丢失高阶无穷小量，而引起错误.解法一：由泰勒公式可知：，这里是比高阶的无穷小量，于是于是 解法二：当时，有，于是解法二说明了求“”型的极限时,分子或分母是连乘或连除的形式时，可以把分子或分母的某个函数用其等价无穷小来代换.定理3若且对任意的与为等价无穷小量,即且在区间内不变号,则有.再证明之前,先给出两个引理:引理1 在自变量的某一变化过程中,函数有极限A的充要条件是其中是自变量同一变化过程中的无穷小量.引理2 由积分第一中值定理可知,若与在闭区间上连续，且在上不变号,则在上至少存在一点使得. 证明 由于即,由引理1得,则,其中满足,则.由于在区间上不变号,则由引理2得,所以例3 求极限解 显然在内单调增加, 时, 和是等价无穷小,由定理3得 2 乘积因子等价无穷小的替换定理 3设是某一变化过程中的无穷小量,极限都存在且不为零，则当且仅当与为等价无穷小量时,有证明：当与为等价无穷小量时,即则 .反之若 则有.即与为等价无穷小量.例4 定理 4是某一变化过程中的无穷小量, ,且极限存在,则 证明： .例5 求解：由于则3 型不定式极限的替换定义：重要极限，此类极限可归结为型不定式极限.定理 5 假设以及并且，则有.证明： 由于函数在内连续，因此得： . 证毕.例6 求极限 解 ：将极限式做恒等变形：得 ，由于当时 ，有，又，因此可得定理 6 如果在给定的的趋向下，都是无穷小，并且，,则在的这种趋向下，极限：. 证明：由于 . （1）又由于，,有：，于是， . （2）有上述两式，定理得证.推论1 如果在给定的的趋向下，都是无穷小，且，则在的这种趋向下，极限：.推论 2 如果在给定的的趋向下，都是无穷小，且，则在的这种趋向下，极限：. 例7 求极限.解： 考虑到当时，应用推论1得： 例8 求极限解：由于,则,做变量替换：,则原式变为：.因为当时, ,则4 变上限函数极限的等价无穷小的替换 在变上限积分中,如果那么该变上限积分就是一个无穷小,如果能够找出这种类型在变上限积分的等价无穷小,那么在一些极限计算的过程中运用等价无穷小替换的方法,从而使极限的计算得到简化.定理7若函数在处阶可导,且,则当时,变上限积分与是等价无穷小,即.证明 由于,已知条件,可得因此利用洛比达法则可以得到根据定理8,可以得到以下结论:推论1 若函数在处阶可导,且则当时有推论2 若函数在处阶可导,且则当时有推论3 若函数在处阶可导,且则当时有在定理8中,若取,则可以得到以下结论:若函数在处阶可导,且,则当时有;特别的,当时,可以得到下面引理:引理 若函数在处阶可导,且,则当时有例9 求 解 在中, ,当时, ;在中,当时, 所以极限 定理8设为时的无穷小量, ,且与在上连续,则有证明：因为,所以例10（1）求极限.解 由于当时, ， 定理9若与在上连续,则 证明 例11 (1)求极限.解 因为所以当时,所以.5 ，定理10设为时的同号无穷小量, 且则当时,级数与有相同的敛散性.证明 （1）当为正项级数时,且对,存在着正整数,当时,有,即,由正项级数比较收敛法知与有相同的敛散性.（2）当为负项级数时,则有为正的,即,同（1）也可以得出具有相同的敛散性.例12 求极限 .解 令,于是参考文献：1 同济大学数学教研室.高等数学（上册）M.北京：高等教育出版社,1996.2 陈传璋等.数学分析（上册）M.高等教育出版社,1979.3 徐志军,张青山.和式极限求法初探J.四川教育学院学报,2001.4 李冬梅.一类特殊和式极限的简便求法J.鞍山师范学院学报,2004.5 于延荣.关于等价无穷小代换的若干结论J.