数学危机.pdf

三次数学危机三次数学危机 第一次数学危机第一次数学危机 数的发起第次数学危机全部靠整数的毕无理数的发现引起了第一次数学危机 对于全部依靠整数的毕氏 哲学 古希腊毕达哥拉斯学派 它是一个唯心主义学派 兴旺的 时期为公元前500年左右 这是一次致命的打击 无理数看来 与常识似乎相矛盾在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的与常识似乎相矛盾 在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的 因为与直观相反 存在不可通约的线段 即没有公共的量度单位 的线段 由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可 通约的所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的通约的 所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的 量上 这样 他们的关于相似形的一般理论也失效了 毕氏学派大约在公元前400年发现 直线上存在不对应任何有理数的点 他们证明了 这条直线上存在点p不对应于有理数 这里距离op等于边长 为单位长的正方形的对角线 因为这些数不可能是有理数 只好称它们为单位长的正方形的对角线 因为这些数不可能是有理数 只好称它们 为无理数 无理数的发现 是毕氏学派的最伟大成就之一 也是数学史 上的重要里程碑 第二次数学危机第二次数学危机第二次数学危机第二次数学危机 十七 十八世纪关于微积分发生的激烈的 争论 被称为第二次数学危机 到了十六 十七世纪 除了求曲线长度和 曲线所包围的面积等类问题外还产生了曲线所包围的面积等类问题外 还产生了 许多新问题 如求速度 求切线 以及求 极大 极小值等问题 经过许多人多年的 努力 终于在十七世纪晚期 形成了无穷努力 终于在十七世纪晚期 形成了无穷 小演算 微积分这门学科 这也就是数 学分析的开端学分析的开端 牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠 牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠 基者 他们的功绩主要在于 1 把各种问 题的解法统成种方法微分法和积分题的解法统一成一种方法 微分法和积分 法 2 有明确的计算微分法的步骤 3 微分法和积分法互为逆运算 第二次数学危机第二次数学危机 由于运算的完整性和应用范围的广泛 性 使微积分成为解决问题的重要工具 性 使微积分成为解决问题的重要工具 同时关于微积分基础的问题也越来越严重 以求速度为例 瞬时速度是 s t当 t趋向以求速度为例 瞬时速度是 s t当 t趋向 于零时的值 t是零 是很小的量 还是什 么东西 这个无穷小量究竟是不是零 这么东西 这个无穷小量究竟是不是零 这 引起了极大的争论 从而引发了第二次数 学危机 学危机 无穷小量究竟是不是零 两种答案都 会导致矛盾 会导致矛盾 也批判过微积分的一些问题 指出其 缺乏必要的逻辑基础缺乏必要的逻辑基础 无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量 无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量 因此本质上它是变量 而且是以零为极限 的量的量 第三次数学危机第三次数学危机第三次数学危机第三次数学危机 集合论是德国著名数学家康托尔于 集合论是德国著名数学家康托尔 G Cantor 于 19世纪末创立的 1874年 克雷尔数学杂志 上发表了关于无 穷集合论的第一章革命性文章 穷集合论的第章革命性文章 一系列关于集合的文章 奠定了集合论的基础 集 集合的定义 把若干确定的 有区别的 不论 是具体的或抽象的 事物合并起来 看作一个 整体 其中各事物称为该集合的元素 激烈反对克罗内克 Kronecker 庞加莱 激烈反对 克罗内克 Kronecker 庞加莱 Poincare 康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品 康托尔本人度成为这激烈论争的牺牲品 他得了精神分裂症 经历二十余年后 集合论最终获得了世界公认 经历二十余年后 集合论最终获得了世界公认 数学家们乐观地认为从算术公理系统出发 只 要借助集合论的概念 便可以建造起整个数学要借助集合论的概念 便可以建造起整个数学 的大厦 英国哲学家罗素 Russell 就很怀疑数学的这种英国哲学家罗素 就很怀疑数学的种 严密性 在某个城市中有一位理发师 他的广告词是这样写的 本人的 理发技艺十分高超 誉满全城 我将为本城所有不给自己刮脸的理发技艺十分高超 誉满全城 我将为本城所有不给自己刮脸的 人刮脸 我也只给这些人刮脸 我对各位表示热诚欢迎 自己 给自己刮脸 罗素悖论罗素悖论 设性质P x 表示 x x 现假 设由性质P确定了一个类A 也就是说 A x xx 那么现在的问题是 AA A x xx 那么现在的问题是 A A 是否成立 首先 若 A A 则A是A的元素 那么A具有性质P由性质P知AA其次 那么A具有性质P 由性质P知A A 其次 若A A 也就是说A具有性质P 而A是由所 有具有性质 的类组成的所以 有具有性质P的类组成的 所以A A 1908年 德国数学家策梅罗 E Zermelo 提出 公理化集合论公理化集合论 他认为悖论的出现是由于康托尔没有把集他认为悖论的出现是由于康托尔没有把集 合的概念加以限制 康托尔对集合的定义 是含混的是含混的 策梅罗的公理化集合论后来演变成ZF或ZFS 公理系统 从此原本直观的集合概念被建 立在严格的公理基础之上 从而避免了悖立在严格的公理基础之上 从而避免了悖 论的出现 这就是集合论发展的第二个阶 段 公理化集合论段 公理化集合论 在190