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文档简介

迭代法回顾 二分法 设f x 0的根为x 通过迭代计算产生序列 12 49 设f x 0的根为x 通过迭代计算 产生序列 迭代的思想 迭代法研究包括方面 迭代初值 迭代格式 判别收敛及收敛速度 12 49 数值分析 3 不动点迭代法不动点迭代的收敛性迭代序列的收敛速度序列收敛加速方法 12 49 f x 0 x f x 的根 的不动点 不动点迭代 FixedPointIteration 例如 最简单的可以取 x 称为不动点 12 49 不动点迭代 FixedPointIteration 选择适当的初始值x0 按照如下的迭代格式计算 如果数列 xn 是有极限 则称迭代 是收敛的 是非线性方程的根 的不动点 基本思想是将非线性方程求解归结为一系列显式的函数值计算 化繁为简化难为易 12 49 例1方程x3 4x2 10 0在 1 2 上有一个根 构造求根的不动点迭代格式 1 n 0 1 2 n 0 1 2 2 12 49 什么样的迭代格式收敛 12 49 证若或 显然有不动点 设 则有 记则有 所以 存在x 使得即 故x 是的不动点 压缩映像 12 49 12 49 如果有两个不同的不动点则有 两式相减得 由拉格朗日中值定理知 存在介于之间 使 故不动点唯一 12 49 12 49 定理2 3如果 满足条件 2 则对任意的x0 a b 迭代格式产生的序列 xn 收敛到不动点x 且满足 证 12 49 0 L 1 所以 故迭代格式收敛 12 49 12 49 不动点迭代法的局部收敛定理 收敛速度 数列的r阶收敛概念 设 若存在a 0 r 0使得 则称数列 xn r阶收敛 特别 1 收敛阶r 1时 称为线性收敛 2 收敛阶r 1时 称为超线性收敛 3 收敛阶r 2时 称为平方收敛 序列的收敛阶数越高 则收敛速度越快 12 49 12 49 定理2 6设x 是的不动点 且 而则p阶收敛 由Taylor公式 其中 介于xn和x 之间 所以 故迭代法p阶收敛 12 49 例2用不同迭代格式求方程x2 3 0的根 a b 12 49 nxn 2 00000001 75000001 73437501 73236081 73209231 7320563 0 06690 12940 13330 13380 1339 012345 nxn 2 00000001 75000001 73214281 73205081 73205081 7320508 0 06690 00512 657e 5 9 07e 8 012345 12 49 12 49 Aitken加速方法 加速收敛序列 12 49
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