数学建模 第四章概率统计模型.doc

第四章 概率统计模型 本章的目的不是系统地介绍概率论和统计分析的内容，而是利用概率论和统计分析的知识建立和分析实际问题，从而建立数学模型。 4.1 古典随机模型 一、古典概型 设E是随机试验，是E的样本空间，若 只含有有限个基本事件有限性； 每个基本事件发生的可能性相同等可能性。则称E为古典概型。在古典概型中，如果事件A是由全部n个基本事件中的某m个基本事件复合而成的，则事件A的概率可用下式来计算： 例1 配对问题某人先写了n封投向不同地址的信，在写n个标有这n个地址的信封，然后随意的在每个信封内装入一封信。试求信与地址配对的个数的数学期望。解：用表示“第i封信与地址配对”这一事件，则 为求，可利用一般加法公式来计算。第i封信可装入n个信封，恰好和地址配对的概率，故 如出现，第j封信共有n1个信封可以选择，故从而类似地可得到于是 q0与n有关，如记q0=q0(n),则利用q0不难求出qr。于是指定某r封信和地址配对，则这一事件的概率为其余nr封信中没有一个和地址配对的概率为由于r封信与地址配对共有种选法，故 设信与地址配对的对数为随机变量，则有数学期望直接计算有些困难，可设 则有 又由于 从而 这样一来，实际上我们还用概率的方法证明了下列恒等式 二、几何概型将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。一般讲，具有下列特点的概率问题称之为几何概型：（1）有一个可度量的几何图形，试验E看成是在中随机的投掷一点，即为样本空间。而事件A就是所投掷的点落在中的可度量图形A中。 （2）事件A的概率与A的度量L（A）成正比。几何概型的概率定义为 其中L表示测度，即度量，可以是长度、面积和体积。例2 蒲丰（Buffon）投针问题1777年法国科学家蒲丰提出了下列著名问题，这是几何概型的一个早期例子。平面上画有等距离为a的一些平行线，向此平面任投一长为l（l的针，试求此针与任意平行线相交的概率。解 以M表示针落下去后的中点，x表示中点M到最近一条平行线的距离，表示针与平行线的交角，那么，基本事件区域为 它为平面上的一个矩形，其面积为：。为使针与平行线（这线必定是与M最近的一条平行线）相交，其充分必要条件是: 显然A是中的一个区域。而A的面积为 从而所求概率为 三、贝努利概型 贝努利概型是一种描述在相同的条件下重复进行同一试验的数学模型。它的特点是：每次试验的结果只有两种可能，即事件A或；各此试验的结果相互独立。 再生产过程中，产品或者合格或者不合格；投篮时或者投中或者投不中；掷硬币时，或者出现正面或者出现反面等等，都可以用贝努利概型来描述。 为了建立模型的需要，我们用数值1和0分别表示贝努利试验中的两种对立的结果，并假设p(0p1)为1代表的结果（A）出现的概率，因而以0代表的结果（）出现的概率为1-p。则称随机变量 服从于贝努利分布或两点分布。 四、二项分布概型 假设在同一条件下，对贝努利概型所描述的试验，重复n次，设为在n次试验中事件A出现的次数。显然是随机变量，其取值范围为0，1，2，n。根据简单的组合理论可以证明，取这些值的概率为 其中p为事件A在一次试验中出现的概率；q=1-p为事件出现的概率。由于pk可分别表示成（p+q）n的展开式的各项，因此称服从于二项分布，简记为b(n,p)。 需要指出的是，当n较小时，可利用上式直接计算pk,但当n较大，根据p的大小可用另外的一些概率模型（泊松分布概型或正态分布概型）来逼近pk。 例3 巴拿赫（Banach）火柴盒问题 波兰数学家巴拿赫随身带着两盒火柴，分别放在左、右两个衣袋里，每盒有n根火柴，每次使用时，便随机的从其中一盒中取出一根。试求他发现一盒已空时，另一盒中剩下的火柴根数的分布律。 解：设A=取左衣袋中的一盒，=取右衣袋中的一盒。取一次火柴看作一次试验，而每次试验的结果有两个：A发生或发生。显然 P(A)=P( 为方便起见，我们约定取到左衣袋中的一盒叫“成功”，于是可以用贝努利概型来描述这个问题了。 此人首次发现左衣袋中的一盒是空的，这是他不是在作第n次成功的试验,而是作第n+1次成功的试验了，而此时右边一盒恰剩k根相当于在n+1次成功以前恰有n-k次失败，于是共作了(n+1)+(n-k)=2n-k+1此贝努利试验，即A发生了n+1次，发生了n-k次。但第2n-k+1次是成功的，而前2n-k次中有n次成功。因此，发现左衣袋中空时，右衣袋中恰有k根火柴的概率为 由对称性，若发现右边一盒已空而左边一盒剩k根的概率也是 设为发现其中一盒已空而另一盒剩下的火柴根数，则是一个离散型随机变量，取值范围是0，1，2，n，且的分布律为 2，n 五、几何分布概型考察一系列贝努利试验，设表示首次发生事件A的试验次数。即表示在第k次试验时，事件A才第一次发生，则的取值范围为1，2，k，。由于要使首次发生事件A在第k次试验，必须而且只需在前k次试验中都出现，而第k次试验出现A，所以根据的定义及各次试验的独立性，有 ，k=1,2,其中。概率pk可由首项取p，公比取q的几何级数的第k项给出，所以我们称上述随机变量服从于几何分布。简记为g(p)。在产品制造中，考察在首次出现一个不合格品之前所生产的产品个数，可以检验生产线的水平；在篮球比赛中，考察一个球队出现第一次罚球不中之前罚中球的个数，从而衡量一个球队发挥的稳定性。这些问题都可以用一个几何分布概型来描述。例4 生男生女问题已知人口中男女比例为49.5：50.5。假定这个比例一般是适用的，要求确定有5个孩子的家庭中：（1）至少有一个男孩；（2）至少有一个男孩和一个女孩；（3）只有最小的孩子是男孩的概率。解 若将一个孩子为男性的概率取作p，则p0.495。利用二项分布可得该家庭中有k个男孩的概率pk为 k 0 1 2 3 4 5 pk 0.0328 0.1610 0.3156 0.3093 0.1516 0.0297因此可得P至少有一个男孩1P无男孩10.3028=0.9672P至少有一个男孩和一个女孩1P无男孩P无女孩10.03280.0297=0.9375假定应用几何分布概型的条件是成立的，那么P只有最小的孩子是男孩 六、巴斯卡分布概型在一系列的贝努利试验中，设表示第r次发生事件A的试验次数。k表示在第k次试验时正好第r次发生事件A。那么的取值范围为r,r1,。由于在前k1次试验中r1次发生事件A，而kr次发生事件，所以有 称服从巴斯卡分布，记为f（r，p），显然当r=1时，即为几何分布。另一方面若以i记等待第i次事件A发生的试验次数（从第i1次事件A发生之后第一次试验算起至第i次事件A发生止）则i服从几何分布。而且 =1+2+r即将复杂的随机变量分解为简单的随机变量之和。一、 超几何分布概型对某批N件产品进行不放回抽样检查，若这批产品中有M件次品，现从中随机抽出n件产品。设表示这些产品中出现的次品数，那么的取值范围为0，1，2，n。其概率分布称为超几何分布： 当N很大而n较小时，它可用二项分布来近似。在产品的检验，质量控制方面有广泛的应用。例5 （钓鱼问题）为了估计湖中的鱼数，采用如下方式，现从湖中钓出M条鱼做上记号后又放回湖中，然后再从湖中钓出n条鱼，结果发现有条鱼标有记号，试问应如何估计湖中的鱼数N?解 第二次钓出的标有记号的鱼数，是一个随机变量，它服从超几何分布： 其中k为整数，且 。很自然地，我们把使达到最大的作为N的估计量。考虑到求导数的困难性，我们采用如下方式来分析：令，则有则有 当且仅当 因此L（k,N）在附近取最大值，于是N的估计量为 八、泊松分布概型 这是一种应用很广泛的随机模型，因为有许多随机现象服从泊松分布。这种情况特别集中在两个领域中：一是社会生活。对服务的各种要求，诸如总机接到的呼叫次数，服务机构中顾客的到达，城市中的交通事故，来到公共汽车站的乘客数等等，都近似服从于泊松分布,因此在运筹学和管理科学中这种分布的使用有很重要的地位。二是物理学。放射性分裂落到某区域的质点数，热电子的发射，显微镜下落在某区域的血球或微生物的数目等等都服从于泊松分布。 泊松分布是二项分布的极限分布。若把一个单位长度的区间分成n个长度都为的小区间，即=，取其中。将随机事件出现在某一个区间内看作是一次成功。应用二项分布概型，记 为成功次数，有 令对pk的表达式取极限，可得 而 因此可得 我们称服从于泊松分布，记为。其参数表示单位时间（或空间）内事件发生的次数。 当试验次数n较大，而p较小时，可用泊松分布近似代替二项分布，即在实际应用中有下面的近似公式 九、均匀分布 十、指数分布概型 如果连续型随机变量的密度函数为 其中为参数的指数分布。其分布函数为 指数分布概型有重要的应用，常用它来作为各种“寿命”分布的近似，如受随机因素的影响的产品寿命（像无线电元件的寿命），动物的寿命，机器两次故障之间的时间以及随机服务事件等等都可用指数分布来描述。 十一、正态分布概型 正态分布概型是一种很重要的、应用非常广泛的分布。一方面，正态分布是自然界很常见的一种分布，例如测量值的偶然误差；炮弹弹落点的分布；人的生理特征的尺寸：身高、体重等等；农作物的收获量；某班学生的考试成绩；工厂产品的尺寸：直径、长度、密度、高度，等等都近似服从正态分布。利用概率论的中心极限定理可以证明，如果描述随机现象的随机变量是由大量的相互独立的随机因素所引起的，而每个因素所起的作用又不太大，则这个随机变量服从正态分布。另一方面它还可用来较好的逼近其它一些模型，二项分布概型就是其中之一。前面已提到，对于较大的n值，较小的p值，可用泊松分布概型来逼近。但当n较大且p并不太小时，就可用正态分布来逼近。应当注意，二项分布概型适用于离散变量，而正态分布概型适用于连续变量，因此当用正态分布概型作为二项分布概型的近似时，还应采取下列步骤：（1）将离散值k看作是区间k1,k2内的连续量；（2）在n次贝努利试验中，成功概率为p，成功的平均值为np，相应的标准差为，其中q=1-p，那么有中心极限定理，计算的概率 例6 供电问题 设某车间有200台车床互相独立的工作，由于经常需要检修、测量、调换刀具、变换位置等种种原因，即使在生产期间，各台车床开动时亦需要停车。若每台车床有60%的时间在开动，而每台车床在开动时需要耗电1千瓦，问应该供给这个车间多少电力才能保证在8小时生产中大约有半分钟因电力不足而影响生产？为求m使 又np=120,npq=48,s所以得 查表得 所以m=141. 4.2 轧钢中的浪费 用连续热轧方法制造钢材时要经过两道工序，第一道是粗轧（热轧），形成钢材的雏形；第二道是精轧（冷轧），得到规定长度的钢材。粗轧时由于设备、环境等方面随机因素的影响，钢材冷却后的长度大致上呈正态分布，其均值可以在轧制过程中由轧机调整，而其方差则是由设备的精度决定，不能随意改变，精轧时把多出规定长度的部分切掉，但是如果发现粗轧后的钢材已经比规定长度短，则整根报废。精轧设备的精度很高，轧出的成品材可以认为是完全规定长度要求的。根据轧制工艺的要求，要在成品材规定长度l和粗轧后钢材长度的均方差已知的条件下，确定粗轧后钢材长度的均值m，使得当轧机调整到m进行粗轧，再通过精轧以得到成品材时的浪费最小。设粗轧后钢材长度为x，x是均值为m，均方差为的正态随机变量，其密度函数为 其中已知，m是待确定的值。当成品材的规定长度l给定后，记的概率为P，即P=P,P是图中阴影部分面积。 轧制过程中的浪费由两部分组成，一是当时，精轧时要切掉x-l的钢材；二是当xl时，长x的整根钢材报废。由图可以看出，m变大时曲线右移，概率P增加，第一部分的浪费随之增加，而第二部分的浪费将减少；反之，当m变小时曲线左移，虽然被切掉的部分减少了，但是整根报废的可能将增加。于是必然存在一个最佳的m，使的两部分的浪费综合起来最小 这是一个优化模型，建模的关键是选择合适的目标函数，并用已知的和待确定的量把目标函数表示出来。一种很自然的想法是直接写出上面分析的两部分浪费，以二者之和作为目标函数，于是容易得到总的浪费长度为 利用上式可简化为 W=m-lP W是每粗轧一根钢材浪费的平均长度。设想共粗轧了N根钢材（N很大），所用钢材总长度为Mn，N根中可以轧出成品材的只有PN根，成品材总长为Lpn，于是共浪费的长度为Mn-lPN，平均每粗轧一根钢材浪费长度为 于前式相同。那么以W为目标函数是否合适呢? 轧钢的最终产品是成品材，浪费的多少不应以每粗轧一根钢材的平均浪费量为标准，而应该用每得到一根成品材浪费的平均长度来衡量。为了将目标函数由前者改为后者，只需将上式左端分母改成成品材总数PN，即 因为l是已知常数，所以目标函数可等价的只取上式的右端第一项，即 始终P(m)表示P为m的函数，实际上，J=J1+l恰是每得到一根成品材所需钢材（粗轧后）的平均长度。 下面求m式J(m)达到最小。 若记，并记T(z)=J(m)，则 令得 即 上述方程比较复杂，可利用数值解法求解，由于z0,所以可以证明上式只有唯一的解z*使J(z)取得极小值，从而可以求出使J(m)取得极小值的m。 上述模型中假定当粗轧后钢材长度x小于规定长度l时就整根报废，实际上这种钢材还常常能轧成短一些，比如长l1(l1l)的成品材，只有当xl1时才报废。或者说当x1，且各种自然状态出现的概率pj可通过某种途径获得时的决策就是风险决策问题。1 最大可能准则由概率论知识，一个事件的概率就是该事件在一次事件中发生的可能性大小，概率越大，事件发生的可能性就越大。基于这种思想，在风险决策中我们选择一种发生概率最大的自然状态来进行决策，而不顾及其它自然状态的决策方法，这就是最大可能准则。在例1中若按最大可能准则进行决策，则采用决策A1方案显然是最优方案。2 期望值准则（决策树法）如果把每个行动方案看作随机变量，在每个自然状态下的效益值看作是随机变量的取值，其概率为自然状态出现的概率，则期望值准则就是将每个行动方案的数学期望计算出来，视其决策目标的情况选择最优行动方案。用决策树法求解例1构造决策树如图，其中表示决策点，从它引出的分支称为方案分支，其数目就是方案数。表示机会节点，从它引出的分支称为概率分支，每条概率分支代表一种自然状态，并标有相应状态发生的概率。称为末梢节点，右边数字表示各方案在不同自然状态下的益损值。计算各机会节点的期望值，并将结果表在节点上方，在比较各节点上表值的大小，进行决策，在淘汰方案分支上标号，余下方案即为最优方案。例2 某工程采用正常速度施工，若无坏天气的影响，可确保在30天内按期完成工程，但据天气预报，15天后天气肯定变坏，有40的可能出现阴雨天气，但这不会影响工程进度；有50的可能遇到小风暴而使工期推迟15天；另有10的可能遇到大风暴而使工期推迟20天。对于以上可能出现的情况，考虑两种方案：（1） 提前加班，确保工程在15天内完成，实施此方案需增加额外支付18000元；（2） 先维持原定的施工速度，等到15天后根据实际情况再作对策：1）若遇阴雨天，则维持正常速度，不必支付额外费用。2）若遇小风暴，则有下述两个供选方案：一是抽空（风暴过后）施工，支付工程延期损失费20000元，二是采用应急措施，实施此措施可能有三种结果：有50的可能减少误工期一天支付延期损失费和应急费用24000元；有30的可能减少误工期2天，支付延期损失费和应急费用18000元；有20的可能减少误工期3天，支付延期损失费和应急费用12000元。3）若遇大风暴，则仍有两个方案可供选择：一是抽空施工，支付工程延期损失费5000元；二是采取应急措施，实施此措施可能有三种结果：有70的可能减少误工期2天，支付延期损失费和应急费用54000元；有20的可能减少误工期3天，支付延期损失费和应急费用46000元；有10的可能减少误工期4天，支付延期损失费和应急费用38000元。试进行决策，选择最佳行动方案。因此，合理的决策应是开始以正常施工速度进行施工，15天后再根据具体天气情况作进一步决策，若遇阴雨天，则维持正常速度；若出现小风暴可采用应急措施；若出现大风暴，则进行抽空施工。 三、不确定型决策当风险决策问题的自然状态发生的概率既不知道、也无法预先估计或利用历史资料得到时的决策问题就成为不确定型决策问题。仍用N1,N2,，Nn表示决策问题中的自然状态，A1,A2,，Am表示行动方案，aij表示在自然状态Nj下采取第i中行动方案的益损值。下面介绍几种不确定性的决策准则。1 乐观准则乐观准则的思想就是对客观情况总是持乐观态度，事事都合人意，即选最大效益的最大值 所对应的行动方案作为决策。2 悲观准则悲观准则的思想就是对客观情况总是持悲观态度，万事都不会如意，即总是把事情的结果估计的很不利，因此就在最坏的情况下找一个较好的方案。也就是在每个状态下的最小效益值中选最大值 所对应的行动方案作为决策。3 等可能准则等可能准则的思想就是既然不能断定那种自然状态出现的可能性大小，就认为各自然状态出现的可能性相同，即 。然后按风险决策的方法进行决策。例3某厂有一种新产品，其推销策略有S1,S2,S3三种可供选择，但各方案所需资金、时间都不同，加上市场情况的差别，因而获利和亏损情况不同，而市场情况有三种：N1需求量大,N2需求量一般,N3需求量低。市场情况的概率并不知道，其效益值见下表：市场情况N1N2N3销售策略S15010-5S230250S3101010(1) 用乐观法进行决策；(2) 用悲观法进行决策；(3) 用等可能法进行决策。从本例可以看出，对不确定型的决策问题，采用不同的决策准则所得到的结果并非完全一致。但难说哪个准则好，哪个准则不好。究竟在实际问题中采用哪个准则，依决策者对各种自然状态的看法而定。因此，为了改进不确定型决策，人们总是设法得到各自然状态发生的概率，然后进行决策。 4.4层次分析法模型层次分析法（The Analytic Hierarchy Process即AHP）是由美国运筹学家、匹兹堡大学教授T.L.Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合评价方法，是在充分研究了人们的思维过程的基础上提出来的，它较合理的解决了定性问题定量化的处理过程。AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人们的判断转化为若干因素两两之间重要度的比较上面，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要性的总的排序。整个过程体现了人决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其它方法回避决策者主观判断的缺点。一、 层次分析法的基本方法与步骤运用层次分析法进行决策，大体上可分为四个步骤：（1） 分析系统中各因素之间的支配关系，建立系统的递阶层次结构；（2） 对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断矩阵；（3） 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验；（4） 计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。下面具体说明这四个步骤的实现方法。1递阶层次结构的建立复杂问题的决策因涉及的因素比较复杂，通常是比较困难的，应用AHP的第一步就是将问题涉及的因素条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题的组成被分成若干部分，称之为元素。这些元素又按其属性及关系形成若干层次，上一层次的元素对下一层次的有关元素起支配作用，这些层次可以分为三类：最高层：又称目标层，这一层次的元素只有一个。一般它是分析问题的预定目标或理想结果。中间层：又称准则层，这一层次包括了为实现目标所设计的中间环节，它可以由若干层次组成，包括所需考虑的准则和子准则。最底层：又称方案层，这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施，决策方案等。 上述层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支配下一层次的所有元素，而仅支配其中的部分元素，这种自上而下的支配关系所形成的层次结构称为递阶层次结构。一个典型的层次结构如下图所示： 决策目标准则1准则2准则3子准则1子准则2子准则3方案1方案2方案3 目标层 准则层 方案层 在递阶层次结构中层次数与问题的复杂程度及需分析的详尽程度有关，一般层次不受限制，每一层次中的各元素所支配的元素不要超过9个。因为支配元素过多会给两两比较判断带来困难，如果超过9个，可以考虑合并一些因素或增加层次数。无论那种情况，都要在对问题进行深入研究的情况下进行，以便使之具有一定的合理性。一个递阶层次结构应具有以下特点：（1）从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示。除目标层外，每个元素至少受上一层一个因素支配。除最后一层外，每个元素至少支配下一层一个元素，上下层元素的联系比同一层次强，以避免同一层次中不相邻元素存在支配关系；（2）整个结构中，层次数不受限制；（3）最高层只有一个元素，每一个元素所支配的元素一般不超过9个，元素过多时可以进一步分组；（4）对某些具有子层次的结构可引入虚元素，使之成为递阶层次结构。2构造两两比较判别矩阵层次分析法的特点之一是定性与定量相结合，定性问题定量化，第二步就是要在已有的层次结构的基础上构造两两比较的判别矩阵。在这一步中，决策者要反复回答问题，针对准则C，两个C所支配的元素ui与uj哪个更重要，重要程度如何，并按19标度对重要程度赋值。下表给出了19标度的含义。标度含义1ui与uj具有相同的重要性3ui比uj稍重要5ui比uj重要7ui比uj强烈重要9ui比uj极端重要2,4,6,8ui与uj重要性质比介于以上相邻两者之间倒数若ui与uj重要性之比为aij,则uj与ui之比为aji=1aij这样对于准则C，几个被比较元素通过两两比较构成一个判断矩阵A=(aij)n*n,其中，aij就是元素ui与uj相对于C的重要度比值。判断矩阵具有性质：aij0, aji=1/aij, aii=1, i ,j=1 , 2 , n 具有这种性质的矩阵A称为正互反矩阵。由判断矩阵所具有的性质知，一个n阶判断矩阵秩序只需给出其上三角或下三角的n*(n-1)/2各元素就可以了，即只需作n*(n-1)/2次两两比较判断。若判断矩阵A同时具有性质：，则称A为一致性矩阵。并不是所有的判断矩阵都具有一致性。事实上，AHP中多数判断矩阵（三阶以上）不满足一致性，一致性及其检验是AHP的重要内容。3单一准则下元素相对权重计算及一致性检验这一步要在第二步的基础上，从给出的每一判断矩阵中求出被比较元素的排序权重向量，并通过一致性检验确定每一判断矩阵是否可以接受。（1）权重计算方法,10和法：取判断矩阵n个列向量（针对n阶判断矩阵）的归一化后算术平均值近似作为权重向量，即有 i=1,2,，n例如列向量归一化 按行求和 归一化 20根法（几何平均法）将A的各个列向量采用几何平均然后归一化，得到的列向量近似作为加权向量。， i=1,2,，n30 特征根法（EM）求判断矩阵的最大特征根及对应的右特征向量，分别称为主特征根于右主特征向量，然后将归一化后的右主特征向量作为排序权重向量。特征根法是AHP中提出最早，也最为人们所推崇的方法。除以上方法外还有对数最小二乘法，最小偏差法，梯度特征向量法等。（2）特征根法原理及算法设w=(w1,w2,，wn)T是n阶判断矩阵A的排序权重向量，当A为一致性矩阵时，显然有可以验证 且n为矩阵A的最大特征根，A的其余特征根为0，A的秩为1。对一般的正互反矩阵，根据正矩阵的Perron定理可知，其最大特征值为正，且它对应的右特征向量为正向量，最大特征根为A的单特征根，因而它所对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的。特征根法是借用数值分析中计算正矩阵的最大特征根和特征向量的幂法实现的。常用的数学软件Mathematica等也都具有这种功能。（3）一致性检验前面提到，在判断矩阵的构造中，并不要求判断矩阵具有一致性，这是客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的，19标度也决定了三阶以上判断矩阵是很难满足一致性的。但要求判断有大体上的一致性是应该的，出现甲比乙极端重要，乙比丙极端重要而丙又比甲极端重要的判断，一般是违背常识的，一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策的失误，而且上述各种计算排序权重的方法当判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠性程度也就值得怀疑了。因此需要对判断矩阵的一致性进行检验，其检验步骤为：（i）计算一致性指标C.I.(Consistent Index) (ii)查找相应的平均随机一致性指标R.I.(Random Index)，下表给出了112阶正互反矩阵的平均随机一致性指标。矩阵阶数123456R.I.000.520.891.121.26矩阵阶数789101112R.I.1.361.411.461.491.521.54 (iii)计算一致性比率C.R.(Consistent Ratio) 当C.R.A1A2（“”表示优先于）利润分