数学分析中悬而未决的问题_欧阳耿.pdf

第 卷第 期 年 月 吉 安师专学报 自然科学 数学分析中悬而未决的问题 欧阳耿 雌州师范学院 漳州 摘要 讨论了数学分析中未解决的新 旧问题 分析存在于几代数学分析荃础理论中的缺 陷 提出了解 决间题的一条思路 关键词 数学分析 间题 年代初 美国数学家罗滨逊提出了非标准数学分析理论 为数学分析理论的发展增添了 一个新的篇章 如果我们把牛顿 莱布尼兹时代的数学分析理论称为第一代数学分析理论 将 标准分析称为第二代 那么 非标准分析可被称为第三代数学分析理论 通常 人们认为建立在实数连续统 上的第二代数学分析理论已经很完善了 而第三代理论 诞生后 不少 人又认为它将成为未来的数学分析理论 但是 从下 面的讨论中 我们将清楚地看 到 第二代理论实际上没有从本质上 解决数学的第二次危机 而第三代理论也 同样不具备解决 这危机的能力 三代理论有着共同的本质性缺陷 无穷小增 悖论与第二次数学危机 至少从阿基米德时代起 无穷小量方法已是力学和几何学里的一个重要工具 到 了 世纪 除了求曲线长度及曲线所包围的面积等类问题外 还产生了诸如求速度 切线和极大 极 小值等新问题 终于 在 世纪晚期形成了微积分这门科学 新诞生的微积分方法一方 面以其运 用的广 泛性和运算的完整性证实了它自身的价值和科 学性而迅速地成长 壮大 成 为解决问题的重要 工具 同时 也因其运算过 程中所存在的一种前 所未有的神秘性而 暴露了数学中与有穷 无穷概念体系相关的基础理论的缺陷 使人们走上 了 漫长的探索 微增量 性质之路 以求落体的瞬时速度为例 用 表示时间的无 穷小增量 表示相应的距离增量 我 们要 求 这是个有穷数值 为了求出 到 之间的距离增量 要求当 时 落体 一 二 二 一 二 的 位置 告 丫 再求 当 时落 体的位置 令 只 一 一 一 川 一 一 口 降 我们可求出距离的增量 要 丫 所以 所求的瞬时速度就 是比值 一 刁 一姗 一 一 一 一 曰 一 一一 一一 一 尹月 尽 一 即甲 儿 一 二一 一 令 这时需 令 得 一 一 一一 一 一 沪二 一 丫一 一 一 了 一 一 产一 在这样的一种数学运算中 人们称 为无 穷小 但无穷小是什么 它 只能有一种身份 不 是 就是非 的有穷数 可是 事实却是不管它是 或某有穷数都会 导至悖论 人们将此运算 收稿日期 一 一 收修改稿日期 一 一 吉安师 专学 报 自然科学 年 过 程中所存在的逻辑矛盾称为 第二次数学危机 著名的贝克莱道出了这危机的本质 他说 因为 当说到增 量消失 即 增量不存在或 没有增 量 那么 原先增量为某数或有增量的假定就被 破坏 了 但却保留了在这假定下推出的结论 即靠它 得 到的表达式却被保留了 这是 错误的推 理 方法 之谜耗费了人类大量的心血 但实际 上 是传统的有穷 无穷概念体系的缺陷导致 了第二 次数学危机的产生 第二代数学分析理论中的新 旧问题 人们普遍认为 经过 近 年的努力之后所创立的第二代数学分析理论彻底解决了数学 的第二次危机 这理论想通 过在微积分中赶走无穷小来达到巩 固其基 础的目的 对于上 述求瞬 时速度的例子 其作法 是放弃了把它 当作 无穷 小增量的比值来计算的企图 而把它定 义为有穷 增量的比值所逼近的极 限 令山为一变动的有穷增量 山 为相应地变化着的距离增量 那 么 山 山 是变量 匀 所以 由定义 当 一 时的瞬时速度就是 对 于以极限论为基础的这种作 法 实际上人们还有不少优虑一方面人们发觉 在操作上 第一代理论中那个 先不为 而被引进 参与运算 然后宣布为 而被扬弃 的过 程实际 上完 全等价于第二代理 论中的 山 先 不充分变小 山 而被引进算式 参 与运算 然后突然宣布 它充分变小 匀 而被扬弃 的过程 另一方面 从理论上看 在第一代理论中 人们无 法阐 明为什么同一个 一会 可以说它是非 的很小的数 一会儿又可以说它是 而第二代理论 中 人们也同样无法 阐明 为什么同一个匀 一会儿可以说它是 变 动的有男增量 一会儿又可 以说 它 是 变动的充分小 的量 或叫 无 限趋于 的量 事实说 昵 第一代中的 之谜 就是 第二代理论 中的 山之谜 只不过 是换了一种说法而已 还有 在第二代数学分析 理论中 人 们用 一 少 语言来定义 山 可是也 用这完全相同的 一 护 语言来定义无穷小 明摆着的事实 是 只要 在数学中承认无 限 就没办 法在数学分析中避 开无穷小 可 见 第二代理论根本没有能 力真的从 数学分 析 中赶走 无穷 小 而仅是在某些场合中给 原来的那固定 无 穷小以及与之相关 的数学内容换些称呼而已 原来的 确实是给换上了一种很玄的 似有似无的名称 变量 无穷 小已不是一种固定 的数 而是一 种处 于不 断变化 中的变量 这 下子问题 解决了 因为它既 然是变量 则 可在 任何时候变成你所需要的数量 形式 比如在求导数过 程 中 同一 个山 你可 以说 它 还 不 充分变 小 而 将它 引入算式 参与有 穷数 的各 种运算 而 当 你想将它从式中赶走 时 只要 搬出那 一 占 语 言 过一道例 行手续 再说声 这 时 山已充分变小 它就 不知去 向了 这里有个使少 感到 无法搞清楚的问题是 究竟该在何时 对变量办理 一 语言手续 而让它 们一 下子都成 为 无 限趋于 的数学 内容 竟然没有 任何理 论根 据 凭感觉 凭需 要 这情况恰 恰又与当初少 们批评 在第一代分析 理论中对无 穷小任意办理 令 的手续 使其一下子突然变 成 的情 况完 全一样 此外 第二代理论中还有一种很 有趣的情 况 理 论上 必 须一 口咬定 变动 的无 限趋于 的量 不是数 但实际 上 只要这样的数学内容出现 在数学里 有 穷数的算式中 却 谁也 不 敢说它们不是数 而将它们从算 式里赶走 倒是老老 实实地 让它们与 各 种有 穷 数一起进 行只有 数学 里的 有穷数 才可以有 的各 种运算 所以 只要冷 静一 点 认真 一点 人们马上会发 现 实际 上标 准分析 的基础 理论根本无法 解决贝克莱 悖论 根本无法 解决数学 的第二次危机 当然 在微积分 问题 中 少 们事 先已都知道了正确的结 果 因此 想 怎样 去称 呼那个山 打 算怎样 去解释与山有关的那一切 似 乎都无关紧要 有关争论可无休止地进 行下去 可是在下 面这个与调和级数敛散性有关的证明中 以下简称 原 证 所发现的新的疑难 却给人们提出 第 期 欧阳耿数学分析中悬而未决的问题 了完全不同的另一类新的问题 这不同的情况可帮我们从另一角度来认识存在于第二代分析 理论 中的缺陷 才 声 口曰 矛 一 一 十 一 一 于 令万 一 十 了 产 口口 连 了 一 扩 一 告 含 一 合 告 奋 告 告 二 二 十 七二 下一六 十 二 州 二 叶 乙 州卜 乙 叫 一 气二了 乙 一 卜 一 山 一 这个证明最早是 于 年左右在 欧几里德几何问题 小册子 中给 出的 我们可 在现有的 由任何语言所写的许多数学分析 书中看到这个被公认的 很简单但却有着不寻常意 义的证明 对它有两种解释 对级数 加上 无穷多 个括 号而 得到一 个新的 含有无穷多个大于 的数的正数项 无穷常增级数 然后 通过 的新级数 的发散性证得级数 发散 对级数 加上许多个括号而 得 在 此 大于任给正数 然后取极 限 当 时 因此 而证得级数 发散 原证 中的思路与作法是数学中传统的有穷 无穷概念体系和与之相关的极限论很 彻底而 又自然 的表现 对 于第一种 解释 承认无穷常减 的调和级数 中的 这一事实 原证中那种 使用 多项式 加括号法则去处理 调和级数中的无穷多个 一 的数量形式而制造出无穷多个大于 的量 的思路与作法不妥 这个古 老 的证 明 中有个新 被发现的问题 如 想对级数 加 上 无穷多个 括 号 而制造出无穷多个大于 的量 就要求级数 提供无穷多个被加的量 即需 一 但是当 时 按 定义 级数中必 出现无数以 二 l im价 一 l im叭 一 的形式所表 现的那类数量形式 而使如此多项式运算的加 括号法则再也没办法制造出任何大于1 2的量 了 所以 如此加括 号法则仅能处理 调和级数中的一部分数项而制造出许多个大于 1 2 的量 但却没有 能 力处理调 和级数中的 无穷数项而得 到无穷多个大于 1 2 的量 如果 原证中那种 随心所 欲的作法是 允许的 那我们只要改变原证中的加括号 法 则 依法炮 制 就 可将调和级数变成任意的正数项无穷常增 级数 这样 一个 的无穷常减级数就可 以象变戏法一样变成了任意的 s 二的无穷常增级数 难道这样两 种性质上有很大区别的无 穷级数果然真的可以互相 转化 这只能给原来的 无 穷 无 穷小 概念再 添上一层神秘的色 彩 人们不 自觉地在现代数学分 析 中以不同 的语 言再 现了古老的 人龟 赛跑 芝诺悖论 这 样 的悖论 会以不同的形 式反复出现 是 由传统有穷 无穷理 论体系的缺陷所造成 的 对于第二种解 释 我 们承认 可对级 数 的有 穷数项 加上有穷多个括 号而 得s k 1 2 但如果接 下去说 要取极 限 而 断言 当 n 二 k 一 c o 因此 c o 就错了 因为 当我 们说 c o时 实际上就 同时承认了l im u一 l i m u 一 二 这类事实的存在 而再也没有 原 料 让那 样的一种 多项式 加括号法去 制造出任何大于 1 2 的数了 这决定k根本 就不具 备趋于c o 的条件 5 o o的推论是没有根 据的 在原证 中 有 穷与无 穷的概念是那 样的模糊不清 取极 限 是 那样的随心所 欲 我们清楚地看到 在整个证 明中 竟然可以不 必分析级数中的 u 0是 什么意 思 竟然可以 只字不提 无 穷常减 级数中 是 否存在 无 限 趋于 的数量形式 或 无穷 吉安师 专学报 自然科学 1995 年 小 如果有 该如何处 理 它们 为什么要那样处理 比如说 能否象在求导数的运算中那样 对 这 些无穷 小数项 或叫无限趋于 的量 过 一道气 一古 语言的手续 而让 它们都从多项式加法 运算式中消失 是数学家把这 些 问题 给忘了吗 不 问题的关键是 在 传统 的有穷 无穷理 论体 系中该在什么时候对什么样的数学内容取 极 限毫无 理论根据 而更 重 要的是 在传统 的体系 中 无穷 是个很 笼统的数学内容 它根本无法 明确地表现与无穷概念相关的各种数量形式 这必然使人们无法认识调和级数中 u 0 所表示的数学意义 该如何认识与处理这类与 u o 有关的无数数项 人们心里是无数的 既然古人 想那样 处理调和级数中的数项 大家就别多嘴 就 是 了 以免再引来一场 不可 能有结局的争论 换句话说 以现有数学中传统的有穷 无穷理论 体系和与之相关的极限论 谁也无法自圆其说地回答 用那样一种加括号 法则去处 理调和级 数 究 竟能制造出多少个大于 1 2 的量 有穷 多个或无穷多个 很明显 不管是 哪种结论都 会产生悖论 3 第 三代数学分析理论中所存在的 问题 罗滨逊教授在 非标准分析 一书的再版序言中指出 非标准分析之所以 比标准分析好而 能成为未来的数学分析理论 有两个理 由 第一个理由 他说 虽然将来的情况也许会有变化 但是迄今为止我们所提出的非标准方 法 相对于公认的数学原理 如Z e rm e l 一 F ra n k e l公理 包括选择公理 来 说毕竟是保守的 这 就 是说 一个 非标 准证明总 能用 一个 标准证明来代替 虽然 后者 可能比较复杂并且 不直 观 所 以本书作者抱有这种观点 即对一种特殊的数学学科 是否采用非标准分析 这只是个选择间 题 自然 每个人 实际上 怎 样取舍 依赖于他早年所受 的训练 而 在 另一篇文章 非标准又 沪红 x 模型 I 理论物理中的非标准分析方法 的引言中 他说 使用非标准分析 我们能获得随时 合乎于用标 准方 法计算所要求的结 果 而 且我们还能在非标准系统 中重新解 释这些结果 这 第一 个理 由很明确 地表明标准分析与非标准分析之间的主要区别就 在操 作上 的简繁性及所用 语言的不同上 其实我们也从一些已出版的书中看到 不少人已将第二代数学分析中的内容翻 译成第三代中的内容 对 于上述 那求 自由落体 瞬时速度的例子 翻译后的情况如 下 标准分析 令扩 1十出 山 为一 变 动的正有穷数 则 尹 一 喜 义9 8 1 2 乙 匀 一 了9 8山 又9 冬 丫9 8 乙 一 9 8 李 乙 8山 给 定 不论 多小的正数 可选 占一 4 9 那么对 一切 山 占 与 山 一 9 8一4 9 t 4 9古 瞬 时速 度 l im 山 山 9 8 非标准分析 令t l一 1 d t d 为正 无 穷小数 第5期 欧阳耿数学分析中悬 而未决的问题 则 一 粤 义 9 乙 8 l d t 2 d s 一 s 一 s 9 sdt 又 9 1 十 下丁 入 乙 s d tZ d s d t 9 sd t 因 为 d t 是 无穷小数 故 9 sd t 也是 无穷小 9 8 是标准数 故瞬 时 速度 为ds d t的标准实数部 分二 9 8 第二个理 由讲的是由紧致性 定理 所推证 出的新无穷小在数学分 析 中的意义 正如我们所知道的那样 这 两点已成 了许多人认 为非标准分析比标准 分析 优越而要 成 为 未来的数学分析理论的理由 但实际上 这样的理由说明不 了任何问题 对 于第一种理由 从 上面的讨论 中我 们已知道 第二代理 论的 主要 缺陷并 不在于它太繁 琐 太复杂 而在于其基础理论的缺陷 从所周知 如都不考虑解决问题的能力而只考虑操作上 的 简繁性 这 三代理论 要属第一代最 简 整 个运算过 程干 脆利 索 然而 做 这样 的比较毫 无 意 义 既然第二代分析理论 具有很本质性的缺陷 而决定第三代理论优越性的第一个理 由竟然 是 第二 三代分析理论的所有内容之间都可以互 相翻 译 人们很 自然 地会产生这 样 的疑 问 为 什 么有那么大的把握 说一 个非标准证明总能用一个标准证明来代替 第二代数学分 析中所存在 的那些无法解决的问题是 否随之就以不 同的形式出现在第三代数学 分析 中 再看第二个理 由 首先我们认为第一代分析理论中的那个旧无穷小第二代中的那个 变 动的无限趋于 0的量 以及第三代中的那个新无 穷小 这 三者 之间并没有什么本质性区别 在 定义 上 它们都是大于 小于任给正实数的数学内容 只不过是由于其理 论体系在形式上的限 制而决定了它们在叫法上该有所区别 在操作上 它们都是来去相当自由的东西 且 看它们是如 何被赶出算式的 在第一代中 某 时 人们说声 令 其为 它就不见了 在 第二代中 人们麻烦 一点 先过道 一沙 语言手续 再说 声 取极 限 它就 无影无踪 了 在第三代中 人们说声 取 标准数 它就 消失 了 换一种 场合 再看三代理 论对 调和级数 中 一 这 类数项的认识与处 理 也都毫无区别 其次 我们冷静地将第二代理论中的 点 与第三代理 论 中的 单 子 进 行 比较 我们会发 现 第二代理论中的 点及 其邻域 的结构就等价于第三代中的 单子 的结构 点的 任意小 也 被叫作无 穷小 邻域 则等价于 单子中的无穷小部分 不同阶的 变动的无限趋于 的量 有 时也被叫作不同 阶的无穷小 就 等价于 不 同层次的单子中的无穷小 而运算过程中的 取极 限步骤 就 等价于 取标准数步骤 可见这 新无 穷小 实际上一 点儿也不新 正 是由于这样一种深 层结构中的等价性 才导致 了 一 种非标准证 明总能由一种标准证明来代替 确保了第二 三代数学 分析内容之 间可以互 相翻译的可行性 而 这深层 结构中的等价性是由相同的那 种传统的有穷 无穷理论体系所决定 的 关于非 标准分析理论通 过单子 结构第一次对层次概念 作出数学刻划的说法言过其实 因 为 非标准分析理 论所做的仅 是在 同一个传统 古典 的有穷 无 穷理论体系框架内对 标 准分析中 有关内容开展 一场改名换姓的运动而已 这决定 了这样一种不够彻底的 新 无穷 小理论不可 能解决数学分析中原来所存在的那些谜与问题 不可能成为未来的 数学分 析理论 吉安师专 学报 自然科 学 1995年 4 结论 第一 二 三代数学分析中都存在着其理论体系无法解决的完全相同的谜与问题 根本的 原