中学物理中的-微元-思想.pdf

中学物理 V 0 1 2 9N o 0 12 0 1 1 年1 月 教材研究 中学物理中的 微元 思想 徐卫兵 西安交通大学苏州附属中学江苏苏州2 1 5 0 2 1 高中物理新教材中的 微元 思想学生感到不好理解和 不易接受 因此有些学生不会运用 微元 思想去解决应用问 题 为了使学生了解 微元 思想的实质与来龙去脉 深刻体 会 微元 思想的合理性和优越性 从而自觉掌握和运用它去 解决有关实际问题 本文想就 微元 思想的来源 意义和分 类等有关问题进行初步的论述与探讨 供教学参考 1 微元 思想的产生及意义 比较系统的 微元 思想于公元1 7 世纪中叶在牛顿 莱 布尼兹等大科学家手中诞生 1 8 世纪 微元 思想被成功地 应用于物理学 天文学 几何学 解释行星运动三大规律 推 出万有引力定律 计算彗星轨迹 切线斜率 质点运动速度等 自然现象 促使 微元 思想迅速成长 微元 主要解决两类 问题 变化率问题和积累问题 其他许多问题都可以转 化为这两类问题加以解决 变化率问题即研究非均匀变化的 变量的局部变化规律 例如 变速直线运动物体的瞬时速度 曲线在任一点处的切线斜率等 这类问题即求函数在某一点 的变化率问题 解决这类问题的基本思想是 先考虑指定点 附近的变化情况 即由指定点适当扩大到该点附近的一个小 范围来考察 在这个小范围内 近似的以 不变代变 以静 代动 求得平均变化率 该平均变化率近似等于该点处的瞬 时变化率 再将小范围无限缩小而趋向于零 促使 近似 转 化为 精确 从而求得函数在指定点处的变化率 这就是微 分问题 积累问题即研究非均匀变化变量的无限积累问题 例如 求不规则图形的面积 曲面的面积 非均匀物体的质量 等 这类问题即无限求和问题 解决这类问题的基本思路是 先将整体化为有限个微小的局部 化整为零 在每个局部 以直代曲 以不变代变 再积零为整求和式 得到整体的 近似值 最后 再使每一局部无限变小 通过求和式极限 促 使 近似 转化为 精确 从而得到积累问题的准确值 这就 是微元后的累积问题 以上两类问题本质不同 但解决问题 的方法有异曲同工之妙 都是先讨论局部范围内的近似状 态 再通过求极限 促使局部近似状态浓缩到单点的精确状 态 变化率问题 或促使局部近似状态累积到整体的精确状 态 积累问题 这就是 微元 思想 该思想方法是人们在长 期实践中积累的正确方法 具有普通性 1 7 世纪中叶 微元 思想和方法 催生了牛顿经典力学和万有引力定律 与热力 学结合 导致了第一次工业革命的出现 推动了社会的发展 1 9 世纪初 在 微元 思想基础上 电磁学迅速发展 引发了 第二次工业革命 2 0 世纪中后期 微元 思想与经济学 管 理学结合 系统地 精确地量化了西方经济学理论 成功解决 了古典最优化问题 推动了世界经济的快速发展 2 微元 思想在高中物理新课标中的渗透 微元 法是解决物理问题的基本思想方法之一 它贯穿 于高中阶段的物理知识体系 渗透于一些物理概念 公式中 取 微元 作为研究对象 可准确地描述变化的物理过程中瞬 间状态 微元再求和更是解决物理过程中变量积累问题的重 要方法 物理新课标教材尤其重视用 微元 思想理解物理概 念 使抽象的概念易于理解 现以人民教育出教社高中物理 教材为例列举如下 A 必修一 平均速度掣 警 当A t 取无限小时 口就可以 J 理解为某一时刻的速度 瞬时速度 加速度口 等 等 是速度变化率 当血取无限小时 加速度口就可以理解为某 一时刻的加速度 关于位移的公式利用口一t 图象进行的推 导 是先微元再进行累加的 必修二 线速度口 尝 当A t 取很小时 口即为瞬时速 度 而且学生更能理解速度的方向为什么是切线方向了 关 一 于 向心加速度公式的推导 向心加速度口 警 当出取 H 很短时 向心加速度沿半径方向 再比如在研究重力做功和 弹簧的弹力做功时都用了先微元再累加的方法 选修3 一l 关于电容器充放电 通过实验得到i t 图象 然后通过面积累加的方法 求得放电的电量 从以上列举的事例看 说明了物理新课程改革对 微元 思想的重视 引进 微元 之后 不仅对学生理解位移 向心加 速度等概念的物理意义提供了帮助 使他们对物理知识有了 更深刻的理解 同时也将数学中的思想渗透给了学生 使他 们体会到了 数理结合 的无穷魅力 3应用 微元 思想处理问题的关键 中学物理中应用 微元 思想处理问题的关键是什么时 候需要用微元法以及如何微元 第一 通过教材中对有关微 元思想不断渗透 让学生掌握 微元 思想的实质 第二 通过 有典型性 复杂性和代表性的例题的讲解说明何时需要用微 元法处理问题 第三 找出与例题相应的练习题 让学生自己 运用这种方法分析解决问题 可采用分组的方式 让学生自 己探究 讨论 寻找解决问题的方法 第四 教师根据学生分 2 3 万方数据 2 0 1 1 年1 月 V 0 1 2 9N o 0 1 中学物理 析过程中存在的问题加以点拨 指导 帮助学生寻找正确的 解题方法 4 微元 思想的分类 在使用 微元 处理问题时 需将其分解为众多微小的 元对象 或 元过程 而且每个 元对象 或 元过程 所遵 循的规律是相同的 这样 我们只需分析这些 元对象 或 元 过程 然后再将 元对象 或 元过程 进行必要的数学方法 或物理思想处理 进而使问题求解 使用此方法会加强我们 对已知规律的再思考 从而引起巩固知识 加深认识和提高 能力的作用 4 1 将研究对象微元 当所研究的对象较为复杂时 有时我们可能需要将所研 究的对象微元化才能用所学的物理概念或规律进行处理 有 的微元后还要累加 但也有的微元后不需要再累加 4 1 1 微元后累加 当以整个物体为研究对象进行研究无法处理 而取物体 中的极小部分进行研究 各部分所遵循的规律相同时 可以 用 微元 法分析这一极小部分的情况 再进行累加 如有关 电置 质量问题等 例1 电量Q 均匀分布在半径为R 的圃环上 如图1 所 示 求在圆环轴线上距圆心O 点为z R 处的P 点的电场 强度 4 9 络蜀 毒蜀 7 7 7 图l 解析 在圆环直径的两端对称地取两段微元研究 设 其电量均为 g 它们在P 点处的场强的合场强 E 学一 器耐5 暴伽 E E 祭 匈 地4 R 2 方向 沿O P 连线向外 4 1 2 微元后不累加 有一类问题中 要求物体内部之间的作用情况 若以整 体为研究对象无济于所求问题 取微元为研究对象时 就能 找到该微元上各物理量之间的联系 结合物体之间的受力分 析和物理规律 问题就迎刃而解 例2 如图2 所示 一质量均匀分布的细圆环 其半径为 R 质量为m 假设此环均匀带正电 总电量为Q 现将此环 平放在绝缘的光滑水平桌面上 并处于磁感应强度为B 的均 匀磁场中 磁场方向竖直向下 当此环绕通过其中心的竖直 轴以匀角速度 沿图示方向旋转时 环中的张力等于多少 设圆环的带电量不减少 不考虑环上电荷之间的作用 2 4 X X XX 图2 解析当环静止时 因环上没有电流 在磁场中不受 力 则环中也就没有因磁场力引起的张力 当环匀速转动时 环上电荷也随环一起转动 形成电流 电流在磁场中受力导 致环中存在张力 显然此张力一定与电流在磁场中受到的安 培力有关 由题意可知环上各点所受安培 力方向均不同 张力方向也不同 因而只 能在环上取一小段作为研究对象 从而求 出环中张力的大小 在圆环上取 L R A 9 圆弧元 受力情况如图3 所示 因转动 4 n 角速度c c 而形成的电流J 掣 电流元 二以 上 L 所受的安培力 图3 F 脚 券Q B 舶 因圆环法线方向合力为圆弧元做匀速圆周运动所需的向 心力 2 T s i n 掣一 F 撇2 R 当幼很小时 蓟n 竽 竽 吼n f r 脚一靴 材R 因为 m 挚 所以 聊一挚 唼 解得圆环中张力为 丁 筹 Q B 枷 4 2 将研究过程微元 当物体的运动过程较为复杂或不明确时 有时可能要把 过程微元才能弄清物体的运动情况或才能选用物理规律处 理问题 其中有的微元后用面积累加 有的微元后用方程式 累加 也有的微元后不需累加 4 2 1微元后用面积累加 由于图象具有直观 形象 简明的特点 物理上常将抽象 复杂的物理过程用图象表示出来 来分析解决物理问题 有 时图象所围的面积具有一定的意义 如图4 所示为变速直线 运动的口一f 图形 我们把质点在t 一 2 的一段时间分成许 多小的时间间隔 在每一个小问隔内运动可以近似地看作是 匀速的 第i 段的位移可近似地表示为 砖 让 其数值 等于相应间隔的图线下方的一条矩形的面积 则在时间t 一 t 内的位移可表示为 万方数据 中学物理 V 0 1 2 9N o 0 1 2 0 1 1 年1 月 s 规 研 龇 一 了 图4圈5 它在数值上等于图线下对应时间区域内的面积 再比如图5 所示为力的方向在一条直线上 大小随时间变化的F t 图 象 我们把变力F 作用的t 一t 的一段时间分成许多小的时 间间隔 在每一小间隔内物体受力可以近似看作是恒力 第i 段力的冲量可以近似地表示为J F f 其数值上等于 相应间隔的图线下方的一条矩形的面积 则力F 在时间t 一 t 2 内的冲量可表示为 H J l i m E z l t j 了 它在数值上等于图线下方对应区间内的面积 还有象F z 图象的面积表示这个力做的功 i t 图象 的面积表示t 时间流过的电量等 由于这类具体问题较多 这里不选择具体题目说明 4 2 2 微元后用方程式累加 有些物理过程不能直接用物理公式表示时 可能需要对 这一过程中的一小段进行研究 而各段所遵循的规律相同 即所列方程形式一样 再将这些方程累加 就可求出所需物 理量 例3从地面上以初速度7 o 竖直向上抛出一质量为所 的球 若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系 球运动的速率随时问变化规律如图6 所示 t 时刻到达最高 点 再落回地面 落地时速率为口 且落地前球已经做匀速 运动 求 图6 1 球抛出瞬间的加速度大小 2 球上升的最大高度H 勰析 1 空气阻力 f 轫 落地前匀速运动 则 m g 一奴 l 0 刚抛出时加速度大小为口 则 解得 m g 幻o2 撇o 口 1 署 g 2 上升时加速度为口 有 一 m g k v 撇 矗 口2 一g 一 7 钉 取极短出时间 速度变化 掣 有 可 础 一础一砉让 又 以f 厶 上升全程 刁 0 一硼一g A t 一砉 出 则 口 g t l 砉H H 鱼虻 丑堕 g 4 2 3 微元但不必累加 当物体发生的过程不知道遵循什么规律时 有时可以取 一极小过程加以分析 极易正好发现全部过程的规律 例4空间某一静电场的电势p 在z 轴上分布如图7 所 示 轴上两点B C 点电场强度在z 方向上的分量分别是E 玉 既 下列说法中正确的有 母 太 7 一 口oCx I c l7 A E t 的大小大于E 的大小 B E 玉的方向沿z 轴正方向 C 电荷在 点受到的电场力在z 方向上的分量最大 D 负电荷沿z 轴从B 移到C 的过程中 电场力先做正 功 后做负功 解析 本题的人手点在于如何判断E 玉和E 的大小 由图象可知在z 轴上各点的电场强度在z 方向的分量不相 同 如果在z 方向上取极小的一段 可以把此段看作是匀强 电场 用匀强电场的处理方法思考 从而得到结论 在B 点和 C 点附近分别取很小的一段d 由图象可知 B 点段对应的电 一 势差大于C 点段对应的电势差 看作匀强电场有E 掣 可 见E 玉 E A 项正确 同理可知0 点场强最小 电荷在该 点受到的电场力最小 C 项错误 沿电场方向电势降低 在0 点左侧 如的方向沿z 轴负方向 在0 点右侧 E 的方向 沿z 轴正方向 所以B 项错误 D 项正确 实践证明 微元 思想应用非常广泛 所以深刻理解并准 确掌握