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第三章一元函数微分学的应用 本章简介 本章将在建立了导数概念和解决了导数计算的基础上学习微分中值定理 并由此引出计算未定型极限的方法 洛必塔法则 并以导数为工具 讨论函数及其图形的性态 解决一些实际问题 本章重点 微分中值定理 洛必塔法则 函数的极值 最值及其求法本章难点 微分中值定理 函数的最值及其应用 函数的凹凸区间及拐点求法 本节内容提要 第一节中值定理 一 罗尔定理 二 拉格朗日中值定理 三 柯西中值定理 本节重点罗尔定理 拉格朗日中值定理的条件和结论 几何意义及应用本节难点罗尔定理 拉格朗日中值定理的应用教学方法启发式教学手段多媒体课件和面授讲解相结合教学课时2课时 一 罗尔定理 定理 如果函数f x 满足 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 3 f a f b 则在 a b 内至少存在一点 使得几何意义 在每点都有切线的一段曲线上 若两端点的高度相同 则在该曲线上存在一条水平切线 注 1 点不一定唯一 2 定理的条件是充分的 但非必要的 例1 不用求出函数f x x 1 x 2 x 3 x 4 的导数 说明方程有几个实根 并指出它们所在的区间 解 f x 是一个边续可导函数 且f 1 f 2 f 3 f 4 0f x 在 1 2 2 3 3 4 上都满足罗尔定理的条件 存在 1 2 2 3 3 4 使即至少有三个实根 I 1 2 3 又是三次方程 它至多有三个不同的实根 综上所述有三个实根 分别位于区间 1 2 2 3 3 4 内 返回 二 拉格朗日中值定理定理如果f x 满足 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 则在 a b 内至少存在一点 使得注 若拉格朗日中值定理满足f a f b 即为罗尔定理几何意义 在每点都有切线的一段曲线上至少存在一点P f 使曲线在该点的切线平行于两端点的连线 推论1设函数f x 在 a b 内可导 且则f x 在区间 a b 内是一个常数 推论2设函数f x 和g x 在 a b 内可导 且则f x 和g x 相差一个常数c 即例3 证明 1 在 1 1 上恒有 2 对任何实数恒有 返回 三 柯西中值定理定理如果函数f x 与F x 满足 在闭区间 a b 上连续在开区间 a b 内可导在 a b 内的每一点处均不
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