九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题5.doc

九年级教学中考资料抛物线与存在性问题抛物线与存在性-5一、解答题（共30小题）1、（2008济南）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a0），顶点C（1，3），与x轴交于A，B两点，A（1，0）（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PMAE于M，PNDB于N，请判断是否为定值若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FGEP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断是否成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由2、（2008昆明）如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（9，0）（1）求A，C两点的坐标；（2）求证直线CD是M的切线；（3）若抛物线y=x2+bx+c经过M，A两点，求此抛物线的解析式；（4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得SPAM：SCEF=：3，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（注意：本题中的结果均保留根号）3、（2008临沂）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标4、（2008辽宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2x+c（a0）经过A，B，C三点（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由5、（2008连云港）如图，现有两块全等的直角三角形纸板，它们两直角边的长分别为1和2将它们分别放置于平面直角坐标系中的AOB，COD处，直角边OB，OD在x轴上一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板沿直尺边缘平行移动当纸板移动至PEF处时，设PE，PF与OC分别交于点M，N，与x轴分别交于点G，H（1）求直线AC所对应的函数关系式；（2）当点P是线段AC（端点除外）上的动点时，试探究：点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等？请说明理由；两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标；若不存在，请说明理由6、（2008茂名）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过A（0，4）、B（x1，0）、C（x2，0）三点，且x2x1=5（1）求b、c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形；若不存在，请说明理由7、（2008南平）如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A，C分别在x轴，y轴上，点B坐标为（m，）（其中m0），在BC边上选取适当的点E和点F，将OCE沿OE翻折，得到OGE；再将ABF沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到AGF，且OGA=90度（1）求m的值；（2）求过点O，G，A的抛物线的解析式和对称轴；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得OPG是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点P的坐标（不要求写出求解过程）8、（2008莆田）如图：抛物线经过A（3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点（1）求抛物线的解析式（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC有最小值？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由（注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=）9、（2008青岛）已知：如图，在RtACB中，C=90，AC=4 cm，BC=3 cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ若设运动的时间为t（s）（0t2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC；（2）设AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由10、（2008沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由11、（2008苏州）如图，抛物线y=a（x+1）（x5）与x轴的交点为M，N直线y=kx+b与x轴交于P（2，0），与y轴交于C若A，B两点在直线y=kx+b上，且AO=BO=，AOBOD为线段MN的中点，OH为RtOPC斜边上的高（1）OH的长度等于_；k=_，b=_；（2）是否存在实数a，使得抛物线y=a（x+1）（x5）上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与AOB相似？若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点（简要说明理由）；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PBPG10，写出探索过程12、（2008十堰）已知抛物线y=ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（1，0），与y轴的正半轴交于点C（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由13、（2008乌兰察布）两个直角边为6的全等的等腰直角三角形RtAOB和RtCED，按如图一所示的位置放置，点O与E重合（1）RtAOB固定不动，RtCED沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点E运动到与点B重合时停止，设运动x秒后，RtAOB和RtCED的重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；（2）当RtCED以（1）中的速度和方向运动，运动时间x=2秒时，RtCED运动到如图二所示的位置，若抛物线y=x2+bx+c过点A，G，求抛物线的解析式；（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上运动，试问点P在运动过程中是否存在点P到x轴或y轴的距离为2的情况，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由14、（2008西宁）如图，已知半径为1的O1与x轴交于A，B两点，OM为O1的切线，切点为M，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y=x2+bx+c的图象经过A，B两点（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM的函数解析式；（3）线段OM上存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与OO1M相似请问有几个符合条件的点P并分别求出它们的坐标15、（2008武汉）如图1，抛物线y=ax23ax+b经过A（1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx1（k0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值；（3）如图2，过点E（1，1）作EFx轴于点F，将AEF绕平面内某点旋转180后得MNQ（点M，N，Q分别与点A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标16、（2008乌鲁木齐）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在C上（1）求ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由17、（2008湘西州）已知抛物线y=（x+2）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，C点在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OBOC）是方程x210x+16=0的两个根（1）求A、B、C三点的坐标；（2）在平面直角坐标系内画出抛物线的大致图象并标明顶点坐标；（3）连AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），过E作EFAC交BC于F，连CE，设AE=m，CEF的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（3）的基础上说明S是否存在最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时BCE的形状；若不存在，请说明理由18、（2008湘潭）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（5，0）、B（6，6）和原点（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B的直线y=kx+b与抛物线交于点C（2，m），请求出OBC的面积S的值；（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OF图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由19、（2008重庆）已知：如图，抛物线y=ax22ax+c（a0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEAC，交BC于点E，连接CQ当CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）问：是否存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由20、（2009长沙）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（3，0）、C（0，），且当x=4和x=2时二次函数的函数值y相等（1）求实数a，b，c的值；（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连接MN，将BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由21、（2009赤峰）如图，RtABC的顶点坐标分别为A（0，），B（，），C（1，0），ABC=90，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，），以点D为顶点y轴为对称轴的抛物线过点B（1）求该抛物线的解析式（2）将ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B，求证：四边形AOCB是矩形，并判断点B是否在（1）的抛物线上（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由22、（2009成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）2+c（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为y=kx3，与x轴的交点为N，且cosBCO=（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？23、（2009朝阳）如图，点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，4），将ABO绕点O按逆时针方向旋转90后得ABO，点A的对应点是点A，点B的对应点是点B（1）写出A，B两点的坐标，并求出直线AB的解析式；（2）将ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，点D在AB上，点D不与A，B重合）如图，使点B落在x轴上，点B的对应点为点E设点C的坐标为（x，0），CDE与ABO重叠部分的面积为S试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；当x为何值时，S的面积最大，最大值是多少？是否存在这样的点C，使得ADE为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由24、（2009定西）如图1，抛物线y=x22x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）图2、图3为解答备用图（1）k=_，点A的坐标为_，点B的坐标为_；（2）设抛物线y=x22x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线y=x22x+k上求点Q，使BCQ是以BC为直角边的直角三角形25、（2009德城区）如图所示，已知抛物线y=x21与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求A、B、C三点的坐标；（2）过点A作APCB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由26、（2009达州）如图，抛物线y=a（x+3）（x1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（2，6）（1）求a的值及直线AC的函数关系式；（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N求线段PM长度的最大值；在抛物线上是否存在这样的点M，使得CMP与APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由27、（2009崇左）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax2经过点B（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由28、（2009鄂州）如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CEEO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由；（2）令m=，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若CO=1，CE=，Q为AE上一点且QF=，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；（4）在（3）的条件下，若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由29、（2009鄂尔多斯）已知：t1，t2是方程t2+2t24=0的两个实数根，且t1t2，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OPAQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，当平行四边形OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使OPAQ为正方形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由30、（2009海南）如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0t3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由答案与评分标准一、解答题（共30小题）1、（2008济南）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a0），顶点C（1，3），与x轴交于A，B两点，A（1，0）（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PMAE于M，PNDB于N，请判断是否为定值若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FGEP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断是否成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）已知抛物线的顶点坐标就可以利用顶点式求函数的解析式（2）AB是圆的直径，因而ADB=AEB=90，得到PNAD，得到=，同理=，这样就可以求出的值（3）易证AEB为等腰直角三角形，过点P作PHBE与H，四边形PHEM是矩形，易证APMPBH，则，再证明MEPEGF，则因而可证解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x1）23（1分）将A（1，0）代入：0=a（11）23，解得a=（2分）所以，抛物线的解析式为y=（x1）23，即y=x2x（3分）（2）是定值，=1（4分）AB为直径，AEB=90，PMAE，PMBE，APMABE，所以同理：（5分）+：（6分）（3）直线EC为抛物线对称轴，EC垂直平分AB，EA=EB，AEB=90，AEB为等腰直角三角形，EAB=EBA=45（7分）如图，过点P作PHBE与H，由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形PH=ME且PHME在APM和PBH中，AMP=PBH=90，EAB=BPH=45，PH=BH，且APMPBH，（8分）在MEP和EGF中，PEFG，FGE+SEG=90，MEP+SEG=90，FGE=MEP，PME=FEG=90，MEPEGF，由、知：（9分）（本题若按分类证明，只要合理，可给满分）点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及相似三角形的对应边的比相等2、（2008昆明）如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（9，0）（1）求A，C两点的坐标；（2）求证直线CD是M的切线；（3）若抛物线y=x2+bx+c经过M，A两点，求此抛物线的解析式；（4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得SPAM：SCEF=：3，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（注意：本题中的结果均保留根号）考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）已知了M的坐标和圆的半径即可求出A点坐标，连接MC可在直角三角形OMC中，用勾股定理求出OC的长，即可得出C点的坐标（2）连接MC，证MCCD即可根据OD的长和OC的长，不难得出ODC=30，同理可在直角三角形OCM中，求出OMC=60，由此可得出DCM=90，由此可得证（3）将M、A的坐标代入抛物线中求解即可（4）本题可先求出三角形CEF的面积，然后根据两三角形的面积比求出三角形PAM的面积，由于AM是定值，根据三角形PAM的面积即可求出P点的纵坐标的绝对值，代入抛物线中即可求出P点的坐标解答：解：（1）连接CM，由题意得：OM=3，OB=3，OE=9，MC=6OA=OM+MA=3+6=9A（9，0）OC=3C（0，）（2）证法一：在RtDCO中，DC=6在DCM中，CM2+DC2=144DM2=（DO+OM）2=（9+3）2=122=144CM2+DC2=DM2DCM直角三角形MCDC，而MC是M的半径CD是M的切线证法二：在RtCOM中，sinMCO=，MCO=30在RtDOC中，tanDCO=，DCO=60DCM=MCO+DCO=90MCDC，而MC中的M半径（3）由抛物线y=x2+bx+c经过点M（3，0）和点A（9，0），可得：解得：抛物线的解析式为：y=x212x+27（4）存在设抛物线的对称轴交x轴于点H在（2）中已证：DCO=60，CDO=30抛物线的对称轴平行于y，CEF=DCO=60OD=OA=9，CO垂直平分ADCAO=CDO=30在RtAFH中，AFH=60EFC=60CEF是等边三角形过点C作CGEF于点G，则CG=6可得：EF=4，SCEF=EFCG=46=12；若点P在轴的上方，设点P坐标为（x，y），SPAM=AMy=3y，SPAM：SCEF=：33y：12=：3，解得：y=4当y=4时，即x212x+27=4，解得x=6P（6，4）或（6+，4）若点P在x轴上，则点P与点M或与点A重合，此时构不成三角形若点P在x轴下方，设点P的坐标为（x，y）SPAM=AM（y）=3y，SPAM：SCEF=：33y：12=：3解得：y=4当y=4时，即x212x+27=4，解得解得x=6P（6，4）或（6+，4）这样的点共有4个，P（6，4）或（6+，4）或（6，4）或（6+，4）点评：本题考查了圆和二次函数的相关知识，难度较大3、（2008临沂）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）由于A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解（3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角，便可解答解答：解：（1）抛物线与y轴交于点C（0，3），设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a0），根据题意，得，解得，抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）存在由y=x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，得x2+（3y）2=（x1）2+（4y）2，即y=4x又P点（x，y）在抛物线上，4x=x2+2x+3，即x23x+1=0，解得x=，1，应舍去，x=，y=4x=，即点P坐标为若以CD为一腰，点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为（2，3）符合条件的点P坐标为或（2，3）（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，得CB=，CD=，BD=，CB2+CD2=BD2=20，BCD=90，设对称轴交x轴于点E，过C作CMDE，交抛物线于点M，垂足为F，在RtDCF中，CF=DF=1，CDF=45，由抛物线对称性可知，CDM=245=90，点坐标M为（2，3），DMBC，四边形BCDM为直角梯形，由BCD=90及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）点评：此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、等腰梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性4、（2008辽宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2x+c（a0）经过A，B，C三点（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）抛物线解析式中有两个待定系数a，c，根据直线AC解析式求点A、C坐标，代入抛物线解析式即可；（2）分析不难发现，ABP的直角顶点只可能是P，根据已知条件可证AC2+BC2=AB2，故点C满足题意，根据抛物线的对称性，点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意；（3）由于B，F是定点，BF的长一定，实际上就是求BM+FM最小，找出点B关于直线AC的对称点B，连接BF，交AC于点M，点M即为所求，由（2）可知，BCAC，延长BC到B，使BC=BC，利用中位线的性质可得B的坐标，从而可求直线BF的解析式，再与直线AC的解析式联立，可求M点坐标解答：（1）解：直线y=x与x轴交于点A，与y轴交于点C点A（1，0），C（0，）点A，C都在抛物线上，抛物线的解析式为y=x2x顶点F（1，）（2）存在：p1（0，），p2（2，）（3）存在理由：解法一：延长BC到点B，使BC=BC，连接BF交直线AC于点M，则点M就是所求的点，过点B作BHAB于点H，B点在抛物线y=x2x上，B（3，0），在RtBOC中，tanOBC=OBC=30，BC=2在RtBBH中，BH=BB=2BH=BH=6，OH=3，B（3，2）设直线BF的解析式为y=kx+b，解得，y=，解得，M（）在直线AC上存在点M，使得MBF的周长最小，此时M（）解法二：过点F作AC的垂线交y轴于点H，则点H为点F关于直线AC的对称点，连接BH交AC于点M，则点M即为所求过点F作FGy轴于点G，则OBFG，BCFH，BOC=FGH=90，BCO=FHGHFG=CBO同方法一可求得B（3，0）在RtBOC中，tanOBC=OBC=30，可求得GH=GC=GF为线段CH的垂直平分线，可证得CFH为等边三角形AC垂直平分FH即点H为点F关于AC对称点，H（0，）设直线BH的解析式为y=kx+b，由题意得，解得，y=，解得，M（），在直线AC上存在点M，使得MBF的周长最小，此时M（）点评：考查代数几何的综合运用能力，体现数学知识的内在联系和不可分割的特点5、（2008连云港）如图，现有两块全等的直角三角形纸板，它们两直角边的长分别为1和2将它们分别放置于平面直角坐标系中的AOB，COD处，直角边OB，OD在x轴上一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板沿直尺边缘平行移动当纸板移动至PEF处时，设PE，PF与OC分别交于点M，N，与x轴分别交于点G，H（1）求直线AC所对应的函数关系式；（2）当点P是线段AC（端点除外）上的动点时，试探究：点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等？请说明理由；两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：操作型；探究型。分析：（1）根据直角三角板的直角边长分别为1和2可知：AB=OD=2，OB=CD=1即A点的坐标是（1，2）；B点的坐标是（2，1）可根据A、B的坐标用待定系数法求出直线AC的函数解析式（2）M到x轴的距离就是M的纵坐标，而BH的长就是P的横坐标减去OB的长，可先根据直线AC的解析式设出P点的坐标，那么可得出BH的长根据GPH的正切值，可表示出GH的长，也就求出了G点的坐标然后求点M的纵坐标可先根据OC所在直线的解析式设出M点的坐标，然后将M点的坐标代入直线PG的解析式中（可根据P，G两点的坐标求得）可得出M纵坐标的表达式，然后同BH的表达式进行比较即可得出M到x轴的距离是否与BH相等根据我们可得出M、N、G三点的坐标，然后根据阴影部分的面积=OMN的面积OMG的面积即可得出关于S的函数解析式然后根据函数的性质即可求出S的最大值以及对应的P的坐标解答：解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，知A，C两点的坐标分别为（1，2），（2，1）设直线AC所对应的函数关系式为y=kx+b有解得所以，直线AC所对应的函数关系式为y=x+3（2）点M到x轴距离h与线段BH的长总相等因为点C的坐标为（2，1），所以，直线OC所对应的函数关系式为y=x又因为点P在直线AC上，所以可设点P的坐标为（a，3a）过点M作x轴的垂线，设垂足为点K，则有MK=h因为点M在直线OC上，所以有M（2h，h）因为纸板为平行移动，故有EFOB，即EFGH又EFPF，所以PHGH故RtPHGRtPFE，可得故GH=PH=（3a）所以OG=OHGH=a（3a）=（a1）故G点坐标为（a1），0）设直线PG所对应的函数关系式为y=cx+d，则有解得所以，直线PG所对的函数关系式为y=2x+（33a）将点M的坐标代入，可得h=4h+（33a）解得h=a1而BH=OHOB=a1，从而总有h=BH由知，点M的坐标为（2a2，a1），点N的坐标为（a，a）S=SONHSOMG=NHOHOGh=aa（a1）=a2+a当a=时，S有最大值，最大值为S取最大值时点P的坐标为点评：本题着重考查了待定系数法求函数解析式、图形平移变换、三角形相似等重要知识点，综合性强，考查分类讨论，数形结合的数学思想方法6、（2008茂名）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过A（0，4）、B（x1，0）、C（x2，0）三点，且x2x1=5（1）求b、c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）把A（0，4）代入可求c，运用两根关系及x2x1=5，对式子合理变形，求b；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；（3）四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形解答：解：（1）解法一：抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，4），c=4又由题意可知，x1、x2是方程x2+bx+c=0的两个根，x1+x2=b，x1x2=c由已知得（x2x1）2=25又（x2x1）2=（x2+x1）24x1x2=b224b224=25解得b=当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去b=解法二：x1、x2是方程x2+bx+c=0的两个根，即方程2x23bx+12=0的两个根x=，x2x1=5，解得b=（以下与解法一相同）（2）四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又y=x2x4=（x+）2+抛物线的顶点（，）即为所求的点D（3）四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=3与抛物线y=x2x4的交点，当x=3时，y=（3）2（3）4=4，在抛物线上存在一点P（3，4），使得四边形BPOH为菱形四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（3，3），但这一点不在抛物线上点评：本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正方形的性质求抛物线上符合条件的点的方法7、（2008南平）如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A，C分别在x轴，y轴上，点B坐标为（m，）（其中m0），在BC边上选取适当的点E和点F，将OCE沿OE翻折，得到OGE；再将ABF沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到AGF，且OGA=90度（1）求m的值；（2）求过点O，G，A的抛物线的解析式和对称轴；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得OPG是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点P的坐标（不要求写出求解过程）考点：二次函数综合题。专题：开放型。分析：（1）根据折叠的性质可知：AB=AG=OG=，而OA=BC=m，那么在直角三角形OGA中即可用勾股定理求出m的值（2）由于OGA是个等腰直角三角形，已知了OA的长，因此不难求出G点的坐标，根据O，A，G三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式（3）本题要分情况进行讨论：当OP=PG，那么P点为OG的垂直平分线与抛物线对称轴的交点因此P与H重合，P点坐标为（1，0）当OP=OG，那么OPG为等腰直角三角形因此GH=PH=1，P点坐标为（1，1）当GP=OG时，GP=，因此P点的坐标为（1，1+），（1，1）（在G点上下各有一点）解答：解：（1）解法一：B（m，），由题意可知AG=AB=，OG=OC=，OA=m（2分）OGA=90，OG2+AG2=OA22+2=m2又m0，m=2解法二：B（m，），由题意可知AG=AB=，OG=OC=，OA=mOGA=90，GOA=GAO=45m=OA=2（2）解法一：过G作直线GHx轴于H，则OH=1，HG=1，故G（1，1）又由（1）知A（2，0），设过O，G，A三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c抛物线过原点，c=0又抛物线过G，A两点，解得，所求抛物线为y=x2+2x，它的对称轴为x=1解法二：过G作直线GHx轴于H，则OH=1，HG=1，故G（1，1）又由（1）知A（2，0），点A，O关于直线l对称，点G为抛物线的顶点于是可设过O，G，A三点的抛物线解析式为y=a（x1）2+1，抛物线过点O（0，0），0=a（01）2+1，解得a=1，所求抛物线为y=（1）（x1）2+1=x2+2x它的对称轴为x=1（3）答：存在满足条件的点P有（1，0），（1，1），（1，1），（1，1+）点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形翻折变换、三角形全等等知识点，综合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法8、（2008莆田）如图：抛物线经过A（3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点（1）求抛物线的解析式（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC有最小值？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由（注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=）考点：二次函数综合题。专题：压轴题；动点型。分析：（1）因为抛物线经过的三点为与两坐标轴的交点，故有两种方法（1）用一般式解答，（2）用交点式（两点式）解答；（2）找到变化过程中的不变关系：CDQCAB，根据相似三角形的性质计算；（3）因为A、C关于x=对称，所以MQ+MC的最小值即为MQ+MA的最小值，根据两点之间线段最段，A、M、Q共线时MQ+MC可取最小值解答：解：（1）解法一：设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x4）因为B（0，4）在抛物线上，所以4=a（0+3）（04）解得a=所以抛物线解析式为y=（x+3）（x4）=x2+x+4解法二：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），依题意得：c=4且解得所以所求的抛物线的解析式为y=x2+x+4（2）连接DQ，在RtAOB中，AB=5所以AD=AB=5，AC=AD+CD=3+4=7，CD=ACAD=75=2因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQBD，所以PDB=QDB因为AD=AB，所以ABD=ADB，ABD=QDB，所以DQAB所以CQD=CBACDQ=CAB，所以CDQCAB，=即=，DQ=所以AP=ADDP=ADDQ=5=，t=1=，所以t的值是（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小理由：因为抛物线的对称轴为x=所以A（3，0），C（4，0）两点关于直线x=对称连接AQ交直线x=于点M，则MQ+MC的值最小过点Q作QEx轴于E，QED=BOA=90度DQAB，BAO=QDE，DQEABO，=即=所以QE=，DE=，所以OE=OD+DE=2+=，所以Q（，）设直线AQ的解析式为y=kx+m（k0）则由此