2流体静力学(3).ppt

第二章流体静力学 2 1静止流体中应力的特性 2 2流体平衡微分方程 2 3重力场中流体静压强的分布规律 2 4流体的相对平衡 2 5液体作用在平面上的总压力 2 6液体作用在曲面上的总压力 第二章流体静力学 流体静力学 研究流体在静止状态下的力学规律 由于静止状态下 流体只存在压应力 压强 因此流体静力学这一章以压强为中心 阐述静压强的特性 静压强的分布规律 以及作用面上总压力的计算 静止流体中的应力具有以下两个特性 特性1 应力的方向沿作用面的内法线方向 证明 1 若N N面上 任一点应力P的方向 不是作用面的法线方向 则P可分解为法线应力Pn和切向应力 而静止流体不能承受剪切力 以上情况不能存在 2 又流体不能承受拉力 故P的方向只能和作用面的内法线方向一致 故静止流体中只存在压应力 压强 2 1静止流体中应力的特性 在静止流体中任取截面N N 将其分成 两部分 取 为隔离体 对 的作用由N N面上连续分布的应力代替 特性2 静压强的大小与作用面的方位无关 分析作用在四面体上的力 包括 表面力 由特性1 只有 PX Py PZ Pn 质量力 设在静止流体中任取一点0 包括0点作微元直角四面体OABC为隔离体 正交的三个边长分别为dx dy dz 以0为原点 沿四面体正交的三个边选坐标轴 四面体静止 各方向作用力平衡 式中 n x 为倾斜平面ABC 面积 An 的外法线方向与x轴夹角 除以上式得到 以三角形BOC面积 令四面体向0点收缩 对上式取极限 其中 同理 由 因为0点和n的方向都是任选的 故静止流体内任一点上 压强的大小与作用面方位无关 各个方向的压强可用同一个符号P表示 P只是该点坐标的连续函数 2 2流体平衡微分方程 2 2 1流体平衡微分方程 在静止流体内 任取一点O x y z 该点压强P P x y z 以O 为中心作微元直角六面体 微元六面体静止 各方向的作用力相平衡 以x方向为例 1 表面力 只有作用在abcd和a b c d 面上的压力 两个受压面中心点M N的压强 取泰勒级数展开式前两项 2 质量力 同理 y z方向可得 化简得 因为受压面是微小平面 PM PN可作为所在面的平均压强 故abcd和a b c d 面上的压力为 列x方向平衡方程 则有 用一个向量方程表示 二式为流体平衡微分方程 又称欧拉平衡微分方程 表明 在静止流体中各点单位质量流体所受表面力和质量力相平衡 对3个分式交叉求偏导数 为常数 可得 由曲线积分定理 是表达式Xdx Ydy Zdz为某一坐标函数U x y z 的全微分之必要且充分条件 即 满足此式的坐标函数U x y z 称为力的势函数 而具有势函数的力称为有势的力或保守力 由此得出 质量力有势是流体静止的必要条件 2 2 2平衡微分方程的积分 将各分式分别乘以dx dy dz 然后相加 得 上式等号左边是压强p x y z 的全微分 这样 流体平衡微分方程的全微分式 2 2 3等压面 等压面 压强相等的空间点构成的面 平面或曲面 例如液体的自由表面就是一个等压面 等压面的一个重要性质是 等压面与质量力正交 因等压面 P 常数 dp 0 证明 密度 0 则等压面方程为 可知和正交 由此证明等压面与质量力正交 即单位质量力与该点处任意线矢的数量积为0 例如 质量力只有重力时 因重力的方向铅垂向下 可知等压面是水平面 若重力之外 还有其他质量力作用 则等压面是与质量力的合力正交的非水平面 2 3重力场中流体静压强的分布规律 2 3 1液体静力学基本方程 1 基本方程的两种表达式 设重力作用下的静止液体 自由液面的位置高度为z0 压强为p0 液体中任意点的压强 由 实际工程中最常见的质量力是重力 因此 在流体平衡一般规律的基础上 研究重力作用下流体静压强的分布规律 更有实用意义 质量力只有重力 X Y 0 Z g带入上式得到 均质液体 密度 是常数 积分上式 由边界条件z z0 p p0 定出积分常数 代回原式 得 或以单位液体的重量 g除以 液体静力学基本方程式 2 推论 推论1 静压强的大小与液体的体积无直接关系 盛有相同液体的容器 各容器的容积不同 液体的重量不同 但只要深度h相同 容器底面上各点压强就相同 由液体静力学基本方程式可知 推论2 两点的压强差 等于两点间单位面积垂直液柱的重量 或 推论3 平衡状态下 液体内 包括边界上 任意点压强的变化 等值地传递到其他各点 帕斯卡原理 在平衡状态下 当A点的压强增加 P 则B点的压强变为 应用 水压机 液压传动设备 2 3 2气体压强的分布 1 按常密度计算 由流体平衡微分方程的全微分 质量力只有重力 X Y 0 Z g得到 按密度为常数 积分上式得 因气体的密度 很小 对于一般的仪器 设备 高度z有限 重力对气体压强的影响很小 可以忽略 故可认为各点的压强相等 例如 贮气罐内各点压强都相等 2 大气压强的分布 1 对流层 密度 随压强和温度变化 由完全气体状态方程式得 p RT 代入上式 得 对流层 从海平面到高程11km范围内 温度随高度上升而降低 约每升高1000m 温度下降6 5K 这一层大气 同温层 从11km至25km 温度几乎不变 恒为216 5K 56 50C 这一层 2 同温层 2 3 3压强的度量 1 绝对压强和相对压强 绝对压强 是以无气体分子存在的完全真空为基准起算的压强 pabs 相对压强 以当地大气压为基准起算的压强 p 国际上规定标准大气压 1atm 101325pa 工程界为便于计算 采用工程大气压 1at 98000pa 或1at 0 1Mpa 工程结构和工业设备都处在当地大气压的作用下 采用相对压强能使计算简化 例如 确定压力容器壁面所受压力 如内部压力用绝对压强计算 还要减去外面大气压对壁面的压力 用相对压强计算 就不需计算外面大气压的作用 开口容器 可忽略大气压沿高度的变化 则液面下某点的相对压强 工业用的各种压力表 因测量元件处于大气压作用 测得的压强是绝对压强超过当地大气压的值 乃是相对压强 故相对压强又称表压强或计示压强 以后有关压强的文字和计算 如不特别指明 均为相对压强 2 真空度 当绝对压强小于当地大气压 相对压强便为负值 又称负压 这种状态用真空度来度量 真空度 绝对压强不足当地大气压的差值 即相对压强的负值 例2 1立置在水池中的密封罩 试求罩内A B C三点的压强 解 已知开口一侧水面压强是大气压 因水平面是等压面 B点的压强以相对压强计 PB 0 C点压强 C点真空度 A点压强 2 3 4测压管水头 1 测压管高度 测压管水头 由静力学基本方程 Z A的位置高度或位置水头 物理意义 单位重量液体具有的 相对基准面的重力势能 简称位能 hp p g 测压管高度或压强水头 物理意义 单位重量液体具有的压强势能 简称压能 Z p g 测压管水头 物理意义 单位重量液体具有的总势能 Z p g c 静止液体中各点的测压管水头相等 测压管水头线是水平线 物理意义 静止液体中各点单位重量液体具有的总势能相等 2 真空高度 当某点的绝对压强小于当地大气压 即处于真空状态时 在该点接一根竖直向下 插入液槽内的开口玻璃管 槽内的液体沿玻璃管上升的高度hv 因玻璃管内液面的压强等于测点的压强 2 2密闭容器 侧壁上方装有U形管水银测压计 读数hp 20cm 试求安装在水面下3 5m处的压力表读值 解 U形管测压计的右支管开口通大气 液面相对压强 pN 0 N N平面为等压面 容器内水面压强 压力表读值 2 3用U形管水银压差计测量水管A B两点的压强差 已知两测点的高差 Z 0 4m 压差计的读值hp 0 2m 试求A B两点的压强差和测压管水头差 解 设高度h 作等压面MN 由PN PM 压强差 测压管水头差 由前式 整理得 2 5液体作用在平面上的总压力 工程上除要确定点压强之外 还需确定流体作用在受压面上的总压力 对于气体 因各点的压强相等 总压力的大小等于压强与受压面面积的乘积 对于液体 因不同高度压强不等 计算总压力必须考虑压强的分布 计算液体总压力 实质是求受压面上分布力的合力 2 5 1 解析法 1 总压力的大小和方向 设任意形状平面 面积A 与水平面夹角 选坐标系如图 计算方法有解析法和图算法 在受压面上 围绕任一点 h y 取微元面积dA上的微小压力 作用在平面上的总压力是平行力系的合力 为受压面A对ox轴的静矩 表明 任意形状平面上 静水总压力的大小等于受压面面积与形心点的压强的乘积 总压力的方向沿受压面的内法线方向 P 平面上静水总压力 hc 受压面形心点的淹没深度Pc 受压面形心点的压强 2 总压力作用点 总压力作用点D到ox轴的距离yD 根据合力矩定理 受压面A对ox轴的惯性矩 代入上式 得 将代入上式化简得 由惯性矩的平行移轴定理 代入上式 得 说明 总压力作用点D一般在受压面形心C之下 总压力作用点D到oy轴的距离xD 用与前面相同的方法导出 2 6矩形平板一侧挡水 与水平面夹角 300 平板上边与水面齐平 水深h 3m 平板宽b 5m 试求作用在平板上的静水总压力 解 总压力的大小 方向为受压面内法线方向 作用点 2 5 2图算法 1 压强分布图 压强分布图 是在受压面承压的一侧 以一定比例尺的矢量线段 表示压强大小和方向的图形 是液体静压强分布规律的几何图示 对于通大气的开敞容器 液体的相对压强p gh 沿水深直线分布 只要把上 下两点的压强用线段绘出 中间以直线相连 就得到相对压强分布图 2 图算法 设底边平行于液面的矩形平面AB 与水平面夹角 平面宽度b 上下底边的淹没深度为h1 h2 图算法步骤 先绘出压强分布图 总压力大小等于压强分布图的面积S 乘以受压面的宽度b 总压力作用点 通过压强分布图的形心 作用线与受压面的交点 就是总压力作用点 例2 7 同例2 6 用图算法计算总压力 2 6矩形平板一侧挡水 与水平面夹角 300 平板上边与水面齐平 水深h 3m 平板宽b 5m 试求作用在平板上的静水总压力 绘出压强分布图ABC 总压力大小 总压力方向为受压面内法线方向 总压力作用线通过压强分布图的形心 两种方法所得计算结果相同 2 6液体作用在曲面上的总压力 2 6 1曲面上的总压力 设二向曲面AB 柱面 母线垂直于图面 曲面的面积为A 一侧承压 选坐标系 令xoy平面与液面重合 oz轴向下 实际的工程曲面 如圆形贮水池壁面 圆管壁面 弧形闸门等 为二向曲面 柱面 或球面 本节讨论作用在二向曲面上的总压力 取条形微元面EF 因各微元面上的压力dp方向不同 为此将dp分解为水平分力和铅垂分力 总压力的水平分力 表明 液体作用在曲面上总压力的水平分力 等于作用在该曲面的铅垂投影面上的压力 总压力的铅垂分力 是曲面到自由液面 或自由液面延伸面 之间的铅垂柱体 压力体的体积 表明 液体作用在曲面上总压力的铅垂分力 等于压力体的重量 总压力P的大小 方向及作用点 液体作用在曲面上的总压力为 总压力的倾斜角为 总压力P的作用点 作出Px及Pz的作用线 得交点 过此交点 按倾斜角 作总压力P的作用线 与曲面壁AB相交的点 即为总压力P的作用点 2 6 2压力体 1 实压力体 压力体与液面在曲面的同侧 压力体内实有液体 习惯上称为实压力体 PZ方向向下 表示的几何体积称为压力体 压力体的界定方法 设想取铅垂线沿曲面边缘平行移动一周 割出的以自由液面 或延伸面 为上底 曲面本身为下底的柱体就是压力体 2 虚压力体 压力体与液面在曲面的异侧 其上底面为自由液面的延伸 压力体内虚空 习惯上称为虚压力体 PZ方向向上 3 压力体叠加 对于水平投影重叠的曲面 分开界定压力体 然后叠加 例如 半圆柱面ABC的压力体 分别按曲面AB BC确定 叠加后得虚压力体ABC PZ方向向上 2 6 3液体作用在潜体和浮体上的总压力 潜体 全部浸入液体中的物体 潜体表面是封闭曲面 选坐标系 令xoy平面与自由液面重合 oz轴向下 1 水平分力 取平行ox轴的水平线 沿潜体表面移动一周 切点ac分封闭曲面左右两半 液体作用在潜体上总压力的水平分力为0 2 铅垂分力 取平行于oz轴的铅垂线 沿潜体表面平行移动一周 切点轨迹bd分封闭曲面为上 下两半 负号表示PZ方向与坐标oz方向相反 即浮力 浮体 部分浸入液体中的物体称为浮体 将液面以下部分看成封闭曲面 同潜体一样 综上所述 液体作用于潜体 或浮体 上的总压力 只有铅垂向上的浮力 大小等于所排开的液体重量 作用线通过潜体的几何中心 阿基米德原理 2 8圆柱形压力水罐 半径R 0 5m 长l 2m 压力表读数pM 23 72kN m2 试求 1 端部平面盖板所受水压力 2 上 下半圆筒所受水压力 3 连接螺栓所受总拉力 1 端盖板所受水压力 受压面为圆形平面 2 上 下半圆筒所受水压力 上 下半圆筒所受水压力只有铅锤分力 下半圆筒有 h pM g 23 72 9 8 2 42m 上半圆筒压力体 3 连接螺栓所受总拉力 由上半圆筒计算 或由下半圆筒计算 例题2 9露天敷设的输水钢管 直径D 1 5m 管壁厚 6mm 钢管的许用应力 150MPa 弹性模量E 21 1010pa 除内水压力外 不考虑其它荷载及敷设情况 试求该管道允许的最大内水压强 1 取1m长管段 沿直径平面剖分为两半 以其中一半为隔离体 不计管内水重量对压强的影响 作用在管壁上的总压力 解 总压力P与管壁截面的张力相平衡 由以上关系 允许的最大内水压强 习题 1 液体受到表面压强p作用后 它将 地传递到液体内部任何一点 A毫不改变B有所增加C有所减小D只传压力不传递压