全国大学生数学建模2009A试题.pdf

1 制动器试验台的控制方法制动器试验台的控制方法研究研究 摘要 该论文是研究一个控制器试验台的控制方法问题 首先 我们根据题目的阐述 建立了一个连续数学模型来描述这 个问题 此模型研究了电动机的驱动电流与时间之间的关系 对于给 定的某一时刻的时间就得到一个与之相联系的驱动电流 据此还可以 得到相应的扭矩和转速 我们将力矩分为驱动力矩和制动力矩 以此 为一个基础来求驱动电流 这主要用到机械惯量恒力矩制动动力学方 程 M T J 0 t J TM n n0 t J TM 2 60 T M t nnJ 60 20 通过变换构建出我们的第一个数学模型 之后我们又利 用能量守恒与折算能量的转换 根据题目的条件与假设 我们构建出 第二个数学模型 由上述两个模型制定各种控制方法 后面我们检验 出附表所反应出来的控制方法不太合理 而我们的模型则与实际较为 吻合 由于解非线形规划问题是一个很复杂的过程 我们选择了将连续 模型简化成一个离散模型 在计算离散数据时 我们采用数学软件作 出图形 再拟合数据 两者之间基本吻合 当然也少不了对大量数据 的验证 检验 结合相关物理知识和有关公式 最终得出极有说服力 的数学模型 通过模型 我们得到电流值 i 可用于计算机合理并有效地控制发 动机参与工作补偿不足惯量 突出了控制器试验台控制方法的科学性 关键词 关键词 能量转换 机械惯量恒力矩制动动力学方程 能量守恒 拟合 2 一一 问题的重述问题的重述 汽车的行车制动器是汽车中重要的部件 它的作用是使车辆减速 或停止 当我们在对制动器进行设计时应注意许多问题 必须在专门 的试验台上进行路试模拟实验 首先要让电动机带动主轴和飞轮转动 到预先设定的转速后 再让电动机断电并同时施加制动 路试车辆在制动时 载荷在车辆平动时具有的能量等效转化为飞 轮和主轴等机构的转动惯量 其它不可拆卸的部分为基础惯量 二者 之和为机械惯量 如果机械惯量不能完全提供进行模拟实验 则由电 动机参与工作补偿惯量 又已知电动机的驱动电流与扭矩 成正比 比例系数为 1 5A N m 要确定电动机驱动电流和时间的关系是很困难的 我们必 须把时间离散化 再根据观测的瞬时速度或瞬时扭矩 设计出电流值 当然也少不了用能量误差的大小 大量数据的检验来评价该控制方法 的优劣 问题 1 设车辆单个前轮的滚动半径为 0 286m 制动时承受的 载荷为 6230 N 求等效的转动惯量 问题 2 飞轮组由 3 个外直径 1m 内直径 0 2m 的环形钢制飞轮 组成 厚度分别为 0 0392m 0 0784m 0 1568m 钢材密度为 7810 基础惯量为 10 问可以组成哪些机械惯量 设电动机 能补偿的能量相应的惯量的范围 30 30 对于问题 1 中得 到的等效转动惯量 需要用电动机补偿多大的能量 问题 3 建立电动机驱动电流依赖与可观测量的数学模形 3 在问题 1 和问题 2 的条件下 假设制动减速度为常数 初始速度为 5 制动 50km h 后车速为零 计算驱动电流 问题 4 对于所设计的路试等效的转动惯量为 机械惯量为 主轴 初转速为 末转速为 时间步长为的情况 用某种控制方法试验得到 的数据见附表 请对该方法执行的结果进行评价 问题 5 按照地 3 问导出的数学模型 给出根据前一段时间观测到 的瞬时转速与 或瞬时扭矩 设计本时间段电流值的计算机控制方法 并对该方法进行评价 问题 6 第 5 问给出的控制方法是否有不足之处 如果有 请重新 设计一个尽量完善的计算机控制方法 并作评价 2 基本假设基本假设 1 不考虑观测误差 随机误差和连续问题离散化所产生的误差 2 假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大 3 路试车辆的承受载荷在车辆平动时具有的能量等效地转化为实 验车台上飞轮和主轴等机构转动是具有的能量 4 忽略车轮自身转动具有的动量 5 假设驱动电流的能量全部用来补偿不足的能量 无损失 并且 此能量等效于其作用于电阻为 R 的能量 3 参数说明参数说明 EJ 与等效转动惯量相对应的能量 I 电动机驱动电流 T 电动机驱动力矩 4 M 制动器制动力矩 J 机械转动惯量 角加速度 角速度 0 初始角速度 t 时间 n 转速 n0 初始转速 JM J1 JL 电动机轴 中间传动轴 生产机械轴上的转动惯量 j1 M 1 电动机轴与中间传动轴之间的速比 jL M L 电动机轴与生产机械轴之间的速比 M 1 L 电动机轴 中间传动轴 生产机械轴上的角速度 4 4 问题的分析问题的分析 本问题是车辆在行驶过程中行车制动的物理问题 目的是为了检 测汽车制动器的综合性能 需要在各种不同情况下进行大量的路试 要求满足题目要求 电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比 以及 电动机驱动电流与时间之间的关系 通过观察到的瞬时转速或瞬时扭 矩间接求得 通过对数据拟合与求解 使得在假设的条件下求出转速 与时间 扭矩与时间的关系 首先 我们根据问题的需要 建立了一个连续数学模型来描述这 个问题 此模型研究了电动机的驱动电流与时间之间的关系 对于给 定的某一时刻的时间就得到一个与之相联系的驱动电流 据次还可以 5 得到相应的扭矩和转速 建立模型过程中 我们运用了折算能量的转 换 机械惯量恒力矩制动动力学方程 能量守恒等 通过分析它们之 间的内在联系 我们最终够建了一个电流与扭矩 时间 转速之间相 互联系的关系模型 求解出某时刻的相应电流值 由于解非线形规划问题是一个很复杂的过程 我们选择了将连 续模型简化成一个离散模型 在计算离散数据时 我们采用数学软 件作出图形 再拟合数据 两者之间基本吻合 我们便确定了模型 的正确性 5 5 模型的构建模型的构建 5 1 首先折算能量的转换 要保证折算前后系统等效 折算前后系统的动能应相等 由于 转动惯量和飞轮转矩与运动系统的动能有关 因此可根据动能守恒原 则进行折算 对于旋转运动 折算后系统总的动能应等于折算前系统 各轴动能之和 即 所以 折算到电动机轴上的总转动惯量为 式中 JM J1 JL 电动机轴 中间传动轴 生产机械轴上的转动惯 量 j1 M 1 电动机轴与中间传动轴之间的速比 jL M L 电动机轴与生产机械轴之间的速比 M 1 L 电动机轴 中间传动轴 生产机械轴上的角速度 6 Jz即为等效转动惯量 那么与等效转动惯量相对应的能量为 EJ 2 1 Jz 2 参见质料来源 5 其次分析电流与扭矩 时间 转速之间的关系 我们将制动过程中的力矩分为制动力矩与驱动力矩 在制动过程 中 当制动力矩不足以达到制动效果时 由电动机的驱动电流产生驱 动力矩 使之达到驱动效果 由题中假设 试验台采用的电动机的驱 7 动电流与其产生的扭矩成正比 本题中比例系数取为 1 5 A N m 我 们得到驱动电流与驱动力矩之间的关系 I 1 5T 为此 我们必须求 出驱动力矩 T 那么我们列出机械惯量恒力矩制动动力学方程 以便 求解驱动力矩 T M T J 1 0 t J TM 2 n n0 t J TM 2 60 3 T M t nnJ 60 20 4 那么 I 1 5T 1 5 M t nnJ 60 20 5 即电流与扭矩 时间 转速之间的模型 式中 制动器制动力矩为 M 机械转动惯量为 J 角加速度为 角 速度为 初始角速度为 0 时间为 t 转速为 n 初始转速为 n0 参见文 献 4 5 3 最后够建出整体模型 我们通过对问题的分析 得出了由能量守恒来计算一些未知量 能量守恒等式为 EJ E j Eb 式中 EJ为与等效转动惯量相对应的能 量 E j为机械惯量所具有的能量 Eb为驱动电流应补偿的能量 由此 等式得 2 1 Jz 2 2 1 J 1 2 E b I 2Rt 6 6 模型的简化与求解模型的简化与求解系统系统 6 1 问题一的分析与求解 一 名词解释 8 路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷 将这个载荷在车辆平 动时具有的能量 忽略车轮自身转动具有的能量 等效地转化为试 验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量 与此能量相应的转动 惯量 以下转动惯量简称为惯量 在本题中称为等效的转动惯量 二 数据分析与解答 那么根据物理知识有 Ek 车辆的动能 1 2mv2 Ej 转动惯量的能量 1 2J 2 而车 辆单个前轮的滚动半径为 0 286m 制动时承受的载荷为 6230N 则有 1 2mv2 1 2J 2 v R 0 286m 代如数据计算得 J 52 上题是关于一个车轮的分析 下面我们分析多个车轮的情况 根据 QC T479 1999 货车 客车制动器台架试验方法 对于两轴 车 含双后轴的三轴车 其前 后制动器应承担的载荷分别为 IF 1 Ga 7 G0 r2 2g m s 2 IR 1 Ga 7 G0 r2 2g m s 2 如为双后轴的三轴车 则其后制动器应承担的载荷 IDR为 IDR 1 2 IR 式中 IF IR ID分别为前 后制动器和双后轴的三轴车后制动 器应承受的载荷 m s 2 为前后轴制动之比 对于双后 轴的三轴车 为两前后轴制动力之和作为后轴制动力 G0 为汽车空车总质量 Ga 为 汽车满载总质量 单位 r 为车轮滚动半径 单位 m g 为重 9 力加速度 9 8m s2 经计算 本文所述试验台所需模拟的不同单端制动器载荷 范围在 2 588 m s 2 25 79 m s2 根据 J I g 得出 单个制动器所应承受的惯量范围 25 378 374 51 根据上述公式计算得出的被试制动器所受惯量 即为试验 台所需模拟的整车惯量 参考文献 4 详述了车辆制动器试验 台惯性飞轮的优化组合设计方法 参考该文献并对单片飞轮惯 量进行了圆整 最终选择使用 2 片惯量为 70 的大飞轮 与 7 片惯量 30 的小飞轮对被试制动器进行惯量模拟 其中 2 片大飞轮的构成基本组 7 片小飞轮构成精确调解组 所选飞轮材料为 45 钢 参见文献 3 6 2 问题二的分析与求解 一 数据分析 由题设 飞轮为 Fi i 1 2 3 飞轮外直径为 R 飞轮内直径为 r 飞轮厚度为 L j j 1 2 3 飞轮质量为 mk k 1 2 3 飞轮转动惯量为 Jn n 1 2 3 基础惯量为 H 10 则飞轮的体积为 V R2 r2 L 那么飞轮的质量为 m V 二 数据求解 将数据代入公式 m R2 r2 L计算得 m1 230 8264 m2 461 6527 m3 923 3054 由第一问知 10 J1 30 0074 J2 60 0149 J3 120 0297 那么就可以组成八组机械惯量 10 40 0074 70 0149 100 0233 130 0297 160 00371 190 0446 220 052 又有电动机能补偿的能量相应的惯量范围为 30 30 则满足 条件的只有 40 0074 70 0149 它们相应的补偿惯量 分别为 11 9926 18 0149 6 3 问题 3 的分析与求解 一 数据分析 由题中已知条件知 初始速度 V0 50 h 13 89m s 制动后 5 0 s 后车速为零 那 么制动加速度为 t V00 5 89 13 2 778m s 2 二 数据求解 由模型 I 1 5T 1 5 M t nnJ 60 20 计算得到 I 137 38A 6 4 问题 4 的分析与求解 通过对所给数据的拟合 分析 整理 再将大量数据代入所得模 型检验得出以下图形 扭矩 11 时间 数据附表的数据经过高次拟合后图 注 波动曲线为原数据曲线 平滑曲线为拟合后所得曲线 所得函数关系式为 M t 60t13 540t12 3430t11 15230t10 48560t9 111940t8 185430t7 2161 50t6 169710t5 82170t4 19770t3 750t2 60t 40 N t 57 3943t 524 1514 结合图形我们可以知道 最大误差 Mreal MrealM max 100 281 4508 281 45085 297 100 5 7 由此可以知道此种控制方法的误差非常大 我们不能用此方法为 基础去设计制动器试验台的控制方法 只有另辟溪径 6 5 问题 5 的分析与求解 由第三问导出的数学模型为 I 1 5T 1 5 M t nnJ 60 20 和 2 1 Jz 2 2 1 J 1 2 E b I 2Rt 参照程序 2 程序 2 得到的电流值 i 可用于计算机控制发动机参与工作补偿不 12 足的能量 该方法的不足之处是 1 将转速拟合为一次函数 2 忽略 了电动机散热损失的能量 3 能量误差还不够小 6 6 问题 6 的分析与求解 本控制方法肯定有不足之处 还需要改进 1 缩短时间步长 2 寻找更为合理的函数曲线 使之更趋近实际情况 3 还须改变一些条件 再进行大量检验 较为完善的方案为 M t 60t13 540t12 3430t11 15230t10 48560t9 111940t8 185430t7 2 16150t6 169710t5 82170t4 19770t3 750t2 60t 40 N t 0 5703 t5 7 2070 t4 32 9587 t3 64 8059 t2 8 2049 t 515 6865 I 1 5T 1 5 M t t nJ 60 N t 20 参照程序 3 程序 3 得到的电流值比以上分析的方法得到的电流值更为合 理 更具有合理性 有效性和科学性 参参 考考 文文 献献 1 马文蔚 物理学 第五版 上册 高等教育出版社 2 马文蔚 物理学 第五版 上册习题分析与解答 高等教育出版社 3 王志中 彭彦宏 洪哲浩 车辆制动器试验台惯性飞轮的优化组合 设计 J 2006 33 2 59 62 4 李洪山 孙英达 庆振华 电惯量模拟机械转动惯量的研究 13 5 张元涛 基于快速气动伺服的汽车惯性式制动器试验系统应用研 究 www 百度 com 2009 9 12 6 赵静 但琦 数学建模与数学实验 第 2 版 高等教育出版社 附录附录 程序 1 t 0 0 01 4 67 M 40 0000 40 0000 40 0000 41 2500 43 7500 45 0000 47 5000 50 0000 53 7500 55 0000 57 5000 58 7500 62 5000 62 5000 67 5000 67 5000 72 5000 75 0000 81 2500 86 2500 91 2500 96 2500 101 2500 105 0000 110 0000 115 0000 120 0000 127 5000 133 7500 143 7500 150 0000 157 5000 161 2500 168 7500 172 5000 181 2500 186 2500 193 7500 198 7500 203 7500 208 7500 211 2500 216 2500 218 7500 222 5000 226 2500 230 0000 233 7500 237 5000 238 7500 242 5000 242 5000 247 5000 246 2500 245 0000 241 2500 245 0000 248 7500 256 2500 257 5000 262 5000 262 5000 266 2500 266 2500 266 2500 266 2500 266 2500 266 2500 265 0000 266 2500 268 7500 272 5000 273 7500 276 2500 277 5000 277 5000 272 5000 272 5000 268 7500 272 5000 267 5000 272 5000 270 0000 277 5000 278 7500 282 5000 282 5000 282 5000 282 5000 280 0000 277 5000 276 2500 273 7500 273 7500 275 0000 276 2500 14 280 0000 280 0000 282 5000 281 2500 283 7500 282 5000 278 7500 276 2500 275 0000 277 5000 280 0000 281 2500 285 0000 283 7500 283 7500 282 5000 281 2500 278 7500 277 5000 273 7500 277 5000 277 5000 281 2500 281 2500 283 7500 285 0000 285 0000 283 7500 282 5000 282 5000 281 2500 278 7500 275 0000 276 2500 276 2500 280 0000 281 2500 285 0000 283 7500 285 0000 282 5000 285 0000 280 0000 281 2500 276 2500 275 0000 273 7500 276 2500 278 7500 280 0000 281 2500 282 5000 282 5000 282 5000 281 2500 281 2500 281 2500 278 7500 276 2500 273 7500 275 0000 275 0000 278 7500 278 7500 283 7500 282 5000 285 0000 281 2500 283 7500 281 2500 281 2500 277 5000 273 7500 273 7500 275 0000 277 5000 280 0000 282 5000 283 7500 286 2500 285 0000 286 2500 282 5000 282 5000 278 7500 277 5000 272 5000 275 0000 273 7500 278 7500 276 2500 281 2500 280 0000 282 5000 281 2500 281 2500 281 2500 280 0000 278 7500 275 0000 273 7500 273 7500 277 5000 280 0000 282 5000 285 0000 286 2500 287 5000 283 7500 283 7500 281 2500 281 2500 276 2500 275 0000 270 0000 275 0000 276 2500 281 2500 281 2500 282 5000 285 0000 286 2500 285 0000 283 7500 282 5000 282 5000 281 2500 278 7500 277 5000 275 0000 276 2500 277 5000 15 281 2500 281 2500 285 0000 282 5000 286 2500 281 2500 285 0000 281 2500 282 5000 278 7500 277 5000 275 0000 273 7500 275 0000 278 7500 280 0000 282 5000 283 7500 283 7500 285 0000 283 7500 285 0000 282 5000 283 7500 277 5000 277 5000 271 2500 275 0000 271 2500 276 2500 275 0000 281 2500 282 5000 287 5000 287 5000 287 5000 286 2500 285 0000 283 7500 283 7500 282 5000 278 7500 276 2500 275 0000 276 2500 278 7500 280 0000 282 5000 291 2500 292 5000 297 5000 290 0000 291 2500 285 0000 287 5000 283 7500 282 5000 277 5000 276 2500 275 0000 275 0000 277 5000 280 0000 281 2500 282 5000 285 0000 286 2500 287 5000 285 0000 285 0000 283 7500 283 7500 278 7500 278 7500 272 5000 273 7500 270 0000 275 0000 273 7500 280 0000 282 5000 286 2500 287 5000 288 7500 288 7500 287 5000 286 2500 285 0000 285 0000 282 5000 280 0000 276 2500 275 0000 273 7500 277 5000 278 7500 282 5000 282 5000 286 2500 285 0000 290 0000 287 5000 288 7500 285 0000 286 2500 283 7500 283 7500 281 2500 277 5000 273 7500 273 7500 275 0000 276 2500 280 0000 280 0000 282 5000 282 5000 286 2500 286 2500 288 7500 283 7500 286 2500 282 5000 286 2500 280 0000 281 2500 275 0000 277 5000 276 2500 278 7500 16 278 7500 281 2500 282 5000 285 0000 285 0000 287 5000 288 7500 288 7500 287 5000 285 0000 285 0000 283 7500 283 7500 281 2500 281 2500 276 2500 276 2500 273 7500 278 7500 277 5000 282 5000 282 5000 285 0000 285 0000 287 5000 288 7500 287 5000 286 2500 285 0000 285 0000 283 7500 282 5000 280 0000 278 7500 275 0000 275 0000 275 0000 278 7500 277 5000 281 2500 281 2500 287 5000 283 7500 287 5000 285 0000 291 2500 290 0000 291 2500 287 5000 285 0000 283 7500 282 5000 281 2500 278 7500 276 2500 273 7500 273 7500 275 0000 278 7500 281 2500 283 7500 285 0000 287 5000 287 5000 291 2500 290 0000 292 5000 287 5000 288 7500 285 0000 285 0000 282 5000 282 5000 28