焦点三角形内(旁)切圆的两个性质及其应用.pdf

中学数学杂志 高中 2 0 0 6年第 2期 似块 而导致思维活动 相似块 紊乱 往往 是导致解题出错的根本原因 上题中的错误 解法就是思维 相似块 紊乱的生动 例 类比推理误区之五 类比时横式的以 衰 掩 质 r 例5 1 已知 P l 5 一 2 l 3 口 z 4 一5 0 则 1 P是 1 q的什么条件 2 已 知 P 5 x 一 2 l 3 口 0 则 1 P是 1口的什么条 件 解 1 因为1 P即 l 5 一 2 l 3 解 得1 p 一 专 1 而1口 即 I 4 X一 5 0 解得1口 一5 2 7 1 因此1 P是 1口的既不充分也不必要条件 2 仿 1 的 解法 解得1 P 一专 25 1 而1口即 0 解得 1口 一 5 I 因此1 P是1口 的既不充分也 不必要条件 分析 上述解法常作为一种模式被使 用 但 的否定一定是 吗 第 2 题 中 q的否定 按定 义应 为 g不成 立 即 不 大 于 或 等 于 0 对 而言 当 4 x 5 0时 二 亏 无意义 但的 确是不 大于 粤 于 0 所以 干 0 并非是对 q 的否 定 其正确解法如下 1 口 I 4 x一5 0 或 0 6 0 右支上一点 0 是焦点三 角形 x p F l F 2 的内切圆 E E 2 H是切点 由切线长定理 得 J P E J J P E2 J 维普资讯 中学数学杂志 高中 2 0 0 6 年第 2 期 l Fl El l l Fl H J l F 2 H l J F2 E2 J 所 以 l FI H l l F 2 H l l Fl El J J F2 E2 l I F l El l l P E I 1 一 1 F 2 E2 l l P E 2 1 l P Fl l l P F 2 l 2 口 又 J Fl H l J F 2 H l 2 c 所 以 J FJ H l C a J F 2 H l c一口 所以H是双曲线的右顶点 一 一 F 0 F 2 一 j J 一 0 F H 图 1 图2 定理 1 2 椭圆的焦点三角形的三个旁切圆 中 有两个与长轴切于顶点 2 2 证明 如图2 设 P是椭圆 十 c l a b 0 上一点 0 是焦点三角形 AP Fl F 2 的旁切圆 Et E 2 H 是切点 由切线长定理 得 l P E l J P E l l Fl El l J FI H J l F2 H J J F 2 E2 J 所 以 l Fl H l l F2 H l J Fl El l l F2 E2 J 1 Fl El l l P El I 1 F2 E2 l l PE 2 1 l P Fl l l P F 2 l 2 a 又 l Fl H l J F 2 H J 2 c 所 以 J FI H l a c l F 2 H l 口一c 所以H是椭圆的右顶点 将无穷远点看成抛物线的另一个焦点 抛物线就有了焦点三角形 类似地有 定理 1 3 过抛物线 上一点作对称轴的平 行线 与对称轴 平行 线 焦半径都相切的 两个圆中 有一个与 对称轴切于顶点 证明 如 图 3 J v 厂 一 j l M F 图 3 设 P是抛物线Y 2 p x p 0 上一点 F 是焦点 0 与 轴 过 P点的 轴的平行线 口 P F都相切 El E 2 H是切点 由切线长定理 得 l P E l l P E l l F H J J F E2 1 设准线 与 轴 平行线 口 分别交于M N 则 J P F l l PN 1 所以 l F H J l F E2 l l P F l l P E2 J l P N l l P EI l I El N l J M H J 所以H是 的中点 即H是抛物线的 顶点 以上三个定理可合并为以下的 定理 1 圆锥曲线的焦点三角形的内切圆或 旁切圆中 至少有一个与两焦点所在的轴切 于顶点 定理 2 1 椭圆的焦点三角形的内心分顶角 平分线所成的比是定值 2 2 证明 如图 4 设 P是椭圆 1 a b 0 上一点 是焦点三 角形 AP F l F 2 的内心 P I 交F l F 2 于 D 由角平分线定理 有 DI l l FI D l I F2 D l 1 l FI P l l F2 P l FI D l J F2 D l 2 y 厂 一 f 0 D F 一 一 F 0 j 图 4 图 5 定理 2 2 双曲线的焦点三角形的两个旁心 分顶角的外角平分线所成的比是定值 2 2 证明 如图5 设 P是双曲线 一 口 D l a 0 b 0 右支上一点 是焦点三角 维普资讯 中学数学杂志 高中 2 0 0 6年第 2期 形 Ap F F 2 的旁心 P I 交F I F z 的延长线于 D 由外角平分线定理 有 I DI I I Fl D I I F2 D I I I I Fl P I I F2 P I I Fl D I I F2 D I 2c I FI P I I F2 P I一 2 口 一 定理 2 3 抛物线的焦点三角形的旁心分顶 角的外角平分线所成的比是定值 证明 如图 6 设 P是抛物线 Y 2 p z P 0 上一点 F是焦点 过 P点作 轴的平行线P Q J 是 0 5 F的外角平分线 与 0 F P的外角平分线的交点 交0 F于 D 因为尸 Q F D 所 以 F D P D PR F PD 所 以 I FD I 丽 以上三 个定 理 可合并为以下的 Q p R 一 0 F 图 6 定理2 圆锥曲线的焦点三角形的内心 或 旁心 分顶角平分线 或顶角的外角平分线 所成的比是定值 下面给出以上定理 1 和定理 2 的几点应 用 例 1 P是双曲线 一 y 2 l a 0 b 0 右支上一点 F F 2 分别为左 右焦点 若 P F l F 2 口 P F 2 Fl 卢 口 0 p 0 双曲线的离心率为 P 则 t a n 口 c o t 2 证明 如 图 1 设 J是 焦点 三角形 AP F F 2 的内切圆 El E 2 H是切点 由定 理 1 1 I Fl H I f 口 I F2 H I c一 口 所以t a n y a c o t 2巨 二 垒 堡二 c n 已 1 注 若 P是双曲线左支上一点 则 已 a n 2t a n 2 二 i 例 2 P是椭圆 l a b 0 上一 点 FI F 2分 别 为 左 右 焦 点 若 P F l F 2 口 P F 2 F l 卢 口 0 卢 0 椭圆的离心率为 已 则 口 1 e a n 证明 如 图 2 设 0J是 焦点三 角形 AP Fl F 2 的旁切圆 El E 2 H是切点 由定 理 1 2 I F1 H I a c I F2 H I a c 所 以 t a n 薹 ta n 拿 t a n C O t 2 H I I H I I F2 H I a c 2 一I F H I I I H I 一 口 十 c 1 已 例3 如图7 椭圆和双曲线有相同的左 焦点 F 右顶点A 椭圆和双曲线的另一焦点 分别为 M N 过 F的直线与椭圆和双曲线 的右支分别交于P Q 则四边形 P Q N M 有 内切圆 证明 如图 7 由定 理 1 椭 圆 的焦 点三角形 x P F M 的 旁切圆 0J 与长轴 切于顶点 A 双曲线 的 焦 点 三 角 形 Q F N 的 内 切 圆 0J 2与实 轴 切 于顶 图 7 点A 故 0 与 0 重合 它是 四边形 尸 QNM 的内切圆 维普资讯 中学数学杂志 高中 2 0 0 6 年第 2 期 2 9 2 2 例 4 如图8 P是椭圆 1 口 口 D b 0 上一点 F F 分别为左 右焦点 过 P向左 右两准线引垂线 垂足分别为 K K 2 求证 P F J K J P K2 1 8 0 证明 设 J是焦 点三角形 AP F I F 2 的 内心 交 Fl F 2于 D 由 定 理2 1 f FI D l l DJ l I F P I I I 一 订 l P FI l 义 FI PKI PFI D 一 尸 Kz O D F j 一 图 8 所以 AP FI KI AFI D P 所以 P FJ K J F J D P 同理 P F 2 K2 F 2 D P 因为 FI DP F 2 DP 1 8 0 所 以 P Fl Kl P F2 K2 1 8 0 例 5 如图9 P是双 2 2 曲线 1 目 0 b 0 右支上一 点 F F 为左 右焦 点 过 P向左 右两准 线引垂线 垂足分别为 J l D 躲 F t D D j 图 9 KI K2 求证 P F I KI P F 2 K2 证明 设 J 是焦点三角形 AP FI F 2 的 旁 心 交 F F 2 于 D 由 定 理 2 2 l Df l 丽 又 P K L P F D 所以 P FI Kl C FI D P 所以 P FI Kl FI DP 同理 P F 2 K2 F 2 D P 所以 P FI Kl P F 2 K2 一 道高考几何题存在性问题的代数证明 山东临沭一 中 2 7 6 7 0 0 王峰晨 2 0 0 5 年重庆第 1 6 题 连接抛物线上任 意四点组成的 四边形 可能是 填 写所有正确选项的序号 菱形 有 3条边相等的四边形 梯形 平行四边形 有一组对角 相等的四边形 本小题是一个区分度较高的试题 很多 学生无从下手 因其是几何作图的存在性问 题 所以没有办法构造出适合题意的四边形 要根据以往的解题经验联想 从而构造出特 殊的四边形 特殊化是解决此题的思维利器 显然 平行四边形和菱形不可能 梯形是 可能的 条件 有 3 条边相等的四边形 如图 1 所示 构造如下 设点 D是抛物线的顶点 点 A C是抛物线上关于其对称轴对称的