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西北工业大学2003至2004学年第二学期线性代数考试试题（2004.5）一、填空题(每空3分)1已知阶矩阵，且 的行列式，则_，_。2已知向量组，空间则的维数为_。3设阶矩阵，均可逆，则_。4已知线性方程组的系数矩阵的列向量为，其中线性无关，且，则的 通解为_。5设方阵，若矩阵与相似，则的 值为_。6设方阵满足，则_。7设是正定二次型，则应满足的条件为_。二、(10分)设阶方阵，求矩阵的特征值及矩阵的行列式。三、(10分)设，且矩阵满足，这里为 单位矩阵，求矩阵。四、(13分)当满足什么条件时，线性方程组有惟 一解、无解、无穷多解？在有无穷多解时，求通解。五、(15分)已知的两组基(I)，(II)。(1)求由基(II)到基(I)的过渡矩阵；(2)如果关于基(I)的坐标为，求关于基(II)的坐标；(3)求在两个基下有相同坐标的向量。六、(10分)已知向量组则当取何值时，与等价?七、(5分)设矩阵，均为阶方阵，矩阵可逆，且满足 ，证明和都是可逆矩阵。八、(13分)试求一正交变换，化二次型为标准形。又问是什么二次曲面？西北工业大学2003-2004学年第二学期线性代数考试试题答案一、1；2；3；4(任意)；5；6；7。二、故的特征值为(重)，。三、，即，故或四、可求得(1)当且时，有惟一解 ；(2)当时，无解。(3)当时，无穷多解。同解方程组为，通解为即(任意)五、(1)因为，所以故由基( II )到基( I )的过渡矩阵为(2)故在基( II )下的坐标为。(3)设，则有，即由于同解方程组为，故。六、由于可见时，可由线性表示。又由即总可由线性表示。故时，与等价。七、由得，取行列式得从而。八、二次型矩阵。可求得所以的特征值
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