01.初中数学竞赛中含有高次方程的问题.pdf

2 中 等 数 学 初 中数 学竞赛 中含有 高次 方程 的 问题 姜 照 华 山东省枣庄市第二十九中学 2 7 7 0 0 0 中图分类号 0 1 2 2 2 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 2 0 2 0 0 0 2 0 4 本讲适合初 中 在各级的初 中数学竞赛中时常会出现一 些含有高次方程的问题 解决此类问题的关 键是先研究高次方程 的特征 再选用合适的 方法对其进行降次 即把高次方程转化为几 个一元一次方程或一元二次方程 本文结合 例题 谈谈具体转化的方法 1 因式分解转化 例 1 已知关于 的方程 2 x 3 k x 2 k x 2 k 0 有实根 若所有实根之积为 一 2 则所有实根 的平方和为 2 0 0 9 上海市新知杯初 中数学竞赛 分析 为使用条件 所有实根之积为 一 2 首先需要弄清 原方程 实根有几个 仔 细观察方程 注意到左边的二次项 3 k 拆为 2 k 2 后 可利用分组分解法将 左边分解因式 解拆二次项得 2 k x 2 2 J 2 J O 争 2 2 2 k 2 2 后 0 z 2 2 后 0 因为原方程有 实根 而 2 0无 实根 所 以 方 程 k 0有 两个实根 l 2 收稿 日期 2 0 1 1 0 3 2 9 修 回 日期 2 0 1 1 1 0 2 0 据题意知 X 1 k 一 2 又 I 2 一l 故 1 2 一 2 x l 2 5 例 2 如果方程 一 5 x 4 k x k O 的三个根可 以作 为一个等 腰三角形 的三边 长 则实数 k的值为 A 3 B 4 c 5 D 6 2 0 0 9 全国初中数学联赛四川省初赛 分析 观察方程各项的系数会发现 1 5 4 i 一k 0 故知方程有一个实数根是 1 所以 一1是方程左边多项式的一个因 式 据此利用拆项法容易将左边分解因式 解原方程可变形为 一1 一 4 x k O 由原方程的三个根可以作为一个等腰三 角形 的三边长 知 l是 一4 x k 0的 根 或 一 4 x k 0有两个相等的根 解得 k 3或 4 当k 3时 方程的三个根为 l 1 3 其 不可能作为等腰三角形的三边长 当k 4时 方程的三个根为 1 2 2 其 可以作为等腰三角形的三边长 因此 k的值为 4 选 B 例3 已知 口是正整数 如果关于 的 方程 口 1 7 3 8一a 一 5 6 0 万方数据 2 0 1 2年第 2期 3 的根都是整数 求 a的值及方程的整数根 2 0 0 7 全国初中数学联赛 解方程的左边分解因式得 1 a 1 8 5 6 0 因为关于 x的方程 a 1 8 5 6 0 的根都是整数 判别式 A a 1 8 一2 2 4 应该是一个完全平方数 设 a 1 8 一 2 2 4 k k N 贝 a 1 8 a十l 8一 2 2 4 显然 o l 8 k与 a 1 8一 j 的奇偶性 相同 且 a 1 8 k 1 8 因 2 2 4 l 1 2 2 5 6 x 4 2 8 8 所以 r 0 l 8 k l 1 2 一 f a l 8 k 5 6 l a 1 8 一 k 2 或 i 8 1 8 k 4 f a 1 8 k 2 8 或 1 口 1 8 一 k 8 解 得 39 或 a 12 或 舍 去 当口 3 9时 方程 的两根分别为 一l 和 一5 6 此时 原方 程的三个根为 l 一l和 一 5 6 当a 1 2时 方程 的两根分别为 一2 和 一2 8 此时 原方 程的 三个根为 I 一2和 一2 8 2 换元转化 换元是一种重要的数学 方法 它是用新 元去替代高次方程中含有未知数的某个部 分 以便达到简化方程的目的 换元的方法需 要根据具体的方程进行选择 有均值代换 多 元代换 局部代换等 例 4 已知 a b 2分别为三角形i边的 边长 且 a b为方程 3 一 4 一1 3 一 4 x一 5 1 2 的根 则三角形的周长只可能为 A i1 0 戥 i8 B 訾 或 c 孥 或 D 或 2 0 0 6 全国初中数学联赛武汉 C A S I O 杯选拔赛 解 设 3 一 4 一1 y 则原方程化为 Y 4 1 2 解此方程得 Y 一 2或 6 于是 3 一 4 x一1 一 2或 3 一 4 x一 1 6 解得 X l I 1 7 一1 若 a b 由 a b 2 l a b l 2 知0 b 一 故j角形周长为 或 选 D 注 也可设 Y 3 x 一 4 一3 均值代 换 使计算更加简洁 例 5 方程 一 3 x 2 一 2 3 2 4 x 7 6 2 1 5 l 8 0 的全部相异实根是 1 9 9 8 五羊杯 数学竞赛 初三 解 设 一 3 x 一 2 A 一 一 4 7 B 易知 6 x 一1 5 x 1 8 3 B A 一 9 故原方程化为A B 3 8一 A 一 9 0 即 3 一 3 0 若 A 3 0 则 戈 一3 1 0 净 一1 一 2 x一1 0 l l 2 1 3 1一 若 8 3 0 则 z 一 2 4 4 0 一1 2 一 2 0 4 l 5 一2 6 2 所以 原方程的全部相异实根是 l 4 2 1 万方数据 4 中 等 数 学 注 此题 的换元是一种典型的多元 代换 例 6 解方程 3 x一 2 3 3 x一 2 一 2 1 9 9 6 四川省初 中数学联赛 解设 Y 3 一 2 则原方程化为 Y 3 y一 2 一 得 Y Y 4 0 所 以 一 Y 0或 Y 4 0 由 Y 0 Y 代人式 解得 1 一 1 4 3 2 一 1 一 3 由 Y 4 0 Y 一 一 4 代人式 解得 一 2 4 2 4 一 2 4 2 所以 原方程的解为 一1 一2 注 本题的换元属于局部代换 3 变换主元转化 例 7 关 于 的方程 一 一 2a x 一1 0 只有一个实数根 则 a的取值范围是 2 0 0 4 四川省初中数学竞赛 分析 方程中常数 口的最高次数是 2 故可尝试 以 n为主元 为常数 解变换 0为主元 得关于 口的方程 a 2 一 f X 2 2 口 X 3 1 0 口一 一1 口一 1 O n 1 或 1 一a 0 因为原方程只有一个实数根 所以 A 1 4 1 一口 0 口 卢 于是 原方程的四个实根为 因为它们在数轴上对应的四个点等距离 排列 所以 一 一 万方数据 2 0 1 2年第 2期 5 故 9 口 又 由韦达定理知 IB 5 0 j B 4一 k 因此 9 卢 1 k 7 S k 因此 卢 例 l 1 关于 的方程 k 1 k一1 1 0 没有实数根 则实数 k的取值范围是 解原方程两边同除以 得 2 1 1 Ij 0 石 设 Y 一 2 t J 2 则 1 y 一 2 y 2 k一1 Y k 一2 0 Y 1 Y k 一2 0 Y 一 1 舍去 或 Y 一k 2 争 十 1 一k 2 k 一 2 1 0 因为原方程没有实数根 所以 k一 2 一 4 0 解得 0 k 4 练 习 题 1 如果方程 6 x 9 x 一3 p x 一 9 p x 2 p 0 有且仅有一个实数满足 则 P的值为 1 9 9 8 湖北省黄冈市初 中数学竞赛 提示 运用 因式分解将原方程化为 3 x P 0或 3 x一 2 p 0 由条件知 4 p o 或 和 f V 2 9 8 p 0 2 9 印 O 答 案 一 詈 2 方程 3 2 一 1 7 9 A z 一 6 5 0 的解为 1 X2 X 3 2 0 0 7 我爱数 学初 中生 夏令 营数 学竞 赛 提示 仿例 8 答案 A 一 1 l 一 2 3 解方程 6 x 7 3 x 4 1 6 1 9 8 3 湖北省初中数学竞赛 提示 原方程可变形为 6 7 6 8 6 x 6 7 2 即 3 6 x 8 4 x 4 9 3 6 x 8 4 x 4 8 7 2 b 2 5 答案 一 T 一 3 4 方程 一 2 一2的解是 1 9 8 5 上海市初中数学竞赛 提示 仿例 6 答案 2 一1 5 要使方程 m一 4 2 1一 m 0 恰有一个不小于 2的实根 则 m 的取值范围 是 2 0 0 4 我爱数学初 中生夏令 营数学竞 赛 提示 设 Y 则原方程变为 Y m一 4 y 2 1一 m 0 由题意知 该方程恰有一个不小 于 4的 实根 答案 m 一1 6 若方程 2 2 3 S O