在运动中分析在变化中求解——2013年中考数学动点型压.pdf

2 0 1 4 年3 月命题感悟 在运动中分析 在变化中求解 2 0 1 3 年中考数学动点型压轴题归类例析 浙江省嵊州市博济中学 张 肖 在初中数学中 与 运动 变化 有关的问题一般都 是教学中的难点 但这类问题对培养学生的思维品质和 各种数学能力都有很大的促进作用 新课程实施以来 降低了平面几何论证的要求 以纯几何论证为背景的中 考压轴题很少见了 而以动点几何为背景的压轴题 是 近年来中考压轴题中的一种重要题型 这类试题能将代 数与几何的众多知识有效整合 能有效考查学生分析问 题和解决问题的能力 较好渗透了分类讨论 数形结合 化归等数学思想 这类试题以运动的点 线段 变化的角 图形的面积 为基本条件 给出一个或多个变量 要求确定变量与其 他量之间的关系 或变量在一定条件下为定值时 进行 相关的几何计算和综合解答 解答这类题目 一般要根 据点的运动 图形的变化过程 对其不同情况进行分类 求解 突出了数学本质 本文以2 0 1 3 年全国各地的中考 动点型压轴题为例进行分析 供九年级师生复习参考之用 一 动点使平面几何题具有新意和活力 通过动点的设置 使静止的几何图形动起来 这样 不仅使试题具有新意 而且更具有活力 在考查学生基 础知识的同时 增加了思维量和开放性 这类试题是对 传统平面几何的继承和发展 不仅拓宽了学生的思维空 间 而且能有效地把方程 坐标 函数等代数知识整合在 一起 使几何试题更具有综合性 更有效考查学生的数 学知识和数学能力 例1 2 0 1 3 年杭州市 如图1 已知正方形A 曰c D 的边长为4 对称中心为点J P 点 助曰C 边上一个动点 点E 在A 日 边上 且满足条件 E P 阽4 5 0 图 中两块阴影部分图形关于直线 A C 成轴对称 设它们的面积之 和为 s 1 求证 厶4 咫 c 肥罔l 2 设四边形c 肘阿韵面积为s z c 陶 y 妥 求y 关于z 的函数解析式和自变量戈的取值范围 并求出y 的最大值 当图中两块阴影部分图形关于点尸成中心对称 时 求y 的值 例2 2 0 1 3 年重庆市 如图2 在平行四边形A B c D 中 A 曰 1 2 B C 6 A DJ 日D A 以A D 为斜边在平行四边形 曰 图2 C A B C D 的内部作R t A E D E A D 3 0 A E D 9 0 o 1 求 A 肋的周长 2 若 A 肋以每秒2 个长度单位的速度沿D C 向右 平行移动 得到 A E D o 当4 D o 与曰c 重合时停止移动 设移动时间为 秒 A 拉o D 与 曰D C 重叠部分的面积为 J s 请直接写出S 与f 之间的函数关系式 并写出f 的取值范 围 3 如图3 在 2 中 当 A E D 停止移动后得 初中版中 擞 l 万方数据 命题感悟2 叭4 年3 月 1 请用直尺和圆规画一个 好玩三角形 2 如图4 在R t A 日C 中 心咿 t a 甜 孚 求证A A B C 是 好玩三角形 3 如图5 已知菱形A B C D 的边长为 厶4 曰C 率 点P p 从 点4 同时出发 以相同速度分别 沿折线A 曰 B C 和A D D c 向终点廿 C 运动 记P 所经过的路程为s 当卢 4 5 时 若 A 即是 好玩三角形 试求旦的值 图4 A C 图5 在P Q 的运动过程中 有且只有一个 A 尸p 能成 为 好玩三角形 请直接写出t a 邮的取值范围 4 依据 3 中的条件 提出一个关于 在P p 的运动 过程中 t a 印的取值范围与 A 叼是 好玩三角形 的个 数关系 的真命题 好玩三角形 的个数限定不能为1 评析 本题以动点和几何图形为背景 通过新概念 的定义增加了本试题的新意 本例 3 中以双动点为问 题形式 构造 好玩三角形 在运动变化的过程中 对 好玩三角形 进行分类求解 特别是选做题中的问题 4 更具有挑战性 开放性和综合性更强 难度更大 分类讨论在数学中应用比较广泛 它对考查学生全面 分析问题 考虑问题可能产生的多种情况的能力有独特 的作用 例4 2 0 1 3 年长春市 如图6 在酬占c D 中 A B 1 3 B C 5 0 B C 边上的高为 1 2 点P 从点B 出发 沿B 卅一 B 车j D A 运动 沿B 卅运动时的速度为每秒1 3 个单位长度 沿 A D A 运动时的速度为每秒8 个单位长度 点p 从点B 出 发 沿曰C 方向运动 速度为每秒5 个单位长度 P p 两点同 时出发 当点Q 到达点C 时 P Q 两点同时停止运动 设点 P 自勺运动时间为 秒 连接加 1 当点船A D A 运动时 求A P 的长 用含t 的代数 式表示 2 连接A p 在点船B A D 运动过程中 当点P 与 点B 点A 不重合时 记 A 尸p 的面积为s 求s 与f 之间的函 数关系式 3 过点Q 作Q R A 曰 门 交AD 于点尺 连接曰尺 如厂 刀广 广 图7 在点P 沿B A D 运动 么 过程中 求线段P Q 扫过的 V 网7 图形 阴影部分 被线段 曩 暖十 敷 7 初中版 日尺分成面积相等的两部分时f 的值 4 设点C D 关于直线加的对称点分别为C D 直 接写出C7 D 曰c 时f 的值 评析 本题是动点与平行四边形相结合的试题 通 过设置两个动点形成动点三角形和动直线 与方程 函 数等代数知识有机结合 本例 3 中随着线段即的移动 它扫过的图形 阴影部分 的面积也随之改变 关键是要 对不同情况进行分类求解 解答此类题目 要求学生仔 细审题 根据条件 分类考虑不同情况 通过观察 比较 分析变化中的知识之间的内在联系 这种以动点为背景 的中考压轴题具有较强的探索性和综合性 对学生的能 力要求较高 二 动点使解析几何题具有综合性和开放性 以平面直角坐标系为背景 以动点为元素 构造动 态型几何图形 结合点的坐标 函数图像的性质 来设置 动态问题 解此类题目 应从相关图形的性质和数量关 系分类讨论来解决 此类问题较多地关注学生对函数性 质的理解 用动态的观点去看待一般函数和图形结合问 题 具有较强的综合性 例5 2 0 1 3 年湖州市 如图 8 在刨D B c 中 s i n A D B 导 反比例函数y 生 七 o 戈 o 的图 像经过点A 与曰C 交于点F 图8 1 若0 A 1 0 求反比例函数的解析式 2 若点助B C 的中点 且 s 纠萨1 2 求似的长和点C 的坐标 3 在 2 的条件下 过 点F 作E F o B 交o A 亍点E 如图9 点助直线E 肚的 一个动点 连接朋 P D 是否 存在这样的点P 使以尸 0 A 为顶点的三角形是直角三角 图9 形 若存在 请直接写出所有点P 的坐标 若不存在 请说 明理由 例6 2 0 1 3 年海南省 如 图1 0 二次函数的图像与x 轴 相交于点A 一3 0 B 一1 0 与y 轴相交于点C O 3 点P 是该图像上的动点 一次函 数 h 一4 后 矗 0 的图像过 点P 交z 轴于点p J J P 川 7 c 澍慈 A 白DMQ 1 求该二次函数的解析式 图1 0 万方数据 2 0 1 4 年3 月 2 当点P 的坐标为 一4 m 时 求证 O P c A Q C 3 点肘 v 分别在线段 4Q c Q 上 点M 以每秒3 个单 位长度的速度从点A 向点9 运动 同时 点 v 以每秒1 个单 位长度的速度从点C 向点p 运动 当点肘 中有一点到 达p 点时 两点同时停止运动 设运动时间为t 秒 连接 A 当 A M v 的面积最大时 求f 的值 直线P p 能否垂直平分线段肘 若能 请求出此时 点尸白勺坐标 若不能 请说明你的理由 评析 上述两题都以函数图像为背景 以动点为问 题的研究对象 把函数 方程 直线 三角形 平行四边 形 相似三角形 锐角三角形等众多知识整合在一起 例 5 通过点的运动 需要对直角三角形的不同情况进行分 类讨论 例6 3 中 需要注意在自变量取值区间上求 最大值 而不能机械地套用公式 解这类题要求学生必 须牢固掌握各个领域的数学知识 要求学生拥有较强的 数形结合思想去探索解题的思路 例7 2 0 1 3 年温州市 如图1 1 在平面直角坐标系中 直线A 曰与z 轴 y 轴分别交于点A 6 0 B 0 8 点G 的坐标为 0 m 过点C 作C E 上 A B 于点E 点D 为z 轴上一动点 连接 C D D E 坟C D D E 为边作口C D E F 1 当O m 0 问 是否存在某一时刻 将 加B 绕 命题感悟 某点旋转1 8 0 后 三个对应顶点恰好都落在抛物线上 若存在 求出 的值 若不存在 请说明理由 评析 上述两题以点在直线上运动为背景 以动点 为问题的研究对象 例7 通过点D 在直线上的运动变化 使得平行四边形C D E F 的形 状发生变化 从而进行分类 讨论解决 例8 是一个双动点问题 通过两个动点尸 p 分 别在两条直线上运动 对直角三角形的存在情况 需分 类求解 这类试题是集代数 几何于一体的综合题 构思 新颖 开放性较强 涉及特殊三角形的性质 矩形的性质 与判定 三角形全等的判定 三角形相似的判定与性质 勾股定理 平行线 分类讨论思想 方程思想 化归思想 例9 2 0 1 3 年金华 丽水 市 如图1 3 点4 是戈轴正半轴上 的动点 点B 的坐标为 0 4 M 是线段AB 的中点 将点肘绕点A 顺时针方向旋转9 0 得到点c 过 图1 3 点c 作祷由的垂线 垂足为F 过点B 作y 轴的垂线与直线 C 肼耳交于点E 点D 是点A 关于直线c F 的对称点 连接 A c B C c D 设点A 的横坐标为f 1 当 2 时 求C 朋勺长 2 当 为何值时 点c 落在线段日D 上 设 B c E 的面积为s 求 s 与f 之间的函数关系式 3 如图1 4 当点C 与点E 重合时 将 C D F 沿戈轴左右平移得到 C D F 再将以A B C D 为顶点的四边形图1 4 沿C 尸剪开 得到两个图形 用这两个图形拼成不重叠 且无缝隙的图形恰好是三角形 请直接写出所有符合上 述条件的点C 的坐标 评析 本题是动点和平移 旋转相结合的综合性压 轴题 试题具有较强的综合性和灵活性 如 3 中要动手 操作拼图 并对动态中的拼图进行分类讨论 本题所涉 及的相似三角形 一元二次方程等众多知识 有一定的 难度 这类试题能有效考查学生运用已学知识分析问题 和解