4三角函数知识提要.doc

引言周期现象模型化钟表旋转角 （生肖、干支纪年法）周期现象的数学模型三角函数角的概念静态定义（初中） 动态定义（高中）（旋转中心与旋转方向） 边 顶点 始边 终边角的分类分类标准与类型初中 按角的大小 锐角、钝角、直角、平角、周角高中 按角的旋转方向 正角、负角、零角 按终边的位置 象限角、轴线角（坐标系背景与始边的位置）“基本角”的概念 a到b的角 a止b的角角的集合终边在x轴正半轴上的角的集合终边在x轴负半轴上的角的集合终边在x轴上的角的集合终边在y轴正半轴上的角的集合终边在y轴负半轴上的角的集合终边在y轴上的角的集合终边在坐标轴上的角的集合终边在第一象限的角的集合终边在第二象限的角的集合终边在第三象限的角的集合终边在第四象限的角的集合的意义 不是一个区间，是无数个区间各象限的半角、三分角的终边的位置及其记忆图各象限的二倍角的终边的位置阴影部分的角的集合 终边在直线y=kx上的角的集合角的终边关系与的终边重合与的终边关于x轴对称与的终边关于y轴对称与的终边关于坐标原点对称与的终边关于直线y=x对称与的终边关于直线y=-x对称角的度量1度、1弧度的定义角度与弧度的换算（比例法）、特殊角的弧度数弧长公式及其推广、扇形面积公式弧度制的意义：统一了度量弧与半径的单位，简化了有关公式及运算，为研究三角函数奠定了基础 扇形周长与面积的最值问题任意角的三角函数初中的三角函数定义正弦、余弦、正切的定义在角的终边上除顶点外任取一点P，坐标为（x，y），OP=r，则：把叫做的正弦，记作，即；把叫做的余弦，记作，即；把叫做的正切，记作，即根据定义推出三角函数的定义域和值域、（三角函数的值只与决定角大小的终边有关，与在终边上所取的点无关）根据定义推出三角函数符号图（象限和轴） 口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦三角函数共有六个（了解） 特殊角的三角函数值 三角形内角及其半角的三角函数值的符号 若，则的终边在 0三角函数线有向直线的概念 对数轴、坐标轴的再认识有向线段的概念 和有向直线平行的有向线段的方向比较 有向线段的三要素（大小、方向、起点）、数量、长度对点坐标的再认识 坐标线的起点和终点 起点的优先顺序：原点轴点象限点对三角函数定义式简化的可能性和可行性分析：在角的终边上除顶点外任一点，坐标为（x，y），根据定义知三角函数的值只与决定角大小的终边有关，与在终边上所取的点无关，故可取特殊的点，使比式，简化（分子或分母为1，以分母为1为宜） 若r为1，则所取点为角的终边与单位圆的交点，记为P，过P坐x轴的垂线，垂足为M，则，把有向线段MP，OM分别叫做的正弦线和余弦线；若x为1，则所取点为角的终边（或其反向延长线）与直线x=1的交点（正交、反交），记为T，又记点（1，0）为A，则，把有向线段AT叫做的正切线三角函数线把代数问题几何化，体现了数形结合思想三角函数线的应用 证明方程和不等式 解方程和不等式推导诱导公式1、证明：，2、解不等式：，3、解方程：，4、已知，求证：5、若是第二象限的角，且，则（ ） A、 B、 C、 D、以上都不对同角三角函数的关系（记忆方法用正六边形 关系类型：平方关系、倒数关系、商的关系）最基本三角恒等式的概念与内容应用 切化弦与弦化切化简（化繁）证明 思考方法：执果所因分析法（公安局）、由因导果综合法（法院）操作方法：单向转化（左右、右左）、双向转化（左中间、右中间）、等价转化（左-右=0、分式化整式）、数式变换求值 给角（特殊角）求值、给值求值（知一求二）、给式求值（知一求二）1、已知，求、和的值1、已知，且是第二象限角，求和的值2、已知，求和的值3、已知，求和的值4、已知，且是第一象限角，求和的值5、已知，求和的值6、已知，求的值7、已知，求、和的值齐次分式1、已知，求的值若，则，诱导公式公式的形式、记忆方法（半变整不变，符号看象限）、作用：化任意角的三角函数为锐角的三角函数（顺序：化负角为正角、化正角为基本角、化基本角为锐角）应用：化简（化繁）证明 思考方法：执果所因分析法（公安局）、由因导果综合法（法院）操作方法：单向转化（左右、右左）、双向转化（左中间、右中间）、等价转化（左-右=0、分式化整式）、数式变换求值 给角（特殊角）求值、给值求值、给式求值 已知角与未知角的关系 角的相对性 整体思维证明正弦函数、余弦函数、正切函数的奇偶性讨论思想 如奇偶讨论方程思想 如角的换算化归思想 如诱导公式数形结合思想 如三角函数线整体思想 如角的相对性函数的周期性以函数为例引入周期函数的定义 周期恒等式 周期的无穷性与最小正周期的惟一性（广义的周期与狭义的周期） 若T是函数的周期，则都是的周期 最小正周期的惟一性便于交流最小正周期的证明方法：反证法非周期函数无最小正周期的周期函数有最小正周期的周期函数函数周期函数以周期性为标准的函数分类 （不是所有的函数都是周期函数，不是所有的周期函数都有最小正周期）周期函数的定义域特征 可向两端无限延伸 无界性周期函数的图象特征 平移与叠合 可向两端无限延伸常见函数的周期正弦函数的周期为、余弦函数的周期为、正切函数的周期为复合函数的周期若函数的周期为T，则函数的周期为周期性与函数图象的对称性关系若的图象有两条对称轴，则是周期函数若的图象有两个对称中心，则是周期函数若的图象既有对称轴又有对称中心，则是周期函数对称恒等式与周期恒等式研究函数研究对象 先典型后推广到类型（亲戚）研究工具 解析式和图象（第一次研究只能用描点法 代数描点与几何描点）研究内容（从各个角度考察）定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、对称性、反函数、导函数、连续性正弦函数的图象（正弦曲线）列表 x的代表性 象限角 轴线角（特殊性） 基本角因误差频繁而采用几何描点法 平移 截取 最基本要求五点作图法（最简单的代数描点法）五点顺序：起点末点中点峰点谷点利用函数的性质作出的整个图象利用正弦曲线作出函数的图象（余弦曲线）（平移 也可用几何描点法）用几何描点法作出函数的图象（正切曲线 注意作出渐近线）三角函数的图象与性质函数名称正弦函数余弦函数正切函数解析式图象定义域值域值域最大值的条件最小值的条件奇偶性周期性单调性单调增区间单调减区间图象的对称性对称中心对称轴以性作图、以图识性、以图记性图象的应用 1、解方程 2、解不等式3、求函数的图象与直线所围成的图形面积（割补法）4、求方程的实数解的个数 5、变换出余弦函数和复合函数的图象5、正弦函数与二次函数的复合函数问题复合函数的图象作图列表描五点法（表中行、列的顺序 均值 发散）、利用周期性作出整个图象（平移、延伸）0说图注意运算对象与运算顺序 说法要规范准确 灵活性1、若把函数图象上的所有点向右平移（）个单位长度，可得函数的图象，则的最小值为 用图根据图象写出解析式 待定系数法 设通过最高和最低点的纵坐标求A、B，通过周期求，通过最高（低）的坐标求（若不用最高点或最低点，则当的范围扩大时，可能有多个解，需用多个点坐标解方程组；若在正弦函数的一个单调区间内取值，则只有一个解）函数与函数之间的关系最值与平衡值、对称轴与对称中心、增建区间与正负值区间三角函数的应用振动量的有关概念 变量的物理意义周期特征 待定系数法 函数模型单摆、简谐振动、潮汐现象、血压、气温变化等等课本48页的小结：在本章中，我们通过旋转将角的概念推广到任意角，探讨了角的另一种度量制度弧度制，在此基础上，研究了任意角的三角函数、同角三角函数关系、诱导公式、三角函数的图象和性质，最后研究了三角函数的应用“依性作图，以图识性”是数形结合思想的重要体现在本章中，我们先探讨了三角函数的最重