高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1.2指数函数指数函数的概念、图象与性质讲义苏教版.docx

第1课时指数函数的概念、图象与性质学 习 目 标核 心 素 养1.理解指数函数的概念(重点)2.掌握指数函数的图象和性质(重点)3.能够利用指数函数的图象和性质解题(重点、难点)4.掌握函数图象的平移变换和对称变换.通过学习本节内容培养学生的逻辑推理和直观想象的数学核心素养.1指数函数的概念一般地，函数yax(a0，a1)叫做指数函数，它的定义域是R.2指数函数的图象和性质a10a0时，y1；x0时，0y0时，0y1；x1单调性在(，)上是单调增函数在(，)上是单调减函数奇偶性非奇非偶函数1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y32x是指数函数()(2)指数函数的图象与x轴永不相交()(3)函数y2x在R上为增函数()(4)当a1时，对于任意xR总有ax1.()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)y32x的系数为3，故y32x不是指数函数(2)指数函数的值域为(0，)，故它与x轴不相交(3)y2x是减函数(4)a1时，若x0，则ax1，且a2)(4)(6)只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y2x2242x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令ba1，则ybx，b0且b1，所以是3若函数f(x)ax(a0且a1)的图象过点(2,9)，则f(x)_.3x由于a29，a3.a0，a3，f(x)3x.指数函数的概念【例1】函数f(x)(a27a7)ax是指数函数，求实数a的值思路点拨：利用指数函数的定义求解解函数f(x)(a27a7)ax是指数函数，a6，即a的值为6.指数函数具有以下特征：底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；指数位置是自变量x，且x的系数是1；ax的系数是1.1已知y(2a1)x是指数函数，则a的取值范围是_要使y(2a1)x是指数函数，则2a10且2a11，a且a1.利用单调性比较大小【例2】比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与1；(3)0.62与；(4)与30.2.思路点拨：观察底是否相同(或能化成底相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小解(1)02.6，.(2)01，y在定义域R内是减函数又1，1.(3)0.620.601，.(4)30.3，y3x在定义域R内是增函数，又0.30.2，30.330.2，30.2.在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类：(1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决.(2)底数不同、指数同：利用指数函数的图象进行解决.在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，逆时针方向底数在增大，然后观察指数取值对应的函数值即可.(3)底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象.2比较下列各组数的大小：(1)1.9与1.93；(2)0.60.4与0.40.6；(3)，2，.解(1)由于指数函数y1.9x在R上单调递增，而3，1.90.60.6.又在y轴右侧，函数y0.6x的图象在y0.4x图象的上方，0.60.60.40.6，0.60.40.40.6.(3)1,21,01，又在y轴右侧，函数y的图象在y4x的下方，42，2，求x的取值范围；(2)已知0.3x，求xy的符号思路点拨：化为同底，利用指数函数的单调性求解解(1)422，原式化为222x12.y2x是单调递增的，2x1，0.3y.y0.3x是减函数，xy，xyay的不等式，借助yax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论2形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解3(1)若例3题(1)改为42，则x的取值范围为_(2)解关于x的不等式a3x2ax2，(a0且a1)(1)22(x1)22，又y2x是增函数，(x1)2，解得3x1时，3x2x2，x2.当0a1时，不等式的解集为x|x2，当0a0)的图象经过的定点是什么？提示结论：y2x1，y3x1，y1都过定点(0,0)，且yax1也总过定点(0,0)y2x11，y3x11，y1都过定点(1,0)，且yax11也总过定点(1,0)综上得yaxmn的图象经过定点(m,1n)3除去用图象变换的方法外，还有无其它方式寻找定点如y4a2x43是否过定点提示还可以整体代换将y4a2x43变形为a2x4.令即y4a2x43过定点(2,7)【例4】(1)函数y3x的图象是_(填序号)(2)已知0a1，b1，则函数yaxb的图象必定不经过第_象限(3)函数f(x)2ax13(a0且a1)的图象恒过定点_思路点拨：题(1)中可将y3x转化为y.题(2)中，函数yaxb的图象过点(0,1b)，因为b1，所以点(0,1b)在y轴负半轴上题(3)应该根据指数函数经过定点求解(1)(2)一(3)(1，1)(1)y3x为单调递减的指数函数，其图象为.(2)函数yax(0a1)在R上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数yaxb的图象在R上单调递减，且过点(0,1b)因为b1，所以点(0,1b)在y轴负半轴上，故图象不经过第一象限(3)令x10，得x1，此时y2a031，故图象恒过定点(1，1)1处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性2指数型函数图象过定点问题的处理方法求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点4函数yf(x)ax2(a1)的图象必过定点_，其图象必不过第_象限四yax(a1)在R上单调递增，必过(0,1)点，故求f(x)所过的定点时可以令即定点坐标为.结合图象(略)可知，f(x)的图象必在第一、二、三象限，不在第四象限1判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合yax(a0且a1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.2指数函数yax(a0且a1)的性质分底数a1,0a0且a1)的函数为指数函数，故是指数函数2指数函数y(2a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是_(1,2)由题意可知，02a1，即1a2.3函数yax51(a0)的图象必经过点_(5,2)指数函数的图象必过点(0,1)，即a01，由此变形得a5512，