安排最佳阵容的数学模型及其求解.pdf

1 最佳阵容的数学模型及其求解最佳阵容的数学模型及其求解 张雨 1 詹立新2 肖皪3 1 武汉大学计算机学院信息安全 武汉 430079 2 武汉大学机械制作与其自动化 武汉 430079 3 武汉大学数学与统计学院 武汉 430079 E mail zhangyu4123 摘摘 要 要 本文通过队最佳阵容的问题的研究提出了利用整数规划的方式求解此问题 在确定 最佳阵容之后 并且利用随机数模拟取值的办法 模拟实验取得次阵容的得分和有多大的把 握战胜什么样的对手 通过对分数的讨论 发现本分数的分布符合正态分布 利用数学知识 和 matlab 软件对模型进行了解答 关键词 关键词 最佳阵容 0 1整数规划 正态分布 参数估计 matlab软件 中图分类号 中图分类号 tp391 1 问题的重述问题的重述 有一场由四个项目 高低杠 平衡木 跳马 自由体操 组成的女子体操团体赛 赛程 规定 每个队至多允许 10 名运动员参赛 每一个项目可以有 6 名选手参加 每个选手参 赛的成绩评分从高到低依次为 10 9 9 9 8 0 1 0 每个代表队的总 分是参赛选手所得总分之和 总分最多的代表队为优胜者 此外 还规定每个运动员只能参 加全能比赛 四项全参加 与单项比赛这两类中的一类 参加单项比赛的每个运动员至多只 能参加三项单项 每个队应有 4 人参加全能比赛 其余运动员参加单项比赛 现某代表队的教练已经对其所带领的 10 名运动员参加各个项目的成绩进行了大量测 试 教练发现每个运动员在每个单项上的成绩稳定在 4 个得分上 见下表 她们得到这些 成绩的相应概率也由统计得出 见表中第二个数据 例如 8 4 0 15 表示取得 8 4 分 的概率为 0 15 试解答以下问题 1 每个选手的各单项得分按最悲观估算 在此前提下 请为该队排出一个出场阵容 使该 队团体总分尽可能高 每个选手的各单项得分按均值估算 在此前提下 请为该队排出 一个出场阵容 使该队团体总分尽可能高 2 若对以往的资料及近期各种信息进行分析得到 本次夺冠的团体总分估计为不少于 236 2 分 该队为了夺冠应排出怎样的阵容 以该阵容出战 其夺冠前景如何 得分前 景 即期望值 又如何 它有 90 的把握战胜怎样水平的对手 附表 运动员各项目得分及概率分布表 表 1 运动员各项目得分及概率分布表 队员 1 高低杠 2 平衡木 3 跳马 4 自由体 操 8 4 0 15 8 4 0 10 9 1 0 10 8 7 0 10 9 0 0 50 8 8 0 20 9 3 0 10 8 9 0 20 9 2 0 25 9 0 0 60 9 5 0 60 9 1 0 60 1 9 4 0 10 10 0 10 9 8 0 20 9 9 0 10 9 3 0 10 8 4 0 15 8 4 0 10 8 9 0 10 2 9 5 0 10 9 0 0 50 8 8 0 20 9 1 0 10 2 9 6 0 60 9 2 0 25 9 0 0 60 9 3 0 60 9 8 0 20 9 4 0 10 10 0 10 9 6 0 20 8 4 0 10 8 1 0 10 8 4 0 15 9 5 0 10 8 8 0 20 9 1 0 50 9 0 0 50 9 7 0 10 9 0 0 60 9 3 0 30 9 2 0 25 9 8 0 60 3 10 0 10 9 5 0 10 9 4 0 10 10 0 20 8 1 0 10 8 7 0 10 9 0 0 10 8 4 0 10 9 1 0 50 8 9 0 20 9 4 0 10 8 8 0 20 9 3 0 30 9 1 0 60 9 5 0 50 9 0 0 60 4 9 5 0 10 9 9 0 10 9 7 0 30 10 0 10 8 4 0 15 9 0 0 10 8 3 0 10 9 4 0 10 9 0 0 50 9 2 0 10 8 7 0 10 9 6 0 10 9 2 0 25 9 4 0 60 8 9 0 60 9 7 0 60 5 9 4 0 10 9 7 0 20 9 3 0 20 9 9 0 20 9 4 0 10 8 7 0 10 8 5 0 10 8 4 0 15 9 6 0 10 8 9 0 20 8 7 0 10 9 0 0 50 9 7 0 60 9 1 0 60 8 9 0 50 9 2 0 25 6 9 9 0 20 9 9 0 10 9 1 0 30 9 4 0 10 9 5 0 10 8 4 0 10 8 3 0 10 8 4 0 10 9 7 0 10 8 8 0 20 8 7 0 10 8 8 0 10 9 8 0 60 9 0 0 60 8 9 0 60 9 2 0 60 7 10 0 20 10 0 10 9 3 0 20 9 8 0 20 8 4 0 10 8 8 0 05 8 7 0 10 8 2 0 10 8 8 0 20 9 2 0 05 8 9 0 20 9 3 0 50 9 0 0 60 9 8 0 50 9 1 0 60 9 5 0 30 8 10 0 10 10 0 40 9 9 0 10 9 8 0 10 8 4 0 15 8 4 0 10 8 4 0 10 9 3 0 10 9 0 0 50 8 8 0 10 8 8 0 20 9 5 0 10 9 2 0 25 9 2 0 60 9 0 0 60 9 7 0 50 9 9 4 0 10 9 8 0 20 10 0 10 9 9 0 30 9 0 0 10 8 1 0 10 8 2 0 10 9 1 0 10 9 2 0 10 9 1 0 50 9 2 0 50 9 3 0 10 9 4 0 60 9 3 0 30 9 4 0 30 9 5 0 60 10 9 7 0 20 9 5 0 10 9 6 0 10 9 8 0 20 符号定义 ij C 第i个运动员参加第j个项目的比赛的得分 B 按最悲观估计团体总得分数组 C 价值矩阵 3 K 模式选择矩阵 C 按均值估算的价值矩阵 2 B 按最乐观估算的团体总得分数组 2 模型假设模型假设 基本假设 1 假设每个运动员每个得分的取值和概率是准确的 能够代表他们的真实水平 2 在比赛的过程中没有意外发生 运动员不会由于天气和身体等原因而影响自身水平的发 挥 3 假设所有与比赛有关的设备在比赛中都不会出现异常情况 如比赛记分器性能稳定 不 会出现故障等 4 比赛中某个运动员的失常发挥不会影响其他运动员在比赛中的情绪 进而影响其他运动 员真实水平的发挥 5 在比赛中每位裁判都是公平 公正的 3 问题的分析与求解问题的分析与求解 3 1 问题一的分析和求解问题一的分析和求解 3 1 1 按最悲观估算的阵容按最悲观估算的阵容 每个选手的各单项得分按最悲观估算 在这种情况下 要找到一种既满足比赛规则又 能使该阵容团体总分尽可能高的阵容 首先我们可以得到相应的每个队员参加各个项目的得 分表 这里我们将各个项目进行编号 高低杠 1 平衡木 2 跳马 3 自由体操 4 表 2 各个选手的最差得分矩阵 运动员 项目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 8 4 9 3 8 4 8 1 8 4 9 4 9 5 8 4 8 4 9 0 2 8 4 8 4 8 1 8 7 9 0 8 7 8 4 8 8 8 4 8 1 3 9 1 8 4 8 4 9 0 8 3 8 5 8 3 8 7 8 4 8 2 4 8 7 8 9 9 5 8 4 9 4 8 4 8 4 8 2 9 3 9 1 我们建立以下模型 设决策变量ij x ij x 1 j j 当第i个运动员参加第 个项目的比赛时 0 当第i个运动员不参加第 个项目的比赛时 为便于编程求解 我们使用 0 1 整数规划 1 来进行模型求解 我们特引入元素个数 为 10 的数组K表示对参加全能运动员的选择模式 其元素 4 1 110 0 i i ki i 第 个运动员参加全能比赛 第 个运动员不参加全能比赛 所有运动员参加全能比赛 按最悲观估算 其总得分数组为B 其元素为 i b i b为第i个 运动员参加 4 个项目得分的总和 34 63534 434 235 13534 634 134 534 4B 所有运动员按最悲观估算 其价值矩阵 得分矩阵 为 8 4 8 4 9 1 8 7 9 3 8 4 8 4 8 9 8 4 8 1 8 4 9 5 8 1 8 7 9 0 8 4 8 4 9 0 8 3 9 4 9 4 8 7 8 5 8 4 9 5 8 4 8 3 8 4 8 4 8 8 8 7 8 2 8 4 8 4 8 4 9 3 9 0 8 1 8 2 9 1 C 目标函数 10104 111 max 1 i iijiij iij Sbkck x 约束条件 10 1 10 1 4 1 4 6 1 2 3 4 0 4 3 110 01 01 i i ij i iji j ij i k xj xki x k 或 或 根据这个模型 我们运用 lingo 软件编写的程序见附件 1 我们得到的结果是 团队总分为 212 3 其出场阵容为 参加全能比赛的选手为 2 5 6 9 单项比赛中参加高低杠项目的选手为 7 10 单项比赛中参加平衡木项目的选手为 4 8 单项比赛中参加跳马项目的选手为 1 4 单项比赛中参加自由体操项目的选手为 3 10 5 具体阵容见下表 表 3 运动员的参赛表格 注 0 表示不参加 1 表示参加 运动员 项目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高低杠 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 平衡木 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 跳马 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 自由体操 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 3 1 2 按均值估算的阵容按均值估算的阵容 每个选手的各单项得分按均值估算 在这种情况下 要找到一种既满足比赛规则又能 使该阵容团体总分尽可能高的阵容 同 3 1 1 的方法相同 首先我们可以得到队员参加各个 项目的得分表 这里我们将各个项目进行编号 高低杠 1 平衡木 2 跳马 3 自由体 操 4 表 4 各个运动员的得分期望表格 运动员 项目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 9 0 9 6 9 0 9 1 9 0 9 7 9 8 9 0 9 0 9 4 2 9 0 9 0 9 1 9 1 9 4 9 1 9 0 9 8 9 2 9 1 3 9 5 9 0 9 0 9 5 8 9 8 9 8 9 9 1 9 0 9 2 4 9 1 9 3 9 8 9 0 9 7 9 0 9 2 9 3 9 7 9 5 同 3 1 1 的解法相似 我们只需改变其价值矩阵 即得分矩阵 价值矩阵为 6 9 0000 9 0000 9 5000 9 1000 9 6000 9 0000 9 0000 9 3000 9 0000 9 1000 9 0000 9 8000 9 1000 9 1000 9 5000 9 0000 9 0000 9 4000 8 9000 9 7 C 000 9 7000 9 1000 8 9000 9 0000 9 8000 9 0000 8 9000 9 2000 9 0000 9 8000 9 1000 9 3000 9 0000 9 2000 9 0000 9 7000 9 4000 9 1000 9 2000 9 5000 所有运动员参加全能比赛 按均值估算 其总得分数组为 B 其元素为 i b i b为第i个 运动员参加 4 个项目得分的总和 36 636 936 936 73736 736 937 236 937 2B 目标函数 10104 111 max 1 iiijiij iij Sbkck x 约束条件和 3 1 1 同 根据这个模型 我们运用 lingo 软件编写的程序见附件 2 由此可以 解得 团体总得分为 224 7 其出场阵容为 参加全能比赛的选手为 2 3 8 10 单项比赛中参加高低杠项目的选手为 6 7 单项比赛中参加平衡木项目的选手为 5 9 单项比赛中参加跳马项目的选手为 1 3 单项比赛中参加自由体操项目的选手为 5 9 具体阵容见下表 表 5 按平均值得到的运动员参赛矩阵表格 1 表示参加 0 表示不参加 运动员 项目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高低杠 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 平衡木 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 跳马 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 自由体操 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 7 3 2问题二的分析和求解问题二的分析和求解 3 2 1 能够夺冠的最佳阵容能够夺冠的最佳阵容 在本问题中 由于夺冠的团体总分估计为不少于 236 2 经过初步分析我们发现 预使 团体总分不少于 236 2 则阵容的价值矩阵或者说是得分矩阵中的每一个值必须足够大 矩 阵中的元素应取每个运动员各个项目得分的较大的两个值之一 进一步分析 我们将价值矩 阵中的每个元素都置为每个运动员各个项目得分的最大值 则按照问题一的算法 得出每个 队员参加各个项目的得分表 这里我们将各个项目进行编号 高低杠 1 平衡木 2 跳马 3 自由体操 4 表 6 运动员最高得分图表 运动员 项目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 9 4 9 8 10 0 9 5 9 4 9 9 10 0 10 0 9 4 9 7 2 10 0 9 4 9 5 9 9 9 7 9 9 10 0 10 0 9 8 9 5 3 9 8 10 0 9 4 9 7 9 3 9 1 9 3 9 9 10 0 9 6 4 9 9 9 6 10 0 10 0 9 9 9 4 9 8 9 8 9 9 9 8 我们建立以下模型 设决策变量ij x ij x 1 j j 当第i个运动员参加第 个项目的比赛时 0 当第i个运动员不参加第 个项目的比赛时 为便于编程求解 我们特引入元素个数为 10 的数组K表示对参加全能运动员的选择模 式 其元素 1 110 0 i i ki i 第 个运动员参加全能比赛 第 个运动员不参加全能比赛 所有运动员按最乐观估算 即每个运动员各项目得分取最大值 其价值矩阵 得分矩 阵 为 8 9 4000 10 0000 9 8000 9 9000 9 8000 9 4000 10 0000 9 6000 10 0000 9 5000 9 4000 10 0000 9 5000 9 9000 9 7000 10 0000 9 4000 9 7000 9 3000 C 9 9000 9 9000 9 9000 9 1000 9 4000 10 0000 10 0000 9 3000 9 8000 10 0000 10 0000 9 9000 9 8000 9 4000 9 8000 10 0000 9 9000 9 7000 9 5000 9 5000 9 8000 目标函数 104 11 max ijij ij Sc x 约束条件 10 1 10 1 4 1 4 6 1 2 3 4 0 4 3 110 01 01 i i ij i iji j ij i k xj xki x k 或 或 根据这个模型 我们运用 lingo 软件编写的程序见附件 4 我们得到的结果是 团队总分为 236 5 其出场阵容为 参加全能比赛的选手为 1 4 7 8 单项比赛中参加高低杠项目的选手为 3 6 单项比赛中参加平衡木项目的选手为 6 9 单项比赛中参加跳马项目的选手为 2 9 单项比赛中参加自由体操项目的选手为 3 9 具体阵容见下表 9 表 7 参赛矩阵表格 0 表示不参加 1 表示参加此项比赛 运动员 项目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高低杠 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 平衡木 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 跳马 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 自由体操 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 由上我们得出团体总分的最大值为 236 5 也就意味着 预使团体总分不少于 236 2 则 目标阵容的价值矩阵中的绝大多数元素应取运动员得分的最大值 只有极少数 个别的一个 或两个 取其次大值 如此以来 我们在模型中的价值矩阵不防都取运动员各项目得分的最 大值 由于我们可以得到的团体总分最大值为 236 5 经过初步估算 我们发现 不论以怎样 一种阵容出场 团队夺冠的可能性都极小 从某中意义上讲 团队几乎是不可能夺冠的 在 这种情况下 我们再去寻求一种夺冠概率 也就是说 目标阵容团体总分大于等于 236 2 的 概率 最大的阵容便失去其实际意义 我们认为 在都有夺冠的可能的情况下 尽管夺冠的 概率极小 我们的最佳阵容应该是实力最好的 衡量一个运动员的实力 或者说其水平 我们一般引入得分期望这个概念 因此 一个团队的实力应该由以每个运动员各单项得分按 均值估算的团体总分来体现 基于这种认识 我们建立以下模型 和问题一相似 我们设决策变量 ij x ij x 1 j j 当第i个运动员参加第 个项目的比赛时 0 当第i个运动员不参加第 个项目的比赛时 我们引入数组K来表示我们对参加全能运动员的选择模式 其元素 1 110 0 i i ki i 第 个运动员参加全能比赛 第 个运动员不参加全能比赛 所有运动员参加全能比赛 按最乐观估算 也就是 每个运动员各项目得分取最大值 其总得分数组为 1 B 其元素为 1 i b 1 i b为第i个运动员参加 4 个项目得分的总和 1 39 138 838 939 138 338 339 139 739 138 6B 所有运动员参加全能比赛 按均值估算 其总得分数组为 2 B 其元素为 2 i b 2 i b 为 第i个运动员参加 4 个项目得分的总和 2 36 636 936 936 73736 736 937 236 937 2B 按最乐观估算的价值矩阵 1 C 10 按均值估算的价值矩阵 2 C 2 9 0000 9 0000 9 5000 9 1000 9 6000 9 0000 9 0000 9 3000 9 0000 9 1000 9 0000 9 8000 9 1000 9 1000 9 5000 9 0000 9 0000 9 4000 8 9000 9 7 C 000 9 7000 9 1000 8 9000 9 0000 9 8000 9 0000 8 9000 9 2000 9 0000 9 8000 9 1000 9 3000 9 0000 9 2000 9 0000 9 7000 9 4000 9 1000 9 2000 9 5000 目标函数 10104 22 111 max 1 iiijiij iij Sb kck x 约束条件 1 9 4000 10 0000 9 8000 9 9000 9 8000 9 4000 10 0000 9 6000 10 0000 9 5000 9 4000 10 0000 9 5000 9 9000 9 7000 10 0000 9 4000 9 7000 9 3000 C 9 9000 9 9000 9 9000 9 1000 9 4000 10 0000 10 0000 9 3000 9 8000 10 0000 10 0000 9 9000 9 8000 9 4000 9 8000 10 0000 9 9000 9 7000 9 5000 9 5000 9 8000 11 10 1 10 1 4 1 10104 11 111 4 6 1 2 3 4 0 4 3 110 1 236 2 01 01 i i ij i iji j iiijiij iij ij i k xj xki b kckx x k 或 或 根据这个模型 我们运用 lingo 软件编写的程序见附件 5 我们得到的结果是 该阵容按最 乐观估算的团体总分为 236 3 按均值估算的团体总分为 223 1 其出场阵容为 参加全能比赛的选手为 4 7 8 9 单项比赛中参加高低杠项目的选手为 2 6 单项比赛中参加平衡木项目的选手为 1 6 单项比赛中参加跳马项目的选手为 1 2 单项比赛中参加自由体操项目的选手为 3 5 具体阵容见下表 表 8 参赛矩阵 1 表示参加表示不参加 运动员 项目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高低杠 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 平衡木 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 跳马 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 自由体操 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 3 2 2 夺冠的前景夺冠的前景 基于 3 2 1 的求解 我们对该阵容夺冠的前景的求解可建立以下模型 每个运动员各项目得最高分的概率矩阵为 12 0 10 10 20 1 0 20 10 10 2 0 10 10 10 2 0 10 10 30 1 0 10 20 20 2 0 20 10 30 1 0 20 10 20 2 0 10 40 10 1 0 10 20 10 3 0 20 10 10 2 P 该阵容情况下的决策矩阵为 0110 1010 0001 1111 0001 1100 1111 1111 1111 0000 X 在该阵容情况下 其夺冠前景 即夺冠概率 为 104 11 ij X ij ij P P 由此解得 20 1 8432 10P 所以该阵容夺冠的前景应为 20 1 843210 3 2 3 得分前景得分前景 如3 2 1所求得的结果 我们采用阵容中运动员各单项得分的期望值来求整个团体的得 分期望 得分期望为223 1 下面我们采用另一种模型来求整个团队的得分期望 如前面我们在模型假设中假设的那样 我们假设整个团队的总体得分满足正态分布 为 对该正态分布进行参数估计 首先我们利用matlab软件随机产生若干 在我们的程序中产 生的矩阵数为70 该阵容的价值矩阵 即得分矩阵 然后进行假设检验 在确定该阵容团 体总分符合的分布性质后 我们便可以对该分布进行参数估计 具体的做法为 3 Step1 由于团队的出场阵容虽然确定 但是每个队员参加单项比赛的得分却是一个随机 值 鉴于此 我们利用matlab软件随机产生某队员参加某单项比赛的得分 具体做法是 13 利用matlab中的命令rand随机产生一个 0 1 之间的数 我们可以找到与该数最接近的 相应该队员参加该单项比赛某个得分的概率 该得分即确定为我们要找的该队员参加该单项 比赛的随机得分 如此 我们可以得到整个阵容的团体总分的随机值 Step2 将 Step1 做法重复做70次 我们便可以得到70个该阵容团体得分的随机值 Step3 进行假设检验 我们利用matlab 中的函数 h p stat cv lillietest result 2 进 行对本样本空间的正态分布检验 实际检验结果是 该样本空间很好的符合了正态分布 Step4 在第三步的基础上进行该正态分布的参数估计 我们利用matlab中的函数 a b c d normfit result 0 1 进行该正态分布的参数估计 其中 a 代表数据的期望 b 代表数据的 方差 c 代表期望的置信空间 d 代表方差的置信空间 由程序得出的结果是 a 223 7643 b 1 7449 c 226 0005 d 1 5330 2 0320 该模型具体的求解过程为 首先 我们根据该阵容 得到一个参赛矩阵 8 4 0 1 8 8 0 2 9 0 0 1 10 0 1 9 1 0 1 9 3 0 1 9 5 0 6 9 8 0 2 8 4 0 1 8 8 0 1 9 0 0 6 10 0 2 8 4 0 1 8 8 0 2 9 0 0 1 10 0 1 9 5 0 1 9 7 0 1 9 8 0 G 6 10 0 2 8 1 0 1 9 1 0 5 9 3 0 3 9 5 0 1 8 7 0 1 8 9 0 2 9 1 0 6 9 9 0 1 9 0 0 1 9 4 0 1 9 5 0 5 9 7 0 3 8 4 0 1 8 8 0 2 9 0 0 6 10 0 1 9 4 0 1 9 6 0 1 9 7 0 6 9 9 0 2 9 4 0 1 9 6 0 1 9 7 0 6 9 9 0 2 8 7 0 1 8 9 0 2 9 1 0 6 9 9 0 1 9 5 0 1 9 7 0 1 9 8 0 6 10 0 2 8 4 0 1 8 8 0 2 9 0 0 6 10 0 1 8 3 0 1 8 7 0 1 8 9 0 6 9 3 0 2 8 4 0 1 8 8 0 1 9 2 0 6 9 8 0 2 8 4 0 1 8 8 0 2 9 0 0 6 10 0 1 8 8 0 05 9 2 0 05 9 8 0 5 10 0 4 8 7 0 1 8 9 0 2 9 1 0 6 9 9 0 1 8 2 0 1 9 3 0 5 9 5 0 3 9 8 0 1 8 4 0 15 9 0 0 5 9 2 0 25 9 4 0 1 8 4 0 1 8 8 0 1 9 2 0 6 9 8 0 2 8 4 0 1 8 8 0 2 9 0 0 6 10 0 1 9 3 0 1 9 5 0 1 9 7 0 5 9 9 0 3 该矩阵的第1 3 5 7列为运动员参加单项比赛的4中可能得分 第2 4 6 8列为对 应与第1 3 5 7列得分的概率 24行对应于4个项目团队中选手参加情况 按照上述步骤 我们得到的第一组团体总分随机值 共70个 为 14 223 3000 225 1000 222 6000 224 3000 228 1000 224 2000 228 3000 224 9000 224 0000 225 9000 223 1000 223 6000 225 5000 225 4000 221 0000 223 8000 222 8000 225 9000 222 6000 224 2000 222 4000 226 6000 222 2000 223 4000 223 7000 223 9000 224 1000 225 5000 223 3000 225 5000 220 9000 223 9000 223 9000 224 3000 223 4000 222 7000 221 7000 222 8000 225 9000 224 5000 225 2000 224 2000 223 0000 224 2000 221 4000 222 6000 225 5000 221 8000 222 9000 223 4000 223 8000 224 6000 226 3000 222 8000 225 3000 222 6000 223 6000 221 7000 224 2000 220 6000 223 3000 221 6000 220 9000 223 5000 226 4000 223 3000 225 6000 223 6000 224 6000 224 5000 我们利用matlab中的函数 h p stat cv lillietest result 对本样本空间进行正态分布检 验得到h 0 说明该样本空间符合正态分布 再利用matlab中的函数 a b c d normfit result 0 1 进行该正态分布的参数估计得到该正态分布的密度函数的参数为 a 223 7643 b 1 7449 c 226 0005 d 1 5330 2 0320 由此得到的密度函数和分布函数的图像为 图 1 经过模拟得到和正态分布函数和函数累计曲线 由这种模型我们得到的团队得分期望为223 7643 3 2 4 由由 90 把握战胜的对手水平 把握战胜的对手水平 对于该团队以该阵容参加比赛有 90 的把握战胜怎样水平的对手这个问题 我们可以 通过该阵容的得分分布函数求得结果 该团队有90 的把握战胜对手 也就意味着该团队有 90 可能的总得分都在其对手之上 问题就转化为求团队总得分累计概率为90 的成绩区间 的起点 由于采用以上模型所获取团队总得分值有很大随机性 为减小误差 我们选取10 组 每组70个值 团体总分随机值 然后求其平均值作为真实值 由此得到的密度函数的参数为 15 a 224 1386 b 1 6105 c 222 0746 d 1 4149 1 8755 由此得到的密度函数和分布函数的图像为 图 2 经过模拟得到和正态分布函数和函数累计曲线 我们利用matlab中的函数norminv 2 来求成绩在其上的概率为90 的团体总得分 即使用语句norminv 0 1 a b 由此求得的团体总得分为222 1059 所以 我们得出 对手的水平应该是222 1059 4 结论结论 本文通过对女子体操团体赛阵容的分析讨论 得到了解决最佳阵容的方法和模型 第一问要求解最悲观情况和各单项得分按均值的情况的阵容分布 最悲观情况我们取 每位运动员单项最低分的得分矩阵 线性化约束条件 建立0 1整数规划模型 运用lingo 软件求解 各单项得分按均值的情况只需改变上问中的得分矩阵 用相同的模型即可求解 两问所的结果如下所示 表 9 最终阵容 最悲观情况下 全能选手 高低杠 平衡木 跳马 自由体操 总分 2 5 6 9 7 10 4 8 1 4 3 10 212 3 均值情况下 全能选手 高低杠 平衡木 跳马 自由体操 总分 2 3 8 10 6 7 5 9 1 3 5 9 224 7 第二问要求团体总分不少于236 2的最佳阵容 并得出此阵容的夺冠前景 得分期望和 16 此阵容有90 的把握战胜怎样的对手 对于最佳阵容的确定 考虑到实际生活中教练基本 是按每位运动员平均得分以及稳定程度确定阵容 因此选取得分均值作为目标函数 运动员 单项最高分和最佳阵容的乘积不小于236 2为约束条件 建立0 1整数规划模型求解 得到 最佳阵容 在此最佳阵容确定的情况下 考虑此阵容得分的所有不同可能性 组合后取值 得到夺冠的概率和期望 然后利用每位运动员单项得分的不同 利用随机数模拟离散取值的 概率 得到总分的样本空间 检验得此样本空间为正态分布 最后利用正态分布的分布函数 得到此阵容有90 的把握战胜怎样水平的对手 表 10 最佳阵容和得分前景 最可能夺冠情况 全能选手 高低杠 平衡木 跳马 自由体操 4 7 8 9 2 6 1 6 1 2 3 5 夺冠前景 得分前景 有90 战胜对手的水平 20 108432 1 223 1 222 1059 5 模型的改进与评价模型的改进与评价 5 1模型一的改进模型一的改进 在模型一中 我们的目标函数是 10104 111 max 1 i iijiij iij Sbkc