3热力学模型zfq.docx

1理想气体模型严格遵从气态方程(PV=(m/M)RT=nRT)的气体，叫做理想气体(Ideal gas)。从微观角度来看是指：分子本身的体积和分子间的作用力都可以忽略不计的气体，称为是理想气体。2热扩散模型观察集中在一点的瞬时热源在无穷空间引起的热扩散。设t=0时在坐标圆点=0有一热量为e的瞬时热源，在热量无穷空间扩散的过程中，空间任一点的温度是时刻t和该点与原点的径向距离r的函数。与热扩散过程有关的参数有，空间介质的体积比热c（单位体积的介质温度升高1度所需的热量）、介质的扩散系数k及热量e。于是可将温度函数表示u(r,t;e,c,k)。在这个过程中我们还假定介质的初始温度为零。为了利用Pi定理寻求温度函数关系，更一般地将上面各物理量间的表达式写作f(u,r,t,e,c,k)=0（1）在热学问题中基本量纲除L、M、T外，还应加上温度量纲，记作。各物理量用这4个基本量纲表示为= r=Lt=Te=L2MT-2（热量e与功的量纲相同。而功是力与距离的乘积）c=L-1MT-2-1（由体积比热c的定义和热量的量纲可直接得到）k=LMT-3-1（扩散系数k由q=-k du/dx定义，q是单位时间通过单位面积的热量）于是量纲矩阵为A=(0 1 0 2 -1 1;0 0 0 1 1 1;0 0 1 -2 -2 -3;1 0 0 0 -1 -1)Rank A=4,方程Ay=0，有6-4=2个基本解，可取为y1=（0 2 -1 0 1 -1）Ty2=（-2 0 -3 2 1 -3）T （2）由此可以得到2个相互独立的无量纲量1=r2t-1ck-12=u-2t-3e2ck-3 （3）且 F（1，2）=0 （4）与（1）式等价。为了得到温度函数并与已知结果比较，由（3）、（4）可以写出=e/c(a2t)(-3/2)g(r2/a2t),a2=k/c （5）其中g是某个未定的函数。（5）式即用量纲分析方法得到的温度函数表达式。另一方面，瞬时点源的热扩散过程可以用热传导方程的方法求解，其结果为=e/c(0.5(a2t)(-1/2)3 e-t2/4a2t,a2=k/c （6）比较（5）式与（6）式可以知道量纲分析方法在建立物理问题的数学模型中所起的作用，以及能解决问题的程度。基本量纲的选取并不是唯一的，采取合适的基本量纲可以简化问题的求解。譬如对上述热扩散问题可以用热量量纲E代替质量量纲M，即基本量纲选为、L、T、E，这样各物理量的量纲表达式和量纲矩阵为= r=Lt=Tc= -1L-3Ek= -1L-1T-1EA=(1 0 0 0 -1 -1;0 1 0 0 -3 -1;0 0 1 0 0 -1;0 0 0 1 1 1)由于矩阵A的前4列构成单位阵，简化了方程Ay=0的求解。解的结果当然与（5）式一致3范德瓦尔斯气体模型实际气体的一种模型。它把分子看成有一定大小（直径为d）的刚性球。两个分子中心的距离rd时，它们之间有相互吸引力。这个引力及其产生的相互作用势能的大小，因r值之不同而异。r很大时（大于10E-9m），引力可忽略不计，相互作用势能为0。考虑分子力，是范德瓦尔斯气体与理想气体的基本差别。4玻尔兹曼统计分布模型麦克斯韦玻尔兹曼统计是描述独立定域粒子体系分布状况的统计规律。所谓独立定域粒子体系指的是这样一个体系：粒子间相互没有任何作用，互不影响，并且各个不同的粒子之间都是可以互相区别的，在量子力学背景下只有定域分布粒子体系中的粒子是可以相互区分的，因此这种体系被称为独立定域粒子体系。而在经典力学背景下，任何一个粒子的运动都是严格符合力学规律的，有着可确定的运动轨迹可以相互区分，因此所有经典粒子体系都是定域粒子体系，在近独立假设下，都符合麦克斯韦-玻尔兹曼统计。因而符合麦克斯韦玻尔兹曼统计分布的粒子，当他们处于某一分布（“某一分布”指这样一种状态：即在能量为的能级上同时有个粒子存在着，不难想象，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态，而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的分布状态被称为最可几分布）时，体系总状态数为：服从M-B统计的两个粒子在三重简并态下的分布状态1状态2状态3ABBABAABBAABABABAB我们想要求出数列 在什么条件之下 会得到极大值, 但我们要注意的是数列 必须满足粒子总数固定且能量固定的条件。利用 或 来求出粒子分配时最概然分布的条件是等价的，然而基于数学上的理由，我们取后者的极大值会较为方便。由于 并非完全独立，因此我们采用拉格朗日乘数法以求出 的极值。令利用 斯特灵公式 作为阶乘的近似我们得到:代入 最后我们得到根据拉氏乘法原则，我们对 对每一项做偏微分，并令其等于。即利用其他热力学的方法可以证明 = 1/kT （ 是 玻尔兹曼常量 T 是 绝对温标 ） = -/kT （ 是 化学势 ） 最后我们得到:由于量子统计在数学处理上非常困难，因此在处理实际问题时经常引入一些近似条件，使费米-狄拉克统计和玻色-爱因斯坦统计退化成为经典的麦克斯韦-玻尔兹曼统计5卡诺热机模型8世纪，瓦特发明了蒸汽机，人类找到了把热能转变为机械能的具体方法。蒸汽机的问世使人类进入了工业社会，生产力得到快速发展。但当时蒸汽机的效率非常低，一般只能达到5%左右。于是，改进蒸汽机，提高其热效率，就成为许多科学家和工程师毕生追求的目标。法国工程师卡诺就是其中杰出代表。他认为，要想改进热机，只有从理论上找出依据。 卡诺从热力学理论的高度着手研究热机效率，设计了两条等温线，两条绝热线构成的卡诺循环（如右图所示）：第一阶段，温度为的等温膨胀过程，系统从高温热源吸收热量；第二阶段，绝热膨胀过程，系统温度从 降到；第三阶段，温度为的等温压缩过程，系统把热量释放给低温热源 ；第四阶段，绝热压缩过程，系统温度从升高到。他研究的结论，就是人们总结的卡诺定理，其核心内容是：在相同高温热源与相同低温热源之间工作的一切可逆卡诺热机（在实现热的动力过程中，不存在任何不是由于体积变化而引起的温度变化的热机），不论用什么工作物质，效率均为而在相同高温热源 与相同低温热源 之间工作的一切不可逆卡诺热机的效率总小于可逆卡诺热机的效率卡诺从理论上论证了热机存在极限和可逆卡诺热机的效率最大，这为改进蒸汽机做出了重大的理论突破，同时为热力学的进一步发展奠定了坚实的基础。卡诺在研究热机效率时，已经触及到一条反映状态转化方向的自然规律。但遗憾的是，卡诺认为：单独提供热不足以给出推动力，只有热从高温传向低温的过程，才可能产生推动力。从高温向低温发生的是“热质降落”，要让它再完成相反的过程，是不可能的。由于“热质说”这个错误理论，阻碍了卡诺完全解决这个问题，使卡诺失去了揭示热力学第二定律的机遇。6麦克斯韦模型麦克斯韦关系式是热力学中的一套方程，可以从热力学势的定义推出。麦克斯韦关系式是热力学势的二阶导数之间的等式的陈述。它们可以直接从二元解析函数的高阶导数与求导次