2123第二章 系统的数学模型--1--3节 控工胡月明--2014.pdf

1 第二章系统的数学模型 第一节 复数与复变函数含义第节 复数与复变函数含义 一 复数的表示 1 实 虚部普通表示法 例如 em ZajbRZjIZ em ZajbRZjIZ 它们实部相等 虚部符号相反 互为共轭复数 即模相等 幅角相反 特殊情况 当 a 0 时 此时复数Z为纯虚数 当 b 0 时 此时复数Z为实数 一 复数的表示 2 极坐标表示法 例如 3指数表示法 22 arctan b Zabr a 3 指数表示法 例如 4 矢量表示法 表示为 S 复平面上的一点或一向量 arctan 22 b j j a Zab er e 二 普通形式与指数形式的转换 em ZajbRZjIZ 22 arctan b Zabr a b j sin cos rZI rZR m e 22 arctan em m e rR ZIZ IZ R Z arctan 22 j j a Zab er e 三 复数的运算 设 1 11 j erZ 2 22 j erZ 则 模相乘 幅角相加 模相除 幅角相减 21 2121 j errZZ 21 2 1 2 1 j e r r Z Z 2 四 复变函数的零极点 复变函数 F s 是指自变量为复变量s j 的函数 例 例 当当 s j 时 求复变函数时 求复变函数 F s s2 1 的实部的实部 u 和虚部和虚部 v 解 解 复变函数的实部1 22 u 复变函数的虚部2 v F s s2 1 j 2 1 2 j 2 2 1 2 2 1 j 2 四 复变函数的零极点 零点 使 F s 0 的点 即 F s 的分子为零的解 极点 使 F s 的点 即 F s 的分母为零的解 例 求函数的零极点 解 令 F s 0 的点 s1 1 s2 2 二个零点 令F s 的点 s1 0 s2 3 s3 4 三个极点 3 2 43 2110 SSS SS sF 第二节 典型输入第二节 典型输入 一般在无任何外作用时 系统处于平衡状态 当系统受到 外作用后 可能是有用信号或干扰信号 其输出量将打破 平衡发生变化 为了研究问题的方便 统一评定标准 以 便进行横向比较 人为的给定了一些典型的输入信号 典型输入信号 的特点 典型输入信号 的特点 1 2 3 现场或实验室中易产生易获得 工作中常遇到的 且能表示出系统在实际工作条件 下的性能 数学表达式简单 便于理论计算和处理 一 阶跃信号 阶跃信号表征系统信号输入的突变 如模拟电源 突然接通 负荷突然变化 指令突然转换等 R 00 t r t tr 当 R 1 时称为单位阶跃信号 其数学表达式为 00 1 1 0 t r tt t 0Rt to 0 0 0 0 1 1 tt r ttt tt 若起始时间从t0开始 此时单位阶跃函数的 数学表达式为 0 1 r ttt 1 t tr o 0 t 3 二 斜坡函数 速度函数 斜坡信号表征的是匀速变化的信号 tr 00 0 t r t Rtt 当 R 1 时称为单位斜坡函数 其数学表达式为 0 0 0 t r t tt t 0Rtt o 三 抛物线函数 加速度函数 单位加速度信号表征的是匀加速变化的信号 tr 2 00 1 0 2 t r t Rtt 当 R 1 时称为单位抛物线函数 其数学表达式为 2 00 1 0 2 t r t tt t 2 o 在许多工程实际中 常常会遇到具有冲击性质的物理量 即是一种集中在极短时间内作用的量 例如 四 单位脉冲函数 在力学中 研究机械系统受冲击力作用后的运动情况 在电学中 研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的 电流等等 要研究此类问题就会产生需要脉冲函数 如 在一个原来电流为零的电路中 设某一瞬时 设 t 0 输入 一单位电量的脉冲 现请确定此时电路的电流 i t 解 现用 q t 表示上述电路中的电量 则 四 单位脉冲函数 00 10 t q t t 由于电流强度是电量对时间的变化率 即 0 lim t dq tq ttq t i t dtt 所以 当 t 0 时 i t 0 当 t 0 时 00 001 0limlim tt qtq i tt 上式表明 在通常意义下的函数类中找不到一个函数能 够用来表示上述电路中的电流强度 为此 我们引进一个 新的函数 脉动函数R c t 设 当 变化时 函数 R c t 为一函数序列 当 0 时的极限 0 00 0 0 c t R Rtt t 0 lim c t RtRt 当R 1 时称其为单位脉冲函数 狄拉克函数 记为 t 函数 单位脉冲函数是一个广义函数 没有普通意义下的函数值 所 以它不能用通常意义下的 值的对应关系 来定义 0 00 t t t 4 t 的图形如图所示 在工程中常用一个长度等于1的有 向线段来表示它 该线段的长表示它的积分值 称为它 的脉冲强度 显然 对任何 0 有 0 1 1 c t dtdt 所以 同时单位脉冲函数也看做是单位阶跃函数的导函数 1t dt 所以也可推出 0 0 0 0 11 1lim t ttt tt t 00 0 0 00 00 00 00 0 1111 limlim 1 lim1 tt t t tttttt dtdt dt tt dt t t 五 正弦函数 谐波函数 对系统进行频域分析时 选用正弦信号作为系统的输入 信号 分析系统的稳态响应 00 sin 0 t r t Rtt 2 w w 第三节 拉普拉斯变换第三节 拉普拉斯变换 一 拉普拉斯变换的定义 是本课程数学基础 其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换 后 变成复变量 s s 的乘积 即将时间表示的微分方程 变成 以 s s 表示的代数方程 定义 设有实变数t 的连续函数函数f t 当t 0时 f t 0 在t 0时有固定单值 定义函数f t 的拉普拉斯变换 0 d st F sf t etf t L 复变量原函数象函数拉氏变换符号 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 在一定条件下 把实数域中的实变函数f t 变换到复数域内与之等价的复变函数F s 0 在t 0 时有固定单值 定义函数f t 的拉普拉斯变换 为 一 拉普拉斯变换的定义 0 d st F sf t etf t L 复变量原函数象函数拉氏变换符号 称 实数域中的实变函数f t 是复变函数F s 的拉式反变换 记为 1 f tF s L 5 拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛 拉氏变换存在的条件 当t 0 时 f t 要连续 至少分段连续 有限段 当t 0 象函数F s L f t 1 t 单位脉冲函数 1 21 单位阶跃函数 1 s 单位阶跃函数 s 3K 常数 K s 4 t 单位斜坡函数 1 s2 序号原函数f t t 0 象函数F s L f t 5tn n 1 2 n sn 1 6e at 1 s a 7tne at n 1 2 n s a n 1 8sin t s2 2 9cos t s s2 2 二 拉普拉斯变换的基本性质 1 线性性质 若 是任意两个复常数 且 11 f tF s L 22 f tF s L 证明 1212 0 d st f tf tf tf tet L 0 2 0 1 d d tetftetf stst 21 sFsF 则 1212 f tf tF sF s L 2 实位移定理 延迟定理 若 as f taeF s L 证明 拉式变换若存在则 则 f tF s L 0f tata 0 d st f taf ta etta 令L 0 0 d d sa ass as fe efe eF s 2 实位移定理 延迟定理 若 as f taeF s L 注意 该定理存在条件 则 f tF s L 所以上述定理应该严格表示为 在不引起混淆的情况下可以省略 10 20 taf ta a 时 1 as f tataeF s L at 1 8 例 试比较求sin sin1 333 ttt LL例 试比较求 解 sin sin1 333 ttt LL 13 sinsinsincos 3322 1ttttt LLL 两者的不同是由于原函数的积分起点不一致造成 222 13 2121 31 21 s s s ss 33 2 sin1si 31 n 3 1 ss ette s Lt L 3 复位移定理 求反变换很有用 若 at ef tF sa L 证明证明 则 f tF s L 证明证明 0 d atatst ef tf t eet L 0 d s a t f t et asF 例例1 1 解 1 3 F sf t s 已知 求 1 1 t s 已知 L 则 3 3 3 1 1 t s s t et s f te L 例例2 2 sin at f tewtF s 已知 求 例例2 2 解 已知 sin at f tewtF s 已知 求 22 sin w wt sw L 则 22 2 2 sin at s s a F sewt w sw w saw L 9 例例3 3 t f tteF s 已知 求 例例3 3 解 已知 t f tteF s 已知 求 2 1 t s L 则 2 1 2 1 1 1 t s s e t s s L 4 微分定理 若 0 f tsF sf L 证明 则 f tF s L f 0 是t 0 时的f t 值 d st f tf t et L 0 0 00 d d d 0 st stst f tf t et ef t ef tsf t et sF sf L 同理 对于二阶导数的拉普拉斯变换 扩展 2 0 fts F ssff t L 12 321 0 0 0 nnnn nnn fts F ssfsf sfsftft L 例例1 1 解 已知 cosf twtF s 已知 求 22 sin w wt sw L 则 0 22 1 cossin 1 sinsin t F swtwt w swtwt w s sw LL L 5 终值定理 若 则 lim lim 0 ssFtf st f tF s L 证明 根据拉普拉斯变换的微分定理 有 t 000 lim dlim 0 st ss f tetsF sf 由于 上式可写成 1lim 0 st s e 00 dlim 0 s f ttsF sf 0 lim 0 lim 0 fssFftf st 写出左式积分 10 5 终值定理 若 则 lim lim 0 ssFtf st f tF s L 定理存在的条件 从t 定义域看 当t 时 f t 有意义 有极限 从s定义域看 若已知F s 时 当sF s 的分母多项式之 根 极点 位于不包括虚轴 原点除外 的左半s平面时 定 理成立 注意 极点在原点时 系统稳定于某值 有极限存在 但其 值通常偏离预定平衡点 工程实际中常认为其不可用 例例1 1 1 lim t F sf t sa 已知 求 例例1 1 解 由终值定理 1 lim t F sf t sa 已知 求 00 lim lim lim tss s f tsF s sa 则 1 当a 0 时 s a 2 当a 0 时 s 位于右半平面 无极限 3 当a 0 时 sF s 1 lim 0 t f t lim 1 t f t 事实上 at f te 0 lim0lim0 at ts esF sa 0 0 0 limlim00 lim1lim0 at ts ts esF sa esF sa 三 拉普拉斯反变换 1 拉普拉斯反变换的定义 将象函数F s 变换成与之相对应的原函数f t 的过程 称之为拉普拉斯反变换 其公式 拉氏反变换的求算有多种方法 如果是简单的象函数 可 直接查拉氏变换表 对于复杂的 可利用部分分式展开法部分分式展开法 j j d j2 1 a a at sesFtf 简写为 1 f tF s L 如果把f t 的拉氏变换F s 分成各个部分之和 即 21 sFsFsFsF n 假若F1 s F2 s Fn s 的拉氏反变换很容易由拉氏 1 2 n 变换表查得 那么 1 111 12 12 n n f tF s F sF sF s f tf tf t L L L L 11 例 解 2 1 23 s F sf t ss 已知 求 222 2 2 1 11 23 212 s s sss F s ss ss 应用复位移性质 at ef tF sa L 11 2 2 1 cos2 12 t s f tF set s L L 但是 当F s 不能很简单地分解成各个部分之和时 则采用部分分式展开法将F s 分解成各个部分分式之和 然后 对每一部分查拉氏变换表得到其每一部分对应的拉氏反变换对每部分查拉氏变换表 得到其每部分对应的拉氏反变换 函数 最后将得出的所有每一部分对应的拉氏反变换函数叠加 起来就是要得的F s 的拉氏反变换f t 函数 2 部分分式展开法 在系统分析问题中 F s 常具有如下形式 sB sA sF 式中A s 和B s 是s 的多项式 B s 的阶次较A s 阶次要高 对于这种称为有理真分式的象函数F s 分母B s 应首先 进行因式分解 才能用部分分式展开法 得到F s 的拉氏反变 换函数 sB 将分母B s 进行因子分解 写成 12 n A sA s F s B sspspsp 式中 p1 p2 pm称为B s 的根 或F s 的 极点 它们可以是实数 也可能为复数 如果是复数 则一定成对共轭的 下面分二种情况讨论 1 分母B s 无重根 此时 F s 总可以展成简单的部分分式之和 即 12 n A sA s F s B sspspsp 12 n ppp 12 12 n n aaa spspsp 式中 ak k 1 2 n 是常数 待定系数 系数ak称为极点s pk处的留数 k 12 kkk 12 sp aaA s spspsp B sspsp ak的值可以用在等式两边乘以 s pk 并把 s pk代入的 方法求出 即 k k k n k kn k sp a s a sp sp p sp a 12 在所有展开项中 除去含有ak的项外 其余项都消失了 因此留数ak可由下式得到 k a k A s sp B s k sp B s 因为f t 时间的实函数 如p1 和p2 是共轭复数时 则留 数 1 和 2 也必然是共轭复数 这种情况下 上式照样可以应 用 共轭复留数中 只需计算一个复留数 1 或 2 而另一个 复留数 2 或 1 自然也知道了 例1 求F s 的拉氏反变换f t 已知 23 3 2 ss s sF 解 解 21 2 1 3 23 3 21 2 ssss s ss s sF 由留数的计算公式 得 2 2 1 3 1 11 s ss s s 22 3 2 1 1 2 s s s ss 因此 111 21 12 f tF s ss L L L 查拉氏变换表 得 2 2 tt f tee 解 分母多项式可以因子分解为 2 52 122 2 ss s sF 例2 求F s 的拉氏反变换f t 已知 2 25 12 12 sssjsj 进行因子分解后 可对F s 展开成部分分式 12 2 212 251212 s F s sssjsj 1 12 212 12 12 12 sj s sj sjsj 2122 12 12sj 由留数的计算公式 得 24 121041045 1 12 12442 jjj j jjj 12 12 12 12 sj sjjj 由于 2 与 1 共轭 故 2 5 1 2 j 所以 11 55 11 22 1212 55 11 jj f tF s sjsj jj L L 11 12 12 22 1212 55 1 1 22 jtjt jj sjsj f tjeje L L 13 12 12 55 1 1 22 jtjt f tjeje 12 12 12 12 5 2 jtjtjtjt eejee 2222 5 tj tj ttj tj t j 2222 2 tj tj ttj tj t eeejeee 2222 2 2j 5 22 j tj tj tj t tt eeee ee j tete tt 2sin52cos2 下面再举一例子看另一种求法 解 因子分解为 231 1ss 2 1 1 s F s s ss 例3 求F s 的拉氏反变换f t 已知 231 2 2 1 11 ss F s ssss ss 求K1 1 2 0 0 1 1 1 s S s F ss ss 求其根 2 求 2 3 2 1 23 1 1 s sss ss 22 1 2 13411 413 2222 jbbacj s a 令 13 2 j s 2 23 131313 13 1 13 2 213 2 jjj j j j 23 22 23 33 22 13313 4 22 1133 222 422 2 2 j jj 23 23 111 222 333 222 1 23 23 2 3 1 1 1 0 2 231 22 2 11 122 1 13 22 1 1 1 13 3 12 23 s F s sss s s s ssss s 22 2 22 22 2 1 3 132 2 3 1313 2222 12 23 1313