错误收获并快乐着(五四杯获奖论文).doc

错误，收获并快乐着内容摘要：自古以来，错误无论在教师的眼中，还是在学生的眼中，自古都是深恶痛绝的。教师和学生都很难面对自己的错误。但从以往的数学教学及数学研究中发现这些错误是”美丽”的，因为它往往潜藏了许多我们深不可知的教育潜能。本文通过几个数学纠错案例与各位同仁一起来看一下这些”美丽的错误”的教育潜能。关键词：错误 教育 学生作为一名教师,你一定在学生的作业或试卷中批阅过各种错误.看到纸上的“”,你是烦恼？生气？心情沉重那么会不会有一点点喜欢呢？许多教师视错误为洪水猛兽，唯恐避之不及.可是“人非圣贤，孰能无过 ”，更何况“学生的错误都是有价值的”（布鲁纳语）.事实上，对于教师而言，学生的错误是一笔丰厚的“财富”，这些“财富”能让你追溯学生的思路，从中你能看到智慧的火花；这些”财富”能让你反思你的教学，从中受益；这些”财富”能让你看到学生的欠缺，帮助他们弥补；这些财富也能让你看到学生的可爱，让你会心一笑.一、火眼金睛通过辨错深化对知识本质的理解在学习过程中，不同的学生有着不同的知识背景，不同的情感体验，不同的表达方式和参差不齐的思维水平，因此，出错在所难免。出错，是因为学生还不成熟，认识问题往往带有片面性；出错，是因为学习是从问题开始，甚至是从错误开始的；出错，才会有点拨、引导和解惑，才会有研究、创新和超越。教师不应将错误视之为洪水猛兽，惟恐避之不及，或“快刀斩乱麻”，以一个“错”字堵住学生的嘴，再接二连三地提问，直至得出“正确答案”；或亲自“上阵”，把正确答案“双手奉上”；或“堵”或“送”，都置学生的实际于不顾。可以想到，不让学生经历实践、获得体验，企图直接拉住学生迈向“错”的脚步，结果就可能阻断他们迈向成功的道路。布鲁纳说“学生的错误都是有价值的”，教师不仅应该引导学生在回味疑惑、反思的境界中“去粗取精，去伪存真”，让学生带着火眼金睛发现错误，还要适当地设置一些有一定思维价值、能激发学生惊奇感的问题，让学生在辨析错误的同时激发学生学习探索的兴趣，并带着如何解决这些问题的强烈愿望去迁移知识、分析思考，从而加深对知识本质的理解。【案例1】在探索分式方程”增根”产生的原因之后，笔者出示了一解方程的错解：x2=3x,等式两边同时除以x得x=3,对于这个结果学生惊奇了，他们发现这与他们用常规解法得出的解少了一个根x=0，这极大地提高了学生的学习兴趣，并产生了认知冲突，从而给学生创造一个寻找“错误”的机会，学生很自觉地去寻找此解法的错误原因。不长时间就有学生站起来回答说：方程两边不能都除以x,因为只有x确保它不为0时才可以使用，而此题x=0恰好是这个方程的一个根，这就出现了”失根”的情况。笔者又适时出示了另一解方程的错解： x=6x,两边都除以x得：1=6，此题同样因为错误地运用了等式性质2，致使出现了荒唐的结果。这样的教学将课堂的主动权交给学生，让学生在辨错的过程中发现了知识的联系点，巩固了等式性质2的应用，相信学生在今后的学习中碰到应用等式性质2的时候会“小心行事”，避免重蹈覆辙。【案例2】 讲授同底数幂的乘法时，对于如何计算 2a33a2 ，笔者给出了学生易出现的三种错误答案：2a33a2 = 5a5 ，2a33a2 = 6a5 ，2a33a2 = 6a6，以此激发学生联想多项式乘法，有理数乘法、有理数乘方等知识，有依据、有步骤地逐一剖析验证，并通过剖析错因，”去伪存真”帮助学生深刻理解概念的内涵和外延，这样的辩错形式不仅唤起了学生解决问题的欲望，而且激发了学生的探究兴趣，培养了学生的问题意识，拓展思路，加深了对知识本质的理解，有效地促进了知识点间的融会贯通。二、对症下药通过纠错培养良好的思维品质教师不仅要引导学生能从知识的定义、本质出发辨错，更要引导学生学会对错误进行对症下药，帮助学生找出错误的来源并发展该问题，找到更成熟的解法和一般结论。 笔者尝试在典型的纠错过程中让学生暴露学生思维，以积极的态度去面对错误和失败，通过纠错回顾解题的思路，引导学生积极整理思维过程， 寻找错误原因，寻求出知识点与数学思想方法上的漏缺，概括总结出一般方法和规律，使解题过程清晰，思维条理化、精确化和概括化，收到较好的效果（一）漏解探因，排除思维定势，培养发散性思维 许多学生在解题时往往满足于求出一解，导致不完整解题，引导学生探究分析出现漏解情况的原因，积累经验，强化数学分类的严密性，分类标准的科学化，促使学生的思维水平有层次、有步骤地向更优化的方向发展。ABCDABCDABCD【案例3】为美化环境，在某小区内用30m的草皮铺设一块长为10m的等腰三角形绿地，求这个等腰三角形绿地的另两边长。错解：(1)当AB为底边时，设 AB=10，AD=BD=5，SABC=ABCD=30，CD =6, AC=BC=(m)。 (2)当 AB为腰时，AB=AC=l0，CD=6,AD=8(m)，BD=2m,BC=2(m)。 学生的上述解法虽然进行了分类，看似正确，但仍漏了一种情况：当AB为腰且三角形为钝角三角形时，AB=BC=10，AD=AB+BD=l8，AC=6(m)。引导学生思考时，不能忽视图形的位置或形状，应寻找出它们的内在联系，探索出一般规律，思维方式不能单一，对基本图形的基本性质和图形关系要熟练掌握，且能正确运用。因此，对于本题分类标准达的制定不仅要考虑到图形的基本性质还需考虑到图形的位置或形状。在这两个基本原则的基础上再制定分类标准时，可以先按图形的性质分成AB为底边与AB为腰两大类后再依据图形的位置关系即以高CD在ABC的形内、形外两个角度再对前两类进行细化分类，当然亦可先考虑图形位置再考虑图形性质进行分类。（二）反思出错过程，重构知识，培养思维的严谨性在刨根究底的纠错过程中，引导学生内化知识，自觉对自己的认知活动进行回味、思考、总结和调节，构建更清晰、稳定、条理化的知识结构，统化到蕴含在纠错过程中的具有方向性、规律性的数学方法与思想。【案例4】锐角ABC中，BC=6，SABC= 12，两动点 M、N分别在边AB、AC滑动且 MNBC，以MN为边向下作正方形MPQN。 设其边长为x，正方形MPQN与ABC公共部分的面积为y (y0)。MADNCPQB图1BMADNCEFGPQ图2(1)ABC中边BC上高AD=_ ； (2)当x =_ 时，PQ恰好落在BC上； (如图1)(3)当PQ在ABC外部时(如图2)，求y关于x的函数关系(注明x的取值范围)，并求 出x为何值时y最大，最大值是多少? 典型错误在解(3)问中，矩形MEFN的面积y=MNNF，无法用x表示NF，思路受阻， 陷入僵局在考虑自变量x的范围时，误认为PQ在BC边上移动，即0x6在运动型几何问题中，要善于从变中寻不变，正确找出不变的图形结构或不变的数量关系，本题中有AMNABC，NF=，当x=3时，y有最大值6。本题在(1)(2)问引导学生思维循序渐进，在变化过程中，始终有AMNABC，对应高的比等于相似比。在变化过程中，PQ的长度始于(2)问中的特殊位置，x的取值范围为24x6。引导学生正确识图，依据图形处理好 “动”与“静”，“瞬间”与“过程”的辩证关系，正确把握变化的图形位置中不变的数量关系。引导学生养成纠错质疑的习惯，加强思维严谨性训练，对思维过程中出现的段落点，进行批判性回顾、分析和检查，在反思纠错的过程中培养学生运用数学方法(如观察、猜想、化归、构造函数等)解决问题的能力，同时通过剖析错因，渗透一些常用的数学思想方法。三、将计就计通过用错激发创新思维英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的”。在数学教学中企图让学生完全避免错误是不可能的，也是没有必要的，而课堂上发生的错误并非是一文不值的，它往往反映了学生的思维能力，反映了学生的真实想法，这其中总会包含着合理的成分。教师应该善于巧用错误，善于发现错误背后隐藏的教育价值，引领学生从错中找出合理的一面，从错中找出与正确方法之间的联系，把“错误”资源巧妙地予以运用，不仅能让学生尽快走出误区，并能激发学生的创新思维。【案例5】七年级期末复习课中笔者给出了一个化简题目：并请两位学生板演，其中一位学生通过通分求出正确的结果，而另一位学生解的过程是: 原式3（x1）+2(2x)=3x3+42x=x+1当笔者点评这个学生的解法时，引来了一些嘲笑，于是笔者立即问：错在哪儿呢？学生回答道：”把方程变形（去分母）搬到解计算题上了，结果丢了分母。”这个做错的学生面红耳赤，低下了头。但这时笔者来了一个”顺水推舟，将错就错”：刚才这位同学把计算题当作方程来解，虽然解法错了，但却给我们一个启示，若能将该题去掉分母来解，其”解法”确实简洁明快，因此我们能否考虑利用解方程的方法来解它呢？由此一个新颖的解法也出来了。解： 设 A去分母得：3（x1）+2(2x)=6A去括号得：3x3+42x=6A合并同类项得：x+1=6A解得：A= 。 所以此题的结果是 。（这位做错题目的学生终于笑了。）这时学生都赞叹这种用方程的解法很有创意，同时这种新颖的解法也唤回了这位学生的自信。这种化腐朽为神奇，产生了意想不到的效果。其实，像上面的类似错误是我们老师经常碰到的，学生解题错误的原因是多方面的，而“错解”往往有它合理的一面，它多是学生在新旧知识之间的符号、表象或概念、命题之间的联系上出现了编码错误，或是产生负迁移，这是学习过程中的正常现象。也只有这种真实的思维才能真正反映出学习过程的客观规律，它实际上往往带有普遍性，因而可以以此作为很好的教学资源。因此，教师对待学生的错误要客观辨证地分析，不必“如临大敌”，倒是应该冷静地剖析学生“错解”中的合理成分，研究它的起因，研究它与正确方法之间的联系，然后把“错误”资源合理地予以运用。四、巧设陷阱通过诱错培养质疑能力数学家波利亚说过：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素，发现的方法就是试错的方法。”所以我们教师应在易错的环节上设置“陷阱”，诱使学生陷入歧途，制造思维冲突，诱发灵感，产生真知，同时也可培养学生的试错能力。这样既可充分暴露学生思维的薄弱环节，又能使学生深刻地有突破性地认识到错误所在，有利于自诊自治，提高对错误的免疫力。【案例6】如在学习了一元一次不等式组后，笔者有意设计了一个有价值的“错误”，在 ABC中，a、b、c为A、B、C 所对的边，其中a=3,b=4,求c的值。很多学生答道c的值为5。此时笔者不加以评价，试图让学生自己从圈套里走出来。此时一位学生站起来答道。生1：三角形不是直角三角形，不能用勾股定理，师：若此三角形是直角三角形即当ABC是直角三角形时，c的值是多少？(这次全班的结果都是5。此时学生很显然是受到前面思维定势的影响。笔者没有评价，让学生继续思考。)生2：不对，如果ABC是直角三角形时，c应该是5或。师：那你是怎样得到的。生2：当c是斜边时，c=5；当b是斜边时，c=，而a不可能是斜边。在上面的过程中学生在落入误区和走出误区的过程中，吃一堑长一智，思维的严谨性受到了锻炼。于是笔者继续追问：如果ABC是锐角三角形，求c的取值范围？(几分钟过后，一位学生举手回答。)生3：c5，因为C 是锐角，所以它所对的边c应小于C是直角时所对的边5。(听了这位同学的回答，又有几位学生举手)生4：不对，应该0c5，因为边长是正数。生5：老师，不对，应该是1c5，因为根据三角形三边关系性质，c的取值范围是1c7，结果应该是它们的公共解。（其他学生点头表示赞同）。这时全班学生都已误入了老师所设的”陷阱”，因为他们只考虑了C是锐角，而没有考虑A与B是锐角。师：由前面可知当c=5时，ABC是直角三角形，而 也在1c5在范围内。受到老师的启发，同学的学习热情就更高了，思考就更加投入了。生6：c5能保证C 是锐角，而不能保证A与B是锐角。生7：答案是c5。若C 是锐角，求得1c5， 若B是锐角，则A也是锐角，求得c7，结果c5是它们的公共解。通过这道题的解答，使学生走进了“陷阱”，又从“陷阱”里一步一步地走了出来，继续去寻找新的答案，真是“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”，同时也应当指出，如果置学生错解思路的闪光点于不顾，急于亮出教师预先设计好的思路而另起炉灶，那么不仅错过了培养学生的试错能力的机会，而且容易挫伤学生的自尊心、自信心。通过“诱错”，不仅使学生对知识理解的更加深刻，学生在犯错、改错的探讨过程中完善自己的思路，培养了学生的质疑能力，对数学思想方法也掌握的更加灵活。 五、错误日记通过理错培养自我评价能力为了充分发挥错误的积极作用，教师要及时对学生在学习中出现的典型错误以及错误产生的原因，矫正的对策进行搜集、整理、记录。可以通过多种形式进行对比练习，让学生辨析提高。而教师更应该做的工作是指导学生记录个人学习错误的方法，养成记错误日记的习惯。笔者在教学实践中注重培养学生学会积累的习惯，其中一项重要的举措就是从接手一个班的数学教学开始就要求每位学生准备一本错解解析本，让学生将平时做错的题目连同自己的错解都一起摘录到这本笔记本上，并且在某些题目后附上自己做错的原因。刚开始总是会忘记，感到厌烦，在经过督促检查、评比展览等措施后，大部分同学不仅能够做到自觉去摘录，而且还加了自己的特色，比如在笔记本的页眉、页脚加上一些名言警句；摘抄一些数学故事；写一些错误日记。一位学生就在错解解析本中写道”当时老师讲过a2b2=(a + b)(ab)后，让我们自己分解x4y4。很快大家就做完了。老师一边巡视一边督促检查。但在最后教师宣布只有6人做正确时，我们都感到非常吃惊 。我们把x4y4分解为(x2+y2)(x2y