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数学文化第一讲 绪论1、 什么是数学文化？1.“文化”的内涵：狭义：仅指知识。说一个人“有文化”，就是说他有知识。广义：泛指人类的物质财富和精神财富的积淀，是一种上层建筑，有相对的稳定性。数学文化中的“文化”，用的是“文化”的广义解释。“中华民族的文化”、 “校园文化”、 “佛教文化”等中的“文化”，用的也都是“文化”的广义的解释。2. “数学文化”的内涵狭义：数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；广义：除上述内涵以外，还包含数学史、数学家、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系。3. 为什么要开设数学文化课程？大学生文化素质的要求：数学文化课程在北京大学、南开大学等高校已成为大学生非常喜爱的一门校级选修课。“数学文化课向我展示了数学极富魅力的一面。不是以往数学课上的定理、公式、计算和题海；而是数学的思想、精神和方法。我第一次用美学的眼光来看待数学；第一次了解到数学在各个领域所发挥的重要作用；第一次走进数学史的长河，去追随数学家的足迹；第一次体会到数学中浓郁的人文主义精神；第一次知道曾深刻影响人类社会发展进程的三次数学危机；希尔伯特的23个问题等等。” 小学教师职业发展的需要 ：“数学教育决不仅仅是数学知识和技能的教育，要让学生“获得基本的数学思想方法，体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值。” 义务教育新数学课程标准大学阶段数学课的课时虽然较多，但多半以讲授数学知识及其应用为主，对于数学在思想、精神及人文方面的一些内容，很少涉及，甚至连数学史、数学家、数学思想、数学观点、数学思维、数学方法这样一些基本的数学文化内容，也只是个别教师在讲课中零星地提到一些，所以，职前教师虽然学了多年的数学，仍然对数学的思想、精神了解得很肤浅，对数学的宏观认识和总体把握较差。 4. 数学文化和传统数学课程在目标上存在较大差异传统的数学课程关注数学知识目标；数学文化课程关注数学思想、方法、精神、观点二、数学家谈数学数是一切事物的本质，整个有规律的宇宙的组织，就是数以及数的关系的和谐系统。毕达哥拉斯学派1、 数学是哲学欧几里得在原本中对数学的定义几乎都是从哲学方面提出的。比如：点是没有部分的那种东西；线是没有宽度的长度；直线是同其中各点看齐的线；面是只有长度和宽度的那种东西。 圆是包含在一(曲)线里的那种平面图形，从其内某一点达到该线的所有直线彼此相等。 2、 数学是科学数学，科学的皇后；算术，数学的皇后。 高斯3、 数学是工具数学是一个知识工具，比任何其他由于人的作用而得来的知识工具更有力，因而它是所有其他知识工具的源泉。 笛卡尔 80年代Hauptmann得了诺贝尔化学奖，他解决的是如何用X光确定晶体结构的问题，主要靠的就是数学。获得诺贝尔化学奖以后，他跟人讲，我的化学水平就是大学念了半年的普通化学。4、 数学是艺术许多艺术能够美化人们的心灵，但却没有哪一种艺术能比数学更有成效地去美化和修饰人们的心灵。 毕林斯雷美国当代数学家A.波莱尔在80年代初的一次演讲中指出：“一方面，数学是一门科学，因为它的主要目的是为自然科学和技术科学服务的，这个目的实际上正是数学的起源，常常成为问题的源泉；另一方面，数学也是一门艺术，因为它主要是思维的创造，靠才智取得进展，很多进展出自人类的脑海深处，而且只有美学标准才是最终的鉴定者。”3、 数学的定义？1、 数学究竟是什么？方延明的数学文化导论里，收集了数学的15个所谓的“定义”。从数学研究的对象看： 数学研究数和量、 数学研究现实世界的数量关系和空间形式、 数学研究计算、 数学研究模型、 数学研究演绎系统；从数学的价值看： 数学是符号语言、 数学是工具、 数学是模式、 数学是思维活动、 数学是一切科学的基础；从数学所从事的领域看： 数学是技术、 数学是逻辑、 数学是自然科学、 数学是艺术、 数学是文化。 这15个定义，其实是从不同角度来看数学。 古往今来，看法不一。这有赖于人们看问题的不同角度和人们对数学理解的不同层次。2、 数学的经典定义数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。恩格斯恩格斯关于数学的定义是经典的，概括了当时数学的发展，即使在目前也概括了数学的绝大部分。但是在19世纪末，数理逻辑诞生了。在数理逻辑中既没有数也没有形，很难归入恩格斯的定义。于是人们又考虑数学的新定义 。3、 数学是模式数学的本质就是研究相关模式的最显著的实例。 怀特海第二讲 数学的发展时期一、数学形成时期（ 远古 公元前5世纪 ）建立自然数的概念，认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。当对数的认识变得越来越明确时，人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是导致了记数。 人类现在主要采用十进制，与“人的手指共有十个”有关。 而记数也是伴随着计数的发展而发展的。 二、常量数学时期（ 前5世纪公元17世纪 ）也称初等数学时期，形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。该时期的基本成果，构成现在中学数学的主要内容。1古希腊（前5世纪公元6世纪） 毕达哥拉斯 “ 万物皆数” 欧几里得 几何原本 阿基米德 面积、体积 阿波罗尼奥斯 圆锥曲线论 托勒密 三角学 丢番图 不定方程2 东方 （公元2世纪15世纪）1） 中国西汉（前2世纪） 周髀算经、九章算术 魏晋南北朝（公元3世纪5世纪） 刘徽、祖冲之 出入相补原理，割圆术，算宋元时期 （公元10世纪14世纪） 宋元四大家杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰 天元术、正负开方术 高次方程数值求解； 大衍总数术 一次同余式组求解2）印度 现代记数法（公元8世纪）印度数码，有0，负数； 十进制（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法） 数学与天文学交织在一起 阿耶波多阿耶波多历数书（公元499年） 开创弧度制度量 婆罗摩笈多婆罗摩修正体系、肯特卡迪亚格 代数成就可贵 婆什迦罗莉拉沃蒂、算法本源（12世纪） 算术、代数、组合学3）阿拉伯国家（公元8世纪15世纪） 花拉子米代数学曾长期作为欧洲的数学课本，“代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原”，即“移项”；此后，代数学的内容，主要是解方程。 阿布尔维法 奥马尔海亚姆 阿拉伯学者在吸收、融汇、保存古希腊、印度和中国数学成果的基础上，又有他们自己的创造，使阿拉伯数学对欧洲文艺复兴时期数学的崛起，作了很好的学术准备。 3欧洲文艺复兴时期（公元16世纪17世纪）1）方程与符号 意大利 塔塔利亚、卡尔丹、费拉里 三次方程的求根公式 法国 韦达 引入符号系统，代数成为独立的学科2）透视与射影几何 画家 布努雷契、柯尔比、迪勒、达芬奇 数学家 阿尔贝蒂、德沙格、帕斯卡、拉伊尔 3）对数 简化天文、航海方面烦杂计算，希望把乘除转化为加减。 英国数学家 纳皮尔 三、变量数学时期（公元17世纪19世纪） 家庭手工业、作坊 工场手工业 机器大工业 对运动和变化的研究成了自然科学的中心 1笛卡尔的坐标系（1637年的几何学）恩格斯：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了”2、牛顿和莱布尼兹的微积分（17世纪后半期）3、微分方程、微分几何、复变函数、概率论第三个时期的基本结果，如解析几何、微积分、微分方程，高等代数、概率论等已成为高等学校数学教育的主要内容。四、现代数学时期（公元19世纪70年代 ）康托的“集合论”2柯西、魏尔斯特拉斯等人的“数学分析”3希尔伯特的“公理化体系”4高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼的“非欧几何”5伽罗瓦创立的“抽象代数”6黎曼开创的“现代微分几何”7其它：数论、拓扑学、随机过程、数理逻辑、组合数学、分形与混沌等。现代数学时期的结果，也成为高校数学、力学、物理学等学科数学教学的内容，并被科技工作者所使用。作业：以常量数学和变量数学为线索，数学的历史可划分为哪几个时期？并简述每一个历史时期的特点。第三讲 河谷文明中的数学1、 古代埃及数学1、 古埃及的纸草书：古埃及人用纸草作为书写材料，由于埃及地区气候干燥，因此有些纸草能幸运保存至今。其中有两卷纸草记录了古埃及的数学资料。它们都产生于公元前1700年左右。2、 古埃及记数方法：古埃及人使用的是以10为基的象形数字计数的。如：表示1， 表示10， = 32 10进位记数系统，但不是位值制3、 古埃及的叠加法：古埃及人的算术主要用叠加法。做通常加减法时，他们只是填上或化掉一些记号，以求得最后结果。4、 古埃及的乘除计算：5、 古埃及的单位分数：古埃及人通常用单位分数的和来表示分数。在兰德纸草中有个数表，它把分子为2分母为5到101的奇数的这类分数，表达成为单位分数的和，用现代的记号可表示为：6、 古埃及的方程：古埃及人能解决相当于今天解方程的问题，但实质上用的是纯粹算术的方法，还没有出现代数语言，并不存在解方程的概念。7、 古埃及的几何：古埃及人留下了许多气势宏伟的建筑，其中最突出的是约公元前2900年兴建的金字塔，还有与金字塔媲美的阿蒙神庙。这些宏伟建筑的落成，离不开几何学知识。“假如河水冲毁了一个人所得任何一部分土地，国王就会派人去调查，并通过测量来确定损失的确切面积。我认为正是由于这类活动，埃及人首先懂得了几何学，后来又把它传给希腊人。” 希罗多德历史二：古巴比伦的数学巴比伦人是指居住在底格里斯和幼发拉底两河之间及其流域上的一些民族。这块地方古代叫美索不达米亚，是今日伊拉克的一部分。美索不达米亚文明历史简表公元前4300年南部奥拜德文化前期公元前3500年苏美尔人定居在幼发拉底河岸公元前2600年乌尔第一王朝兴起公元前1894年巴比伦第一王朝兴起公元前1800年汉穆拉比王朝（1792-1750BC）公元前1244年亚述王统治巴比伦公元前625年新巴比伦王朝公元前320年马其顿王亚历山大统一美索不达米亚1、 古巴比伦的楔形数字：巴比伦人的文字是楔形文字一种断面呈三角形的笔斜刻泥板,在板上按不同方向刻出楔形刻痕。2、 古巴比伦的记数方法：采用60进位的位值制计数法 如：1.4 = 160 + 4 = 64 58.1 = 5860 + 1 = 34813、 古巴比伦的分数：巴比伦人经常使用分数，而且通常以60，602，为分母。但他们并没有像现代的十进位分数那样的记号，而是与表示整数的符号相混淆。因此，要弄清巴比伦数字的真正数值，还必须联系上下文进行推断。3、 总结1、 在古巴比伦和古埃及的数学中，有整数和分数的计算，有进位制计数法，有初步的代数和几何上的一些经验公式。2、几乎还没有成套的记号，几乎没有有意识的抽象思维，没有证明使人能相信他们所做的运算步骤或所用的公式是正确的。3、在这两种文明中，数学并没有成为一门独立的学科，它只是一种工具，在形式上表现为一些无联系的简单法则，用于解决人们日常生活中所碰到的问题。第四讲 古希腊数学家“希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上，他们虽也取用了周围其他文明世界的一些东西，但希腊人创造了他们自己的文明和文化，这是一切文明中最宏伟的，是对现代西方文化的发展影响最大的，是对今日数学的奠基有决定作用的。文明史上的重大问题之一，是探讨何以古代希腊人有这样的才气和创造性。” M.克莱因古今数学思想第一册P27问题：“为什么古希腊在数学史上至高无上”？古希腊不是一个国家，是一种文明，一个包含了上千个城邦的世界。古希腊既没有大河也没有大平原，有的只是山与山之间的小块平原或谷地。海洋性的地理格局使得航海成为希腊人日常生活的一部分。航海生活方式意味着人口能周游四方、见多识广，同时将散居在各地的希腊部族联系了起来，使不同的希腊人群体即便远在天边也能共享一种文化。1、 希腊数学发展的三个阶段1、雅典时期（公元前700年到公元前323年）：从伊奥尼亚学派到柏拉图学派2、亚历山大前期（从公元前323年到公元前30年）3、亚历山大后期（从公元前30年到公元600年）：罗马人统治下的时期二：泰勒斯论证数学的开创者圆被任一直径平分；等腰三角形的两底角相等；两直线相交，对顶角相等；在两个三角形中，有两角一夹边对应相等，则这两个三角形完全相等；半圆周角是直角。3、 毕达哥拉斯毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580公元前500），古希腊数学家和哲学家。出生在米利都附近的萨摩斯岛，是爱琴海中距小亚细亚大陆最近的希腊岛屿，当时萨摩斯岛是一个富有和强大的城邦，在经济、文化等各方面都远远领先于希腊本土的各个城邦。毕达哥拉斯早年游历过许多地方，其中有埃及和巴比伦。回到希腊后，在克罗托内（Crotone，今意大利南部）建立了自己的学派。该学派有严密的教规，将一切发现归功于学派的领袖，并禁止公开学派内部的秘密。因此，后人很难将毕达哥拉斯本人的工作与其他成员的贡献区分开来。在几何学方面，毕达哥拉斯用演绎法证明了勾股定理，因此西方人把这个定理称为毕达哥拉斯定理。然而不幸，毕达哥拉斯的定理立刻引到了无理数的发现，这似乎否定了他的全部哲学。这就使得希腊的数学家们坚信，几何学的成立必定是独立的而与算学无关。4、 数学之神阿基米德平面几何1、开创计算的古典方法：穷竭法（正96边形），求得3；2、证明圆面积等于以圆周长为底、圆半径为高的正三角形的面积；3、证明任何直线所截抛物线所得弓形面积等于同底等高的三角形面积的3/4；4、定义了阿基米德螺线=；5、椭圆与圆的面积之比等于椭圆长短轴之积与圆半径平方之比；6、最早发现三角形面积公式，一般称为海伦公式；7、提出世界著名问题“鞋匠的刀形问题”：过半圆ABCD的直径AC上一点D引AC的垂线交半圆于B，再分别以AD、DC为直径作半圆AFD和DHC，证明阴影部分面积等于以BD为直径的圆的面积。立体几何方面1、任一正圆柱面积等于以圆柱高与底直径的比例中项为半径的圆面积；2、任一圆锥的表面积等于以圆锥母线与底半径的比例中项为半径的圆面积；3、球面积等于大圆面积的四倍；4、著名的圆柱容球：以球的大圆为底，以球的直径为高的圆柱体，其体积为球的体积的3/2或球的外切圆柱的体积是球体积的3/2。其表面积（包括上下底）是球表面积的3/2；5、球冠侧面积等于以其大圆弧所对弦 长为半径的圆面积；6、椭圆、抛物线和双曲线绕轴旋转而成生的旋转体体积公式。代数方面1、前n个自然数的平方和公式；2、无穷递缩等比数列。作业：1）古希腊数学发展可分为哪几个时期？2） 请在每一个时期各找一位数学家，并简述其数学成就。问题：中世界东方在数学上有哪些贡献？五、希腊化时代： 从公元前323年，马其顿国王亚历山大去世到公元前30年罗马征服托勒密王朝统治下的埃及，19世纪30年代以后西方史学界开始称地中海东部诸国的这一时期为希腊化时代。亚历山大灯塔 从公元前281年建成点燃，高120米，加上塔基，整个高度约135米，为当时世界上最高的建筑物，在暗夜中为水手们指引进港的路线。遗址在埃及亚历山大城边的法洛斯岛上。希腊化时代的数学家：欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯：圆锥曲线论六、亚历山大后期：从公元前30年到公元6世纪，希腊几何已失去前期的光辉。在后期的数学著作中，丢番图的算术风格独特，这部具有东方色彩的问题集，可看做希腊算术和代数成就的最高标志。1、算术一书是古希腊亚历山大后期的数学家丢番图所作。全书一共有13卷，现存有10卷。其中有6卷为希腊文本，4卷为阿拉伯文本。在古希腊的数学著作中，算术改变了以往古希腊数学著作以几何学为中心的传统，探讨数论和代数问题。2、丢番图，希腊数学家，大约公元250年前后活动于亚历山大城。只从一则收录在希腊诗文选的墓志铭中知其经历和年龄。坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。解：“丢番图的一生，童年生活占1/6 ，再过1/12 他开始长胡子，再过1/7 他结了婚，婚后 5 年生了一个儿子。他的儿子比他早 4 年辞世，享年是他的1/2 。”一元一次方程： x=84。由此知他享年84岁。 3、算术的特点：3.1编写体例和之前的古希腊数学著作完全不同算术以问题集的形式收录了290个题目，其中希腊文本189个，阿拉伯文本101个，此外还有十几个引理和推论，合起来共三百多个问题。3.2算术讨论的是“数的理论”， 而非“计算的技巧”希腊时代“算术”一词，主要指“数的理论”，即相当于现在的“数论”。而数字的加、减、乘 、除等运算法则叫做“计算的技巧”，两者有明显的区别。这种分法从毕达哥拉斯时代开始，一直延续到近代，如高斯的数论名著就叫做算术研究（1801）。“丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用。” 伊夫斯代数学：一开始代数学没有专门的名称，algebra是9世纪花拉子米以后才出现的名词，而且直到17世纪还没被欧洲人普遍接受。代数学区别于其它学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。在算术中，丢番图采用了一套数学符号来表示未知量 ，他也是首位用符号来表示幂的数学家。3.3该书可以归入代数学的范畴该书解决了某些一次、二次方程问题和不定方程问题，出现了缩写符号。7、 希腊记数：代数是以其符号化来体现本质特征的，代数的符号化过程大体经历了三个阶段，即文字代数、简字代数和符号代数。丢番图是简字代数的创始人，他的简字代数，奠定了欧洲数学符号化的基础。8、 古希腊数学落下帷幕：基督教在罗马被奉为国教后，希腊学术被视为异端邪说，异教徒惨遭迫害。早在公元前47年，罗马大帝凯撒攻城时已遭重创，到公元640年，亚历山大学术宝库中残余的书籍被阿拉伯征服者付之一炬。第五讲 中世纪的东方数学希腊文明衰微之后，除了埃及外，河谷地区再次成为人类文明活跃的舞台。中世纪的东方数学家创造了大量算法，表现出强烈的算法精神。东方数学在文艺复兴时期以前通过阿拉伯人传播到欧洲，与希腊式的数学融汇结合，孕育了近代数学的诞生。1、 中国数学中国数学从公元前后至公元14世纪，先后出现过三次发展高峰：两汉时期：周髀算经、九章算术；魏晋南北朝时期：刘徽和祖冲之；宋元时期：杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰1、刘徽（约公元225年295年），汉族，山东邹平县人，著有九章算术注和海岛算经，魏晋期间伟大的数学家。中国古典数学理论的奠基者之一。刘徽既提倡推理又主张直观，是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。2、 九章算术是以问题集的形式编成的，对于问题的解法和结论缺少必要的文字说明。刘徽为九章算术作了注，阐明了各种解题方法的原理，给出了简要的证明，且指出了某些近似解法的精确程度和个别解法的错误，弥补了原书的不足。尤为可贵的是，开创了一些被后世长期使用的普遍数学方法。3、 海岛算经原为九章算术注的第十卷，内容是测量目标物的高和远的计算方法，刘徽提出的重差法是测量数学中的重要方法。4、 割圆术是刘徽最重要的数学贡献，为圆周率的求得建立了有效的理论算法。其原理是，在圆内作内接正多边形，然后用正多边形的面积近似值代表圆面积，进而求得圆周率的近似值。具体来说，就是以1尺为半径作圆，再作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，依次算出内接正六边形、正12边形乃至正192边形的面积刘徽之所以选半径为1，是为了使圆面积在数值上等于圆周率，从而简化运算5、圆的度量：用圆内接正多边形与外切正多边形同时逼近圆，比较精确的求出了圆周率，这是数学史上最早的明确指出误差限度的值。 割圆术的创立是数学史上的一件大事。古希腊的阿基米德用割圆术求圆周率，他的方法是以圆内接正多边形和外切正多边形同时逼近圆，比刘徽的方法麻烦一些。刘徽的成就晚于阿基米德，但是独立取得的。2、 印度数学“在数学史上，希腊人的后继者是印度人。虽然印度的数学只是在受到希腊数学成就的影响后才颇为可观，但他们也有早期具有本地风光的数学值得一提。” 古今数学思想第一册208页“印度人注重数学的算术和计算方面，并在这方面作出了贡献，但不甚重视演绎结构。他们称数学为“算学”，他们有许多好方法和计算技巧，但未曾发现他们考虑过任何证明。”3、 阿拉伯数学：“阿拉伯人在数学上没有作出什么重要的推进。他们所做的是吸收了希腊和印度的数学，把它们保存下来，并终于传给欧洲。”作业：论述1）比较刘徽和阿基米德对于圆周率的计算。第六讲 欧洲的数学发展在巴比伦、埃及、希腊和罗马人各自盛极一时的年代里，今日的欧洲（除意大利和希腊外）只有原始的文明。住在那里的日耳曼民族既不会书写又没有什么知识。英法的部分领土虽早在罗马帝国统辖时就获得了一些文化，但直到公元500年新的文化影响才开始在欧洲起作用。在罗马帝国崩溃之前，天主教会已经是有组织有势力的集团了。教会逐步使日耳曼和哥特蛮族改信基督教并开始建立学校。由于罗马人的数学微不足道，所以欧洲人所学到的只不过是非常原始的一套记数法和少量算术法则，他们也通过一些翻译家汲取一点希腊数学知识。罗马文明是产生不出数学来的，因为它太注重实际和马上可以应用的结果。欧洲中世纪文明之所以不能产生数学成果则出于正相反的原因。它根本不关心物理世界。俗世的事务和问题是不重要的。基督教重视死后的生活并重视为此而进行的准备。数学显然不能在一个只重视事务或只信天国的文明中繁荣滋长，我们可以看到，数学在一个自由的学术气氛中最能获得成功，那里既能对物理世界所提出的的问题发生兴趣，又有人愿意从抽象方面去思考由这些问题所引起的概念，而不计其是否能谋取眼前的利益或实际的利益。从公元400年到1100年，这七百年的时期欧洲数学并无进展。但到了1100年，十字军东征使欧洲人进入阿拉伯土地。尽管十字军战士是搞打仗而不是搞学术的，但欧洲人开始从阿拉伯人和拜占庭的希腊人那里学到了希腊的著作。由于阿拉伯人确实占有几乎全部的希腊著作，欧洲人就此获得了大量的文献，他们对这些著作是这样钦佩并倾倒于其中的新鲜思想，以至于他们都成了希腊思想的门徒，他们视这些著作远远超过他们自己的著作，并且他们越来越多地把它们翻译成拉丁文。1、 裴波那契：约1170 1250，他受教育于非洲，在欧洲和小亚细亚游历甚广，并以其精湛掌握当代及以前各代的全部数学知识而闻名。他写了划时代并流传很久的算经，这是从阿拉伯文和希腊文材料编译成拉丁文的书。当时在欧洲已多少知道一点阿拉伯记数法和印度算法，但只限于在修道院里。一般人还是用罗马数字而且避免用零，因他们不懂零的意思。裴波那契的书传授了印度人用整数、分数、平方根、立方根进行计算的方法，产生了很大的影响。2、 文艺复兴时期：大约从1400年到1600年左右的这段时期，我们称之为文艺复兴时期。在这段时期内，欧洲被几件事情深深地震撼了一下，最后使得知识界的面貌大大改变，并使得数学活动以空前的规模和深度蓬勃兴起。中世纪束缚人们自由思想的经院哲学和神学教条逐渐被推毁，开始出现科学、文学和艺术发展的高潮。在数学史上，文艺复兴时期的欧洲数学是初等数学向近代数学跃进的一个转折点。首先，人们在思想观念上冲破了宗教思想的束缚，恢复了古希腊哲学关心自然界的传统，倡导了科学实验的方法。许多学者提出了把数学演绎和科学实验结合起来的方法，认为数学是揭开自然奥秘的强有力的工具，这无疑推动了数学的发展。其次，当时初等数学的各个领域都有了不起的进展。在算术方面，人们不仅总结了印度数学和阿拉伯数学的计算技巧，而且英国数学怪杰纳皮尔破天荒地发明了对数，取得了计算技术的突破。在代数方面，人们继承了阿拉伯数学的精华，又发掘了古希腊丢番图代数的遗产，取得了两项创新的成就。其一是在解一次、二次代数方程的基础上，意大利数学家塔泰格利亚、卡丹对三次方程求解，费拉里对四次方程的求解都进行了系统、深入的研究，并能得到三次、四次方程的求根公式。另一个是法国数学家韦达对丢番图缩写代数进行了改造，有意识地引进代数符号系统，建立“类”的概念，用一般的“类”，取代特殊的“数”。按韦达的说法，也就是用“类的筹算术”取代“数的筹算术”，或者说把求解方程 x2+10x =39，演变成求解方程 x2+ax=b 的初等代数推向成熟的发展阶段，并酝酿着更新的突破。在三角学方面，继阿拉伯数学之后，德国数学家雷琼蒙塔努斯完成了包括平面三角和球面三角的三角全书，使三角学彻底地独立于天文学。在几何方面，恢复了几何与实践的联系，并从建筑和绘画的需要出发，意大利数学家阿尔贝蒂提出了透视法的数学原理，开创了一个崭新的领域透视几何学，为以后射影几何开辟了道路。总的说来，到16世纪末，由于上千年来世界各民族人民的共同努力，初等数学得到全面发展，日趋成熟，并且为近代数学的产生和发展创造了条件。作业：1）简述斐波那契对数学的贡献。2）简述欧洲文艺复兴时期的数学发展。第七讲 记数文化阿拉伯数字古埃及 象形数字古巴比伦 楔形数字中美洲的玛雅数字罗马数字CCLXVII 即200 + 50 + 10 + 5 + 1 + 1 = 267MMMCDLXXXI 即1,000 + 1,000 + 1,000 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 1 = 3,481DCCXVII 即500 + 100 + 100 + 10 + 5 + 1 + 1 = 717中国的甲骨文中国的算筹记数计数：数数。记数：用符号把数数的结果记录下来。位值制记数法：加法累数制记数法：a为数基，用一些符号来表示1，a，a2，a3等，任何数都可以通过把这些符号加法地相结合来表示，而每一个符号常常需要重复需要的次数。乘法累数值记数法：a为数基，用一组符号表示1，2，a-1，再用第二组符号表示a，a2，a3，。这两组符号用乘法结合起来，表示需要多少个更高级的记数单位。中国汉字记数就是用乘法累数制记数法。5625记为：五千六百二十五。逐级记数法：a为数基，采用若干组符号表示1，2，a-1；a，2a，（a-1）a；a2，2 a2，（a-1）a2等。希腊字母记数法，以10为基，用了27个文字，24个希腊字母现在还在用，另有三个字母已作废。希腊记数：以 ? 分别代表1、2、3、4、5、6、7、8、9；以 ?分别代表10、20、30、40、50、60、70、80、90；以 ?分别代表100、200、300、400、500、600、700、800、900。作业：请用 埃及象形数字 巴比伦楔形数字 中国甲骨文 中国算筹 中美洲玛雅数字 罗马数字 分别表示 401这个数！下面每一种记数方法的基数是多少？是否是位值制？如果不是位值制，是加法累数制、乘法累数制还是逐级记数法？ 埃及象形数字 巴比伦楔形数字 中国甲骨文 中国算筹 中美洲玛雅数字 罗马数字 第八讲 计算文化罗马人的算法：格子乘法：1478年在意大利特雷维索出版的算术书（这是最早的印刷本算术书）中讲述了一种“格子乘法”。1494年巴巧利介绍了8种乘法。第一种就是现在通用的方法。第六种是格子乘法。印度的“十字相乘法”：作业：用以下两种方法计算3627：1、埃及“连续加倍乘法”；2、印度“闪电乘法”.第九讲 分数文化人类最早发现和认识的分数是单位分数。单位分数：分子为1的分数古代不同文化的分数表示：古埃及的单位分数古埃及人通常用单位分数的和来表示分数。在兰德纸草中有个数表，它把分子为2分母为5到100的奇数的这类分数，表达成为单位分数的和，用现代的记号，其最末几行可表示为：古巴比伦的分数记法古巴比伦普通分数的记法与他们的整数记法类似，采用60进位值制，被称为60进制分数。这种表示法有位值制记数法简洁实用的优点，但有一个缺陷：不能确切区分整数部分与分数部分，只能根据具体例子或上下文来判断。中国古代的分数表示分数线：真正最早使用现代意义上的分数线的是1175年阿拉伯数学家阿尔哈萨。斐波那契在算盘书（1202）中引入阿尔哈萨创用的分数及其分数线。但分数线和许多符号一样，并没有马上被大家采用，直到15世纪，欧洲各国才逐渐形成了现代分数线，才广泛接受它。分数的应用颛顼历秦始皇时期，每月的平均日数作业：举例说明分数产生于测量和除法计算。简答分数线的发明和传播。第十讲 小数文化小数概念出现的特别晚，中国小数思想出现的特别早，历史上的小数表示方法极其丰富。1、 小数概念小数：古称十进分数，是以10的乘幂为分母的分数。世界各民族都是先知道整数和分数，在很久很久之后才发现小数。 “在除法与求分数最终应用结果值时, 随着精度要求的提高, 就必然要求定义比基本单位更小的单位. 如果结果的最小有效位较基本单位的数量级差得很多, 要定义更多更小的单位, 但这样做使得结果既难读又不易用. 这就会使数学家们想办法只读出数字而不去读量, 因采用的是十进制位值记数, 则这种数小数，用起来是十分快捷和方便的.”到了清代由康熙皇帝特命编辑的数学百科全书式的著作数理精蕴规定长度单位系统是: “ 丈、尺、寸、分、厘、毫、丝、忽、微、纤、沙、尘、埃、 ” 竞达24 个单位而且都是十进制的。 其实, 就长度而论, “分” 以下的长度用肉眼已是难于分辨的了。在当时, 实际度量中是用不到“ 毫” 以下的单位的。而这些越来越精细的单位的产生, 明显地是为了适应运算的需要。刘徽在九章算术第一卷“ 方田” 第三十二题的注文中, 用著名的割圆术计算圆周率的时候, 选取“ 忽” 作单位, 以致在计算过程中出现了万亿的巨大整数, 这是为了提高精密程度, 避免出现小数而采取的措施, 尽管计算结果仍然出现“ 忽” 以下的“ 微数” , 但是对于这些微数他就不再给以名称了, 而是只取其一位来作为以十为分母的分子, 其余的都舍弃，因为这个精度已经相当高。2、 中国小数思想中国最早关于小数思想的论述出现在刘徽九章算术注中： “少广” 章开方术注: “凡开积为方, 求其微数, 微数无名者, 以为分子, 其一退以十为母, 其再退以百为母, 退之弥下, 其分弥细. ”刘徽（公元263年）显然已经意识到小数思想了, 只是没有得到进一步发展和广泛地使用, 而他本人在最后的结果中仍使用分数来表示。3、 小数的表示秦九韶( 1202 1261) 在他的著作数书九章中称小数为“收数” , 并给予定义: “ 收数, 谓尾见分厘者”4、 刘瑾（1300年左右）5、 阿拉伯数学家阿尔.卡西(1427年)作业：历史上小数表示的方法很多，请写出三种不同于现在的小数表示方法及其发明者。为什么说“中国小数思想出现得特别早”？为什么说“小数概念出现得特别晚”？有限小数是十进分数？第十一讲 历法与数学阳历：以地球公转周期为一年的历法。阴历：以朔望月为一月，十二月为一年。阴阳历：以朔望月为一月，平年十二月为一年，三年左右闰一个月。纯阴历的年与地球运行的周期不合。纯阳历的月与月象不合。阴阳合历，则月与月象一致,年与地球运行的周期一致。二十四节气 月份 节气 中气 十二次 二月 惊蛰 春分 降娄三月 清明 谷雨 大梁四月 立夏 小满 实沈五月 芒种 夏至 鹑首六月 小暑 大暑 鹑火七月 立秋 处暑 鹑尾八月 白露 秋分 寿星九月 寒露 霜降 大火十月 立冬 小雪 析木十一月 大雪 冬至 星纪十二月 小寒 大寒 玄枵正月 立春 雨水 娶訾闰年的算法地球绕太阳一圈需时365天5时48分46秒，以天为单位化成分数即将分数部分 10463/43200 展成连分数 渐进分数依次为现在通行的办法是每四年一闰，每逢百年免闰一次，而每逢四百年又恢复一闰。 头一个渐近分数 1/4 告诉我们每四年一闰。第三个渐近分数 8/33 告诉我们每三十三年八闰，即每九十九年二十四闰，为方便计，定为每一百年二十四闰，这就是逢百不闰的道理。每四百年间，闰年的总数该为 3 x 31 + 4 x 1 = 97，若每百年 24 闰则 400 年有 96 闰，比实际需要的少了一次，故