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金融投资方案摘要：如何让公司在金融投资中以最小的投资金额在最短的周期得到最多的回报？本文利用Matlab工具通过对历史数据的统计计算建立起了一个VaR数学概率模型，并根据图形误差，和分布判断对模型进行了修正。所涉及的数学知识包括：数理统计学、概率论、统筹学等。从而解决了置信度和损失数额关系的一系列问题。并且本文还通过假设检测法对文中得出的数据进行了检验，取错误概率小的拟合方法以提高置信度。总体而言，该方法既准确又精确，能够很好的应用于金融投资行业。关键词： Matlab、金融投资、图像拟合、数据统计、分布判断、VaR一、问题重述某公司在金融投资中，需要考虑如下两个问题：1）准备用数额为1000万元的资金投资某种金融资产（如股票，外汇等）。它必须根据历史数据估计在下一个周期（如1天）内的损失的数额超过10万元的可能性有多大，以及能以95%的置信度保证损失的数额不会超过多少。2）如果要求在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%，那么初始投资额最多应为多少。下面是该公司在过去一年255个交易日的日收益额（单位为万元）的统计数据, 假定每天结算一次，保持每天在市场上的投资额为1000万元：收益额33323130292827262524232221201918天数1111121214026347收益额171615141312111098765432天数58571014819911111410668收益额10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14天数9593741625532210收益额-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30天数1000000100100000要求：1） 参考以上数据，建立模型来解决前述的两个问题；2） 讨论二周期情形（如今后两天内）上述两个问题的答案。陈述上述两个问题的一般形式（即初始投资额为M, 限定损失额为L, 置信度为 1-, T 个周期）及其解决方案。二、模型假设1.假设影响每天收益额的外界因素基本稳定2.公司一年内255个交易日中的收益额为随机取样，具有代表性，基本反映了该公司全年收益情况三、符号说明M： 初始投资额L(y)： 限定损失额1-： 置信度T： 投资周期h: 分布假设拒绝与接受判断系数，1为拒绝，0为接受p： 分布假设接受概率ks： ks假设判断系数cv ks假设判断系数，当cvks时，可认为接受假设，反之亦然四、问题分析题目中的投资问题是利用所给的交易日数据，通过计算分析得到一种尽量让人满意的投资方案，并推广到一般情况。而题目中主要涉及两个方面： A在收益一定的情况下，求所冒的风险B在风险一定的情况下，求所能取得的利益 不同的投资对利益和风险的侧重点不同，但在一定范围内都是正常的。所以我们只能要求选择一种尽量好的方案，即风险尽量小，收益额尽量大。我们设初始投资额为M, 限定损失额为L, 置信度为 1-, 周期为T，那么为了得到一般式，就要先得到特定条件下的公式。由此，我们知道在置信度一定的时候，可求出在这个置信度下的置信区间。因此,我们以“净收益额”与“置信度”相互结合统一建立VaR（ValueatRisk）数学模型。VaR（ValueatRisk）一般被称为“风险价值”或“在险价值”，指在一定的置信水平下，某一金融资产在未来特定的一段时间内的最大可能损失，在此题中，即是不会超过的损失。通过求解在置信度为95%，一个周期内的最大可能损失，并逐一增多变量，找出平衡点，统计出数学公式，从而得到尽可能准确的一般式。 五、模型的建立与求解根据问题分析，我们现在先考虑变量最小情况下的问题一：1）准备用数额为1000万元的资金投资某种金融资产（如股票，外汇等）。它必须根据历史数据估计在下一个周期（如1天）内的损失的数额超过10万元的可能性有多大，以及能以95%的置信度保证损失的数额不会超过多少。要估计下一周期内损失的数额超过10万的可能性有多大，只需要通过计算数据中超过10万元的数据占所有数据的百分比即可。于是通过Matlab建立jisuan.m解得ans =0.0314，即下一个周期（如1天）内的损失的数额超过10万元的可能性有3.14%。现在要解决以95%的置信度保证损失的数额不会超过多少的问题。首先我们假设置信度为1-，那么1-其实是事件发生的概率，即可信度。则为对立事件发生的概率。所以问题就可以转化为要求出0.05概率时损失不会超过的最大数额。那么同样可以利用解决第一个问题的逆方法，来解决这个问题，同样对jisuan.m文件进行编辑运行，可以得到：y =-9置信度为ans =0.9569y =-8置信度为ans =0.9373取整则为-9，即能以95%的置信度保证损失的数额不会超过9万元。但是这个结果并不是我们真正想要的，我们需要更精确的答案，而不仅仅是局限于整数。于是利用Matlab，建立tongji.m对天数和收益额等数据进行初步的画图分析可得到右三图：第一个图，我们可以清晰的看到收益额所占的天数，即概率；第二个图则反映了收益额所占天数的统计图；最后一个图则是收益额的统计图形。我们通过观察图形，猜测其是否服从某一类分布，如果服从一类分布，那么就能很快的求出置信度和置信区间，也方便找出一般式。于是通过Matlab建立p_judge.m文件来判断其是否服从常见的一些分布，执行文件可以得到：h1 =1p1 =5.4726e-115ks1 =0.7145cv1 =0.0844该数据源不服从正态分布。h2 =1p2 =2.2409e-099ks2 =0.6640cv2 =0.0844该数据源不服从指数分布。h3 =1p3 =2.0499e-116ks3 =0.7189cv3 =0.0844该数据源不服从韦伯分布。h4 =1p4 =5.5442e-059ks4 =0.5108cv4 =0.0844该数据源不服从二项分布。h5 =1p5 =1.4712e-095ks5 =0.6511cv5 =0.0844该数据源不服从几何分布。h6 =1p6 =2.6376e-106ks6 =0.6869cv6 =0.0844该数据源不服从伯松分布。h7 =1p7 =1.9335e-091ks7 =0.6369cv7 =0.0844该数据源不服从卡方分布。h8 =1p8 =9.5115e-109ks8 =0.6948cv8 =0.0844该数据源不服从R分布。h9 =1p9 =2.3370e-134ks9 =0.7725cv9 =0.0844该数据源不服从B分布。h10 =1p10 =7.7886e-018ks10 =0.2785cv10 =0.0844该数据源不服从对数分布。h11 =1p11 =2.1525e-082ks11 =0.6044cv11 =0.0844该数据源不服从t分布。h12 =1p12 =2.0113e-057ks12 =0.5040cv12 =0.0844该数据源不服从F分布。显然结果显示并非我们所猜想的，即数据不服从某一特定的分布，我们也就不能从此下手了。但为了要得到更准确的结果，我们可以通过数据拟合出接近数据的函数，也方便进一步得到一般式。于是我们通过Matlab建立nihe.m文件对收益额进行拟合，于是可以得到如下图的拟合函数。这里利用Matlab自带的残差分析工具通过误差分析，如上图显示，其误差明显较大。这里对残差作一下解释：在回归分析中，测定值与按回归方程预测的值之差，以表示。残差遵从正态分布N(0，2)。与之比，称为标准化残差，以*表示。*遵从标准正态分布N(0，1)。实验点的标准化残差落在(-2，2)区间以外的概率0.05。若某一实验点的标准化残差落在(-2，2)区间以外，可在95置信度将其判为异常实验点，不参与回归线拟合。所谓残差是指实际观察值与回归估计值的差。显然，有多少对数据，就有多少个残差。残差分析就是通过残差所提供的信息，分析出数据的可靠性、周期性或其它干扰。【1】而这里的残差数值已经超过了(-2，2)的范围，所以说这个拟合不够精确，即使足够精确，但是得到的也是收益额的分布拟合函数，仍然不方便求出置信度和置信区间，如何快捷的找出收益额和其置信度之间的关系变得十分重要。于是我们考虑能否将数据进行二次处理再拟合，即将收益额和天数的关系转化为收益额占总收益的概率累加关系。这样我们就能很快的得到问题希望求得的区域值（区域值是指问题中损失不超过10万的概率，而非损失10万元时的概率），而非特定的概率。在最早的统计图中，已经加入了概率累加图，即Empirical CDF，但是Empirical CDF图不能满足我们拟合函数的需要。于是我们利用Matlab建立leijia.m文件专门解决累加密度函数的建立和拟合。执行后结果如下：通过执行结果我们可以得到拟合函数（这里利用多项式拟合，只拟合到了6次方，残差就只有千分之几的大小了）：y = 8.1e-010*x6 + 3.1e-009*x5 - 1.7e-006*x4 - 1.7e-005*x3 + 0.0012*x2 + 0.028*x + 0.2而此时的残差符合要求，即可以认定拟合十分精确。于是利用fzero函数可以对问题二进行求解了，函数详见leijia.m。答案得到y =-8.5549，即以95%的置信度保证损失的数额不会超过8.5549万元。现在在不改变第一问的前提下，增大投资额，于是考虑问题二：2）如果要求在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%，那么初始投资额最多应为多少。我们都知道，同等级的概率是不变的，即损失超过10万元的概率是不变的，改变的只是相同概率下原来是损失不超过10万元，如果投资增加一倍，那么概率不变则变为损失不超过20万元。所以投资金额数与损失金额数之间呈反比。则可以得到保证一周期内损失不超过10万，那么初始投资金额应当为100010/8.5549=1168万元。3）讨论二周期情形（如今后两天内）上述两个问题的答案。当周期变为两天时，相对的投资额总量变为2000，相当于一天投资额增加一倍的情况，所以应当按一天投资为2000来算，则有：准备用数额为1000万元的资金投资某种金融资产（如股票，外汇等）。在下两个周期内的损失的数额超过10万元的可能性为（按5万元算）11.37%，以及能以95%的置信度保证损失的数额不会超过8.55492=17.1098万元。如果要求在两个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%，那么初始投资额最多应为100010/17.1098=584万元。则开始讨论一般式：即初始投资额为M, 限定损失额为L, 置信度为 1-, T 个周期。根据拟合我们知道一个周期内投资为1000万元时不会超过的损失额和置信度之间的关系为： = 8.1e-010*L6 + 3.1e-009*L5 - 1.7e-006*L4 - 1.7e-005*L3 + 0.0012*L2 + 0.028*L + 0.2根据讨论问题“则可以得到保证一周期内损失不超过10万，那么初始投资金额应当为100010/8.5549=1168万元。”可以得到，投资金额和限定损失额之间的关系为：M/1000=L/L，所以可以得到新的L=ML/1000，带入公式则有，一个周期内投资为M万元时不会超过的损失额L和置信度1-之间的关系为： = 8.1e-010*(ML/1000)6 + 3.1e-009*(ML/1000)5 - 1.7e-006*(ML/1000)4 - 1.7e-005*(ML/1000)3 + 0.0012*(ML/1000)2 + 0.028*(ML/1000) + 0.2先在继续增加最后一个变量周期T,根据问题“如果要求在两个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%，那么初始投资额最多应为100010/17.1098=584万元。”可以得到周期与损失额之间的关系为：T=L/L，所以可以得到新的L=TL，带入公式则有：T周期内投资为M万元时不会超过的损失额L和置信度1-之间的关系为： = 8.1e-010*(TML/1000)6 + 3.1e-009*(TML/1000)5 - 1.7e-006*(TML/1000)4 - 1.7e-005*(TML/1000)3 + 0.0012*(TML/1000)2 + 0.028*(TML/1000) + 0.2于是就此，所有问题得到了很好的解决。六、模型评估此模型不但用到了概率知识，而且用到了数理统计学、统筹学、计算机等知识，从各个角度对数据进行了判断，并建立起了一个良好的VaR一般式。此模型的最大优势则在于计算精确，误差较小，建立起的一般式便于选择风险值，为公司投资提供了很好的支持。参考资料：【1】百度百科EB/OL/view/1006910.htm附录%jisuan.mk=0;win=33,32,31,30,29,28,28,27,26,26,25,24,24,24,24,22,22,21,21,21,21,21,21,20,20,20,19,19,19,19,18,18,18,18,18,18,18,17,17,17,17,17,16,16,16,16,16,16,16,16,15,15,15,15,15,14,14,14,14,14,14,14,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,11,11,11,11,11,11,11,11,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,9,9,9,9,9,9,9,9,9,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,4,4,4,4,4,4,3,3,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-2,-2,-2,-3,-3,-3,-3,-3,-3,-3,-4,-4,-4,-4,-5,-6,-6,-6,-6,-6,-6,-7,-7,-8,-8,-8,-8,-8,-9,-9,-9,-9,-9,-10,-10,-10,-11,-11,-12,-12,-13,-15,-22,-25;for i=1:255 if win(i)-10 k=k+1; endendk/255for y=-30:33 k=0; for i=1:255 if win(i)0.08 break; else y disp(置信度为); 1-k/255 endend%tongji.mx=-30:33;day=0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,2,2,3,5,5,2,6,1,4,7,3,9,5,9,8,6,6,10,14,11,11,9,19,8,14,10,7,5,8,5,7,4,3,6,2,0,4,1,2,1,2,1,1,1,1,1;win=33,32,31,30,29,28,28,27,26,26,25,24,24,24,24,22,22,21,21,21,21,21,21,20,20,20,19,19,19,19,18,18,18,18,18,18,18,17,17,17,17,17,16,16,16,16,16,16,16,16,15,15,15,15,15,14,14,14,14,14,14,14,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,11,11,11,11,11,11,11,11,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,9,9,9,9,9,9,9,9,9,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,4,4,4,4,4,4,3,3,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-2,-2,-2,-3,-3,-3,-3,-3,-3,-3,-4,-4,-4,-4,-5,-6,-6,-6,-6,-6,-6,-7,-7,-8,-8,-8,-8,-8,-9,-9,-9,-9,-9,-10,-10,-10,-11,-11,-12,-12,-13,-15,-22,-25;plot(x,day);ylabel(天数);xlabel(收益额);title(曲线统计图);figure;subplot(2,1,1);bar(day);colormap hsv;title(天数条形统计图);subplot(2,1,2);h,stats=cdfplot(day);figure;subplot(2,1,1);bar(win);colormap hsv;title(收益额条形统计图);subplot(2,1,2);h2,stats2=cdfplot(win);function f=p_judge(x)% 本程序用于判别所给数据源在置信率为0.05时的概率分布形式。x的形式为n1。%x=0;0;0;0;0;1;0;0;1;0;0;0;0;0;0;1;0;1;2;2;3;5;5;2;6;1;4;7;3;9;5;9;8;6;6;10;14;11;11;9;19;8;14;10;7;5;8;5;7;4;3;6;2;0;4;1;2;1;2;1;1;1;1;1;x=33;32;31;30;29;28;28;27;26;26;25;24;24;24;24;22;22;21;21;21;21;21;21;20;20;20;19;19;19;19;18;18;18;18;18;18;18;17;17;17;17;17;16;16;16;16;16;16;16;16;15;15;15;15;15;14;14;14;14;14;14;14;13;13;13;13;13;13;13;13;13;13;12;12;12;12;12;12;12;12;12;12;12;12;12;12;11;11;11;11;11;11;11;11;10;10;10;10;10;10;10;10;10;10;10;10;10;10;10;10;10;10;10;9;9;9;9;9;9;9;9;9;8;8;8;8;8;8;8;8;8;8;8;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;7;6;6;6;6;6;6;6;6;6;6;6;6;6;6;5;5;5;5;5;5;5;5;5;5;4;4;4;4;4;4;3;3;3;3;3;3;2;2;2;2;2;2;2;2;1;1;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-2;-2;-2;-3;-3;-3;-3;-3;-3;-3;-4;-4;-4;-4;-5;-6;-6;-6;-6;-6;-6;-7;-7;-8;-8;-8;-8;-8;-9;-9;-9;-9;-9;-10;-10;-10;-11;-11;-12;-12;-13;-15;-22;-25;h1,p1,ks1,cv1=kstest(x)if h1=0 disp(该数据源服从正态分布。)else disp(该数据源不服从正态分布。) endh2,p2,ks2,cv2=kstest(x,x,expcdf(x,1)if h2=0 disp(该数据源服从指数分布。)else disp(该数据源不服从指数分布。) endh3,p3,ks3,cv3=kstest(x,x,weibcdf(x,1,2)if h3=0 disp(该数据源服从韦伯分布。) else disp(该数据源不服从韦伯分布。) endh4,p4,ks4,cv4=kstest(x,x,binocdf(x,10,0.5)if h4=0 disp(该数据源服从二项分布。) else disp(该数据源不服从二项分布。) endh5,p5,ks5,cv5=kstest(x,x,geocdf(x,0.5)if h5=0 disp(该数据源服从几何分布。) else disp(该数据源不服从几何分布。) end h6,p6,ks6,cv6=kstest(x,x,poisscdf(x,1)if h6=0 disp(该数据源服从伯松分布。) else disp(该数据源不服从伯松分布。) end h7,p7,ks7,cv7=kstest(x,x,chi2cdf(x,1)if h7=0 disp(该数据源服从卡方分布。) else disp(该数据源不服从卡方分布。) end h8,p8,ks8,cv8=kstest(x,x,raylcdf(x,1)if h8=0 disp(该数据源服从R分布。) else disp(该数据源不服从R分布。) end h9,p9,ks9,cv9=kstest(x,x,betacdf(x,1,2)if h9=0 disp(该数据源服从B分布。) else disp(该数据源不服从B分布。) end h10,p10,ks10,cv10=kstest(x,x,logncdf(x,1,2)if h10=0 disp(该数据源服从对数分布。) else disp(该数据源不服从对数分布。) end h11,p11,ks11,cv11=kstest(x,x,tcdf(x,1)if h11=0 disp(该数据源服从t分布。) else disp(该数据源不服从t分布。) end h12,p12,ks12,cv12=kstest(x,x,fcdf(x,1,2)if h12=0 disp(该数据源服从F分布。) else disp(该数据源不服从F分布。) end%nihe.mx=1:255;win=33,32,31,30,29,28,28,27,26,26,25,24,24,24,24,22,22,21,21,21,21,21,21,20,20,20,19,19,19,19,18,18,18,18,18,18,18,17,17,17,17,17,16,16,16,16,16,16,16,16,15,15,15,15,15,14,14,14,14,14,14,14,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,11,11,11,11,11,11,11,11,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,9,9,9,9,9,9,9,9,9,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,4,4,4,4,4,4,3,3,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-