变化率问题ppt.ppt

1 1变化率与导数 一 创设情景为了描述现实世界中运动 过程等变化着的现象 在数学中引入了函数 随着对函数的研究 产生了微积分 微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关 一 已知物体运动的路程作为时间的函数 求物体在任意时刻的速度与加速度等 二 求曲线的切线 三 求已知函数的最大值与最小值 四 求长度 面积 体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减 变化快慢 最大 小 值等问题最一般 最有效的工具 导数研究的问题即变化率问题 研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 在吹气球的过程中 可发现 随着气球内空气容量的增加 气球的半径增加得越来越慢 从数学的角度 如何描述这种现象呢 播放 暂停 停止 探究过程 如图是函数h t 4 9t2 6 5t 10的图像 结合图形可知 所以 虽然运动员在这段时间里的平均速度为 但实际情况是运动员仍然运动 并非静止 可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态 思考1 你能给出函数f x 从x1到x2的平均变化率的定义吗 函数f x 从x1到x2的平均变化率为 习惯上 x x2 x1 y f x2 f x1 则平均变化率为 x是一个相对于x的变化量 可正可负 但不能为0 不一定 平均变化率可正 可负 可为零 平均变化率是曲线陡峭程度的 数量化 曲线陡峭程度是平均变化率的 视觉化 函数的平均变化率就可以表示为函数的改变量与自变量的改变量之比 说明 平均变化率为 思考2 平均变化率有什么几何意义呢 平均变化率的几何意义就是函数f x 图像上两点 x1 f x1 x2 f x2 所在直线的斜率 直线AB的斜率 A B 变式训练1 1 计算函数f x x2从x 1到x 1 x的平均变化率 其中 x的值为 2 1 0 1 0 01 2 当 x越来越小时 函数f x 在区间 1 1 x 上的平均变化率有怎样的变化趋势 变式训练本例条件不变 求 1 物体在t 10s到t 10 1s 这段时间内的平均速度 练习 1 已知函数f x x2 x的图象上的一点A 1 2 及临近一点B 1 x 2 y 则 y x A 3B 3 x x 2C 3 x 2D 3 x D 3 求y x2在x x0附近的平均变化率 A 作业 1 计算函数f x 2x 1在区间 3 1 上的平均变化率 2 求函数f x x2 1的平均变化率 1 解 y f 1 f 3 4 x 1 3 2 2 解 y f x x f x 2 x x x 2 2 我想进一步探究的问题是 1 这节课我的收获是 小结 3 这节课我最感兴趣的地方是 小结 1 函数的平均变化率 2 求函数的平均变化率的步骤 1 求函数的增量 y f x2 f x1 2 计算平均变化率 1 1 3 2 1 2 3 1 1 1 4 1 1 001 5 1 1 0001 一运动质点的位移S与时间t满足S t t2 分别计算S t 在下列区间上的平均变化率 位移单位为m 时间单位为s 4 3 2 1 2 001 1 999 1 99 1